Sve do sredine dvadesetog stoljeća. ekonomski teoretičari ignorirali su matematičke modele istraživanja. Međutim, unatoč ugnjetavanju, matematičari su nastavili s radom i postizali briljantne rezultate. Među njima su predstavnici matematičke škole L. Kantorovich i T.-Ch. Koopmans.
Kantorovich Leonid Vitalievich (1912-1986) - sovjetski ekonomist, dobitnik Nobelove nagrade (1975).
Teorija optimalne alokacije resursa- teorija koja omogućava formuliranje statističkih i dinamičkih modela sadašnjeg i budućeg planiranja korištenja resursa na temelju novih matematičkih pristupa u području izgradnje sustava. ekonomski pokazatelji, koristi se za analizu cijena, učinkovitosti kapitalna ulaganja.
Prvi je skicirao temelje teorije optimalne alokacije resursa u svom djelu “Matematičke metode organiziranja i planiranja proizvodnje” (1939). U njemu je iznio temeljno nova klasa ekstremni problemi s ograničenjima, razvijanje učinkovite metode za njihovo rješavanje. U to je vrijeme znanstvenik formulirao problem izrade plana i sustava cijena kao međusobno ovisnih komponenti nedjeljive dvojnosti. Uostalom, nemoguće je istovremeno minimizirati troškove i maksimizirati rezultate. U isto vrijeme, ova dva pristupa su međusobno povezana: ako pronađemo optimalnu shemu prijevoza, tada joj odgovara određeni sustav cijena. Ako odredimo optimalne vrijednosti cijene, tada je relativno lako dobiti shemu prijevoza koja zadovoljava zahtjeve optimalnosti.
Osnova ove teorije je metoda linearnog programiranja. Linearno programiranje je rješavanje linearnih jednadžbi (jednadžbi prvog stupnja) dodavanjem programa i uvođenjem različitih metoda za njