Значението на динамичните редове в статистиката. Московски държавен университет по печатни изкуства

Средно ниво на редаопределя обобщената стойност на абсолютните нива. Определя се от средната стойност, изчислена от стойности, които се променят във времето. Методите за изчисляване на средното ниво на интервалните и моментните времеви редове са различни.

Средното ниво на абсолютните нива за интервални времеви редове се изчислява по формулата:

1. За равни интервали използвайте простата средна аритметична стойност:

Където y са абсолютните нива на серията;

n е броят нива на серията.

2. За неравни интервали използвайте среднопретеглената аритметична стойност:

където у1,…, уn са нивата на динамичния ред;

t1,… tn - тегла, продължителност на времеви интервали.

Средно ниво на моментни сериидинамиката се изчислява по формулата:

1. При равни нива се изчислява по формулата на серията от средни хронологични моменти:

Където y1,…,уn са нивата на периода, за който се прави изчислението;
n - брой нива;
n-1 - продължителност на периода от време.

2. При неравни нива се изчислява по формулата за хронологично претеглена средна стойност:

Където у1,…, уn са нивата на динамичния ред;
t - интервал от време между съседни нива

Среден абсолютен ръст в статистическите задачи

Определя се като средната стойност на абсолютните увеличения за равни периоди от време в един период. Изчислява се по формулите:

1. Въз основа на верижни данни за абсолютен растеж за няколко години, средният абсолютен растеж се изчислява като проста средна аритметична стойност:

където n е броят на степенните абсолютни увеличения за периода, който се изследва.

2. Изчислява се средното абсолютно увеличениечрез основното абсолютно увеличение при равни интервали

където m е броят на нивата на динамичния ред в изследвания период, включително базовия.

Има свободна обобщаваща характеристика на интензивността на промените в нивата и показва колко пъти средно за единица време се променя нивото на поредица от динамики.

Като основа и критерий за правилността на изчисляване на средния темп на растеж (намаление) се използва общ показател, който се изчислява като произведение на темповете на растеж на веригата, равни на темпа на растеж за целия разглеждан период. Ако стойността на дадена характеристика се формира като продукт на отделни опции, тогава се използва средната геометрична стойност.

Тъй като средният темп на растеж е средният коефициент на растеж, изразен като процент, тогава за равни динамични серии изчисленията, използващи средната геометрична стойност, се свеждат до изчисляване на средните коефициенти на растеж от верижните, използвайки „верижния метод“:

Където n е броят на коефициентите на растеж на веригата;
Kc - коефициенти на растеж на веригата;
Kb е основният темп на растеж за целия период.

Определяне на средния темп на растежможе да се опрости, ако нивата на времевия ред са ясни. Тъй като произведението на коефициентите на растеж на веригата е равно на основния, основният фактор на растеж се замества в радикалния израз.

Формула за определяне на средния темп на растежза равни серии от динамика според „основния метод“ ще бъде така:

Среден темп на растежсе изчисляват въз основа на средния темп на растеж (Tr) чрез изваждане от последните 100%:

За да определите средния коефициент на растеж (Kpr), трябва да извадите един от стойностите на коефициентите на растеж (Kr).

Нивата на интервалния ред характеризират резултата от процеса, който се изучава за определен период от време: производство или продажба на продукти (за година, тримесечие, месец и т.н.), броя на наетите хора, броя на ражданията и т.н. . Нивата на интервална серия могат да бъдат сумирани. В същото време получаваме същия индикатор за по-дълги интервали от време.

Средно ниво в интервални динамични серии() се изчислява по формулата средноаритметичнопросто:

• г- нива на редове ( y 1 , y 2 ,...,y n),
• н- брой периоди (брой нива на серията).

Уi -1 - ниво на периода, предхождащ текущия;
Y0 - ниво, взето като постоянна база за сравнение n - брой нива на серията;
t - продължителността на периода, през който нивото не се променя

Ц – епной

B - основен

уi - ниво на сравнявания период;

Скорост на растеж

Темп на нарастване(Tpr) показва относителната величина на увеличението и показва с какъв процент сравняваното ниво е по-голямо или по-малко от нивото, взето като база за сравнение.

Темпът на растеж може да се получи от темпа на растеж:

Скорост на растеж

Абсолютна стойност от 1% увеличение (A%)- това е съотношението на абсолютния растеж към темпа на растеж, изразено като процент и показва значимостта на всеки процент на растеж за същия период от време:

разширяване на интервалите - това е най-простият метод за изглаждане на нивата на серия, за да се идентифицира основната тенденция на тяхното изменение. В този случай за увеличени интервали се определя крайната стойност или средната стойност на изследвания показател. Този метод е особено ефективен, ако началните нива на серията съответстват на кратки периоди от време.

Аналитично подравняване - най-перфектният начин за определяне на тенденцията на развитие в динамичните серии. При този метод действителните нива се заменят с теоретични или изчислени.

1. . Средното ниво на интервалната динамична серия се определя като средната стойност: Аритметика

2. В статистическата практика при изчисляване на показателя за относителна динамика се използват следните данни:

· Сегашно ниво на явлението

· Предишно (основно) ниво на явлението

3. Реколтата от банани в Еквадор през 2006 г. е 106,1% от нивото от 2005 г. Тази стойност е: Скорост на растеж

4. Средното ниво на интервалната динамика се определя като:

Средноаритметично

5. Серия от динамики, характеризиращи износа на страната за всяка година за периода от 2000 до 2006 г., по видове: до интервални серии от динамика.

6. Съгласно формулата общо igrek / общо igrik минус едно се определя:

Скорост на растеж на веригата

7. Според теорията на статистиката следните показатели са пряко свързани с относителния показател на динамиката

· Индикатор за относителен план

· Относителен показател за изпълнение на плана

8. Стойността на дълготрайните активи на предприятието към 1 януари е 10 милиона рубли, към 1 февруари - 12 милиона рубли, към 1 март - 15 милиона. rub., от 1 април - 14 милиона рубли. Средната месечна цена на дълготрайните активи за тримесечието е ____ 10 милиона рубли.______

9. Съотношението на нивата на серия от динамика се нарича:

Скорост на растеж

ИНДЕКСЕН МЕТОД

Индекс- представлява резултат от сравняване на две състояния на едно явление .

Индекси- един от най-разпространените статистически показатели, използвани за икономически изчисления. Най-често използваните индекси характеризират промените във времето, т.е. в този случай индексът е показател за динамика.

Следното може да се реши с помощта на индекси: задачи:

1. Определят се обобщаващи показатели:

• обобщаващи показатели за динамика;
• териториални сравнения;
• сравнение с плана.

Изследване на динамиката на средните стойности: влиянието на структурата и структурните промени върху динамиката на средните стойности.

Изследване на факторите в динамиката на сложни явления:

• относителното влияние на факторите върху резултата;
• абсолютно увеличение на резултатите в зависимост от динамиката на факторите.

Сравнението може да се извърши за отделни единици от съвкупността и за съвкупността от единици. В зависимост от това се разграничават индивидуаленИ комплексиндекси.

Ако сравнението се прави за отделни единици от съвкупността, имаме индивидуаленили елементарен индекс. Например сравняване на цените в различни магазини за един и същи продукт (индивидуален териториален индекс), сравняване на обема на продажбите на картофи на два пазара, сравняване на цените на картофите през септември спрямо май (индивидуален ценови индекс) и др.

Всеки индекс съдържа 3 елемента:

• индексиран индикатор- това е индикатор, чието съотношение на нивата характеризира индекса
• ниво на сравнение- това е нивото, което се сравнява с друго.
• базова линия- това е нивото, с което се прави сравнение.

За да се изчисли индексът, е необходимо да се намери отношението на сравняваното ниво към базовото ниво и да се изрази като коефициент, ако базата за сравнение е равна на единица, или като процент, ако базата за сравнение се приеме за 100%. Обикновено изчисленията на индексите се правят под формата на коефициенти с точност до третия знак след десетичната запетая, т.е. до 0,001, под формата на проценти - до десети от процента, т.е. до 0,1%.

За удобство при конструирането на индекси се използват специални символи:

• i е символът на индексирания показател - индекс, характеризиращ изменението на нивото на елемента на явлението.
• I - със сублинеен индексиран показател - за група елементи или цялата съвкупност като цяло.
• q - броят на продадените стоки или произведените продукти във физическо изражение
• p - цена за единица стока
• z - разходи за единица продукция
• w - производителността на труда
• T - отработени часове или брой служители
• l - средна работна заплата на служител

• 0 - базов период
• 1 - отчетен период

 Математически елементарните индекси изглеждат така:

Можете също да сравните съвкупни количества, тоест количества, които са произведение на други количества. Например, индексът на оборота характеризира промяната в обема на продажбите; ако изчислите промяната в оборота за един продукт, това ще бъде индивидуален индекс на оборота:

Индекс на Фишер - средно геометрична сума на Паоше и Ласпирис

СРЕДНИ ПОКАЗАТЕЛИ

Индекс на променлив състав Iper е отношението на две среднопретеглени стойности, характеризиращи изменението на индексирания (усреднен) показател.

Стойността на този индекс характеризира промяната в среднопретеглената стойност поради влиянието на два фактора: осреднения показател за отделни единици от съвкупността и структурата на изследваната популация.
Индекс на постоянен (фиксиран) състав Ifixпредставлява отношението на средните претеглени с еднакви тегла (т.е. с постоянна структура).

Индексът на постоянен състав отчита промените само в индексираната стойност и показва средния размер на изменението на изследвания показател сред единиците на съвкупността.
Индекс на структурни промени Ipageхарактеризира влиянието на промените в структурата на изследваното явление върху динамиката на средното ниво на индексирания показател.

Структурните промени означават промяна в съотношението на отделните групи единици съвкупност спрямо общия им брой.
Системата от взаимосвързани индекси при анализиране на динамиката на средните стойности има формата:

· основни показатели: ; ; ;

· верижни индекси: ; ; .

Съществува връзка между верижните и основните индивидуални индекси, която ви позволява да преминавате от един индекс към друг - произведението на последователни верижни индивидуални индекси дава основния индекс за последния период:

Съотношението на базовия индекс на отчетния период към базовия индекс на предходния период дава верижния индекс на отчетния период:

Това правило ви позволява да използвате така наречения верижен метод, т.е. намерете неизвестна серия от основни индекси, като използвате известни верижни индекси и обратно.

1. Когато изучават динамиката на цените, статистиците използват ценови индекси в следните форми:

• Пааше
• Ласпейрес

2. Цената на продукт А, произведен в организацията, в базовия период е 1000 рубли, а в текущия период 1200 рубли. Според теорията на статистиката можем да кажем:

· Индексът на цените беше 120%

· Изменението на цената отразява индивидуалния ценови индекс

3. В статистическата теория промяната в обема на продажбите на продукт А в стойностно изражение отразява:

· Индивидуален индекс на оборота

· Продукт на индивидуалните ценови индекси и физическия обем на продажбите

4. Индексът на структурна промяна, изчислен за възвръщаемост на продажбите, равна на 1,023, показва:

Делът на по-доходоносните видове продукти в структурата на продажбите се увеличава и води до увеличение на средната рентабилност на продажбите за всички видове стоки с 2,3%

5. В социално-икономическата статистика за изчисляване на индекса на потребителските цени (индекс на Ласпейрес) с помощта на формулата за среднопретеглена аритметична стойност се използват следните данни за всяка група стоки:

• Индекс на цените

6. Според статистиката през годината номиналните заплати са се увеличили с 21,8%, потребителските цени през този период са се увеличили с 16%. Промяната в реалната работна заплата може да се изрази със следните данни:

• Увеличен с 5,8%
• Увеличен с 1,058 пъти

7. Във финансовата статистика се използват следните данни за изчисляване на индекса на дефлатора:

· Текущ обем на БВП в цени на базисния период

· Текущ обем на БВП по текущи цени

8. Според теорията на статистиката коефициентът на Лоренц се характеризира със следните твърдения:

· Промени от 0 до 1

· Позволява ви да оцените степента на неравномерно разпределение на дадена характеристика

9. В статистическата теория промяната в нивото на разходите за продуктова гама отразява:

· Композитен индекс на производствените разходи

· Произведението на обобщените индекси на разходите и физическия обем на продукцията

10. В статистическата практика при изчисляването на съставния индекс на Ласпейрес се използват следните данни:

· Цени за базисен и отчетен период

· Брой продукти от базисния период

11. В статистическата практика при изчисляване на обобщения индекс на търговския оборот се използват следните данни:

• Оборот за базисния период
• Оборот за отчетния период

12. Според статистиката за периода 2006-2007г. и 2007 – 2008г темповете на нарастване на цените на стоките и услугите в региона са съответно 110% и 107%. Въз основа на представените данни може да се твърди, че темпът на нарастване на цените през 2008г. в сравнение с 2006 г.:

• Равно на 117,7%
• Характеризира увеличение на цената от 17,7%

Много често срещана задача на статистиката е изучаването на промените в анализираните показатели във времето, т.е. изучаването на тяхната динамика.

Този проблем се решава чрез конструиране и анализиране на динамични редове (времеви редове).

Серия Dynamics – това са числените стойности на определен показател в последователни моменти или периоди от време (т.е. подредени в хронологичен ред).

Всяка серия от динамика има два основни елемента: време и ниво на серията.

В редиците на динамиката

– момент от време или период от време, за който се измерват или изчисляват изследваните показатели;

Стойността на изследвания показател в момента или периода от време.

Нивата в една динамична серия могат да бъдат представени чрез абсолютни, средни и относителни стойности.

Външнотърговският оборот (ВО) на Русия за периода 2000-2006 г.

Всички стойности на изследвания показател в динамичните серии са номерирани в хронологичен ред. Първото ниво на динамичната поредица се нарича начално (основно) ниво и се обозначава с , следващото ниво е -, следващото след него - и т.н., последното ниво на поредицата е -, номерът на последния ниво на серията () се обозначава като.

В таблицата по-долу = 6

Например,

Външнотърговският оборот (ВО) на Русия за периода 2000-2006 г.

година (T)
Обозначения на ниво ред
Външнотърговски оборот милиарди долара ()

Използва се и друг вариант за номериране на нивата на реда, при който на началното ниво се присвоява номер едно (), но ние няма да го използваме.

Динамичните серии обикновено се представят в таблична форма или графично. В този случай по абсцисната ос се изгражда времева скала T, а по ординатната ос е скалата на серийните нива г.

1. Видове динамични редове.

В зависимост от времето динамичните серии се разделят на два вида:

моментни серии от динамика.

Времето t i в тези серии представлява точки от времето, а стойностите y i са стойностите на индикатора в определени точки от времето (т.е. те са „снимки“ на процеса, който се изучава). Нивата на моментна поредица не могат да се добавят и няма смисъл, тъй като следващите нива изцяло или частично съдържат информация за същите единици на наблюдение като предишното ниво!

Например 4 души са живели в мини-хотел на 18 май, 8 души на 19 май, 10 души на 20 май и 8 души на 21 май. Не е известно кой от тях е живял в хотела на 18, 19 и 20 май. И е абсолютно невъзможно да се каже, че в периода 18 май - 21 май в хотела са живели 30 души (4+8+12+22+30).

интервална динамика

В тези серии данните се дават за определен период (на ден, на година, на месец и т.н.). Времето t i е представено чрез периоди от време, въпреки че те могат да бъдат представени с една цифра (21 март, 2-ро тримесечие, 2005 г. и т.н.). Стойностите на нивата на интервалните серии съдържат информация за различни единици на наблюдение. Стойностите на ниво на интервална серия могат да се добавят, за да се получат стойности на ниво на серия за по-големи периоди от време. Също така, въз основа на интервална серия, можете да изградите серия с кумулативни суми.

Например 4 души са се регистрирали в минихотел на 18 май, 4 души на 19 май, 2 души на 20 май, 0 души на 21 май. Тези данни съдържат информация само за клиентите, които са се регистрирали само в този ден, и това данните могат да се добавят. Събирайки нивата, можете да определите колко души са се настанили в хотела в периода 18 май - 21 май - 10 човека (4+4+2).

По-долу са дадени примери за различни типове динамични серии

Интервални времеви редове Динамика на производството на сладолед от предприятието по месеци, тонове

Септември

Обем на производство, тона

Динамика на производството на сладолед по тримесечия, тонове

Квартал, т

1-ва четвърт

2-ра четвърт

3-та четвърт

4-та четвърт

Обем на производство, тона

Динамика на производството на сладолед по тримесечия с натрупана сума, тона

- моментна серия от динамика

Количество сладолед в склада, тонове

В зависимост от времевите интервали между датите в моментните серии, моментните серии се разделят на:

моментни серии с равноотдалечени нива(има същия интервал от време между датите)

Производствена цена 1 тон, хиляди рубли

моментни серии с неравномерно разположени нива(времевият интервал между датите не е еднакъв)

Цената на 1 тон, хиляди рубли

В зависимост от размера на интервалите от време, интервалните серии се разделят на: 1) интервални серии с равни интервали (еднакъв интервал от време между датите)

интервални серии с неравни интервали (времевият интервал между датите не е еднакъв)

Да намеря средна стойност на моментна серия с равни ниваизползвайте средното хронологично: .

Средно хронологично за различни нива на моментни серии:

Цел на услугата. С помощта на този онлайн калкулатор можете да изчислите средна стойност на моментни сериипо осреднените хронологични формули.

Инструкции. Изберете количеството данни и посочете дали са дни, месеци или години

Пример №1. Населението на града беше:

• към 1 януари – 80 500 души,
• към 1 февруари – 80 540 души,
• към 1 март – 80 550 души,
• към 1 април – 80 560 души,
• към 1 юли – 80 620 души,
• към 1 октомври – 80 680 души,
• към 1 януари следващата година - 80 690 души.

Определете средното население на града през първото тримесечие, през първата половина на годината и за годината като цяло.

Решение.
Представените данни са моментни серии. Намираме средната стойност, използвайки формулата за хронологична средна стойност.
Средна хронологична стойност за различните нива на моментната серия:

y av = (80500+80540)*1 + (80540+80550)*1 + (80550+80560)*1 + (80560+80620)*3 + (80620+80680)*3 + (80680+80690)*3 /(2*12) = 1934790/(2*12) = 80616.25 ≈ 80616 души
Средно за първото тримесечие:
Човек
Средно за второто тримесечие:
Човек
Средно за третото тримесечие:
Човек
Средно за първото полугодие:
Човек

Пример №2. Според Таблици 7(Приложение 2) изберете динамичната серия, съответстваща на вашата опция, за която:
1. Изчислете:
а) средногодишното ниво на динамичните редове;
б) верижни и основни показатели на динамика: абсолютен прираст, темп на прираст, темп на прираст;
в) среден абсолютен прираст, среден прираст, среден прираст.

Насоки
За характеризиране на динамиката се изчислява система от показатели за динамика.

Индикатор за динамика	Формули за изчисление
	на верижен принцип	на основна основа
Абсолютно увеличение (+), намаление (-)	Δ c =y i -y i-1	Δ b =y i -y 1
Скорост на растеж
Скорост на растеж
Темп на нарастване
Абсолютна стойност от един процент увеличение	A1%=0,01·y i-1	-

За обобщаване на динамиката се използват следните:

• средни нива на реда;
• средни показатели за промени в нивата на серията.

Средното ниво на интервалната серия се изчислява по формулата.
За да намерите средното ниво на моментна поредица, използвайте средната хронологична стойност: .
Средно абсолютно увеличениеизчислени в зависимост от първоначалните данни по следните начини:
или
Среден темп на растеж(намаляване):
или, .
Среден темп на растеж(намаляване): .

В следващия пример ще намерим средния фонд работна заплата (за интервална серия).

година	Фонд за заплати, хиляди рубли.
1994	300
1995	349
1996	379
1997	450
1998	501
1999	581
2000	600
2001	648
2002	677
2003	748
2004	800

Средното ниво на интервалната серия се изчислява по формулата:


Средният размер на заплатата от 1994 г. до 2004 г. е 548,45 хиляди рубли.
Среден темп на растеж


Средно за целия период от 1994 г. до 2004 г. ръстът на заплатите е 1,1 (с 10% годишно увеличение).
Среден темп на растеж


Средно абсолютно увеличение


Средно за целия период фондът за заплати се е увеличил с 50 хиляди рубли. от година на година.

В следващия пример ще намерим средната численост на производствения персонал (за моментната серия).
Верижни индикатори на серия от динамика.

Период	брой ПЧП	Абсолютно увеличение	Темп на растеж, %	Темпове на растеж, %	Абсолютно съдържание от 1% увеличение	Скорост на нарастване, %
1994	470	0	0	100	4.7	0
1995	500	30	6.38	106.38	4.7	6.38
1996	505	5	1	101	5	1.06
1997	533	28	5.54	105.54	5.05	5.96
1998	540	7	1.31	101.31	5.33	1.49
1999	589	49	9.07	109.07	5.4	10.43
2000	577	-12	-2.04	97.96	5.89	-2.55
2001	594	17	2.95	102.95	5.77	3.62
2002	640	46	7.74	107.74	5.94	9.79
2003	628	-12	-1.88	98.13	6.4	-2.55
2004	646	18	2.87	102.87	6.28	3.83

За да намерите средното ниво на поредица от моменти, използвайте средното хронологично:


Средносписъчният брой на промишления персонал на предприятието за анализирания период е 566,4 души.

16. Индикатори за динамични редове, тяхното изчисляване и практическо приложение.

Времеви редове- поредица от хомогенни сравними величини, показващи промени в изследваното явление във времето. Това е статистическа форма за показване на развитието на явленията във времето. Числата, които съставят динамична серия, обикновено се наричат ​​нива на серия. Серийните нива могат да бъдат представени с абсолютни числа, относителни и средни стойности .

Разграничават се следните видове времеви редове.

просто- серия, съставена от абсолютни стойности, характеризиращи

динамика на едно явление.

Простите редове са отправната точка за конструиране на производни редове.

Производна- серия, състояща се от средни или относителни стойности.

Интервални сериисе състои от последователна поредица от числа, характеризиращи промяна в явление за определен период (във времето).

Моментна сериясе състои от величини, които определят размера на едно явление не за някакъв период от време, а за определена дата - момент.

За по-задълбочено разбиране на същността на развитието на социалните явления се изчисляват динамични серии показатели като абсолютен растеж, темп на растеж, темп на растеж, абсолютна стойност на 1% растеж.

Абсолютно увеличениенаричайте разликата между всяко следващо ниво и предишното ниво. Абсолютният растеж може да бъде положителен или отрицателен.

Скорост на растеже отношението на всяко следващо ниво към предходното, изразено като процент.

Скорост на растеже съотношението на абсолютния растеж към предишното ниво, взето за 100%.

Тъй като всеки относителен показател отговаря на определени абсолютни стойности, при изучаване на темповете на растеж е необходимо да се вземе предвид каква абсолютна стойност съответства на всеки процент на растеж и какво е неговото съдържание. За целта се изчислява следният показател: абсолютна стойност от един процент растеж. Дефинира се като частното на абсолютния растеж за определен период, разделено на процентния темп на растеж за същия период.

За да онагледим изчисленията на разглежданите статистически показатели, представяме поредица от динамики.

Нека дадем пример. Необходимо е да се анализира динамиката на раждаемостта в определен район (Таблица 5).

Таблица 5 - Динамика на раждаемостта в района за 1996–2005 г.

	Плодовитост, %	Абсолютно увеличение	Темп на растеж, %	Темп на растеж, %	Абсолютна стойност от 1% увеличение

1. Определете абсолютното увеличение: 8,9 – 9,4 = – 0,5; 9,2 – 8,9 = 0,3 и т.н.

Изчисляваме темпа на растеж: – 0,5×100/9,4 = – 5,3 и т.н.

3. Намерете скоростта на растеж: 8,9 × 100/9,4 = 94,7 и т.н.

4. Получаваме абсолютната стойност от 1% увеличение: – 0,5/ – 5,3 = 0,09

Динамичната серия не винаги се състои от нива, които последователно се променят в посока на намаляване или увеличаване. Често нивата на времевия ред се колебаят рязко и това не ни позволява да идентифицираме основната тенденция, присъща на изследваното явление за определен период от време. В такива случаи динамичните редове се изравняват. Има няколко начина за подравняване на времеви редове: разширяване на интервала, изглаждане чрез изчисляване на пълзяща средна, аналитично подравняване по права линия и др.

Помислете за подравняване по права линия, което се извършва по следния начин:

Y t (теоретични нива) = a o + a 1 t, където t е символът на времето, а o и a 1 са параметрите на желаната линия, които се намират от решаването на системата от уравнения:

na 0 + a 1 Σt = Σy;

a 0 Σt + a 1 Σt 2 = Σyt; където y - действителните нива; n е броят на динамичните редове. Системата от уравнения се опростява, ако t е избрано така, че тяхната сума да е равна на 0, т.е. преместете началото на отброяването на времето в средата на разглеждания период. Тогава:

a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 .

Замествайки получените стойности на 0 и 1 във формулата, се изчисляват всички стойности на теоретичното ниво.

Разгледайте следния пример (Таблица 6):

Таблица 6: Изравняване на раждаемостта за 2003–2008 г

	Плодородие, (y)	Условно обозначение на времето, t			Теоретично ниво след изравняване	Тригодишни пълзящи средни

n = 6 Σy = 53,6 Σyt = – 30,6 Σ tt=70.

Ако редът е четен, броенето започва от 1 (средата на реда), след това последователно нечетни числа 3, 5, 7 и т.н. в двете посоки (нагоре с –; надолу с +); ако редът е нечетен, символът за време започва от 0 (средата на реда), след това 1, 2, 3 и т.н. отиване и връщане.

Процедурата за изчисление е следната:

Y t (теоретични нива) = a o + a 1 t;

a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 ;

a 0 = 8,9 a 1 = – 0,4;

8,9 + (– 0,4) × (– 5) = 11;

8,9 + (– 0,4) × (– 3) = 10,1; и т.н.

Процедурата за изчисляване на пълзящата средна:

За 2004 г. (9,4 + 8,9 + 9,2) / 3 = 9,2.

За 2005 г. (8,9 + 9,2 + 8,3) / 3 = 8,8 и т.н.

Интервалът се разширява чрез сумиране на данни за редица съседни периоди (табл. 7).

Таблица 7

Плодовитост

За 2003–2005 г. раждаемостта е 9,4 + 8,9 + 9,2 = 27,5.

За 2006–2008 г. раждаемостта е 8,3 + 9,4 + 8,4 = 26,1.

17. Връзки между явленията (функционални, корелационни). Видове корелации по сила и посока. Метод на корелация на серията (Pearson), етапи на изчисляване на коефициента на корелация, оценка на надеждността

Всички явления в природата и обществото са взаимосвързани. Според характера на зависимостта на явленията се разграничават:

функционален (пълен);

корелационна (непълна) връзка.

Функционална връзкаозначава строга зависимост на явленията, когато всяка стойност на едно от тях винаги съответства на определена, същата стойност на другата.

С корелационна връзкаедна и съща стойност на една характеристика съответства на различни стойности на друга. Например: има връзка между ръста и теглото, между заболеваемостта от злокачествени новообразувания и възрастта и др.

Посоката прави разлика между преки и обратни корелации. В пряк случай увеличението на една от характеристиките води до увеличаване на другата; в обратния случай, когато една характеристика се увеличава, втората намалява.

Силата на връзката може да бъде силна, средна или слаба. Въз основа на статистически анализ е възможно да се установи наличието на връзка, нейната посока и да се измери нейната сила.

Един от начините за измерване на връзката между явленията е да се изчисли коефициентът на корелация, който се обозначава с r xy. Най-точен е методът на квадратите (Pearson), при който коефициентът на корелация се определя по формулата:
, Където

r xy е коефициентът на корелация между статистическите серии X и Y.

d x е отклонението на всяко от числата на статистическата серия X от средното му аритметично.

d y е отклонението на всяко от числата на статистическата серия Y от средното му аритметично.

В зависимост от силата на връзката и нейната посока коефициентът на корелация може да варира от 0 до 1 (-1). Коефициент на корелация 0 показва пълна липса на връзка. Колкото по-близо е нивото на коефициента на корелация до 1 или (-1), толкова по-голяма и по-близка е пряката или обратната връзка, която измерва. Когато коефициентът на корелация е равен на 1 или (-1), връзката е пълна и функционираща.

Схема за оценка на силата на корелация с помощта на коефициента на корелация

Силата на връзката	Стойността на коефициента на корелация, ако има такъв
	директна връзка (+)	обратна връзка (-)
Няма връзка
Връзката е малка (слаба)	от 0 до +0,29	от 0 до –0,29
Връзка средна (умерена)	от +0,3 до +0,69	от –0,3 до –0,69
Връзката е голяма (силна)	от +0,7 до +0,99	от –0,7 до –0,99
Пълна комуникация (функционален)

За изчисляване на коефициента на корелация по квадратния метод се съставя таблица от 7 колони. Нека да разгледаме процеса на изчисление, използвайки пример:

ОПРЕДЕЛЕТЕ СИЛАТА И ХАРАКТЕРА НА ВРЪЗКАТА МЕЖДУ

	Време е- ност гуша (V г )	д x = V х –М х	д y= V г –М г	д х д г	д х 2	д г 2
				Σ -1345 ,0	Σ 13996 ,0	Σ 313 , 47

1. Определете средното съдържание на йод във водата (в mg/l).

mg/l

2. Определете средната честота на гуша в %.

3. Определете отклонението на всеки V x от M x, т.е. dx.

201–138=63; 178–138=40 и т.н.

4. По същия начин определяме отклонението на всяко V y от M y, т.е. г г.

0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2 и т.н.

5. Определете продуктите на отклоненията. Обобщаваме получения продукт и получаваме.

6. Повдигаме на квадрат d x и сумираме резултатите, получаваме.

7. По същия начин повдигаме на квадрат d y, обобщаваме резултатите, получаваме

8. Накрая заместваме всички получени суми във формулата:

За да се реши проблемът с надеждността на коефициента на корелация, неговата средна грешка се определя по формулата:

(Ако броят на наблюденията е по-малък от 30, тогава знаменателят е n–1).

В нашия пример

Стойността на коефициента на корелация се счита за надеждна, ако е поне 3 пъти по-висока от средната му грешка.

В нашия пример

По този начин коефициентът на корелация не е надежден, което налага увеличаване на броя на наблюденията.

Коефициентът на корелация може да се определи по малко по-малко точен, но много по-лесен начин - методът на ранговете (Spearman).

Оценка на доверието:

1. оценка на надеждността на интензивния индикатор:

m = √P x q / n (корен от всички)

където p е показател, изразен в %, ‰, %oo и т.н. q = (100 - p), като p е изразено в %; или (1000 - p), с p изразено в ‰ или (10000 - p), с p изразено в %oo и т.н.

t=1, увереност 68,3%

2. Оценка на достоверността на разликата между 2 интензивни показателя

M1 и M2 грешки на представителност.

3. оценка на достоверността на средноаритметичното

където σ - стандартно отклонение n - брой наблюдения

T=M/m, ако t е по-голямо от 2, вж. аритметиката е надеждна.

4 .оценка на достоверността на разликата 2 вж. аритметика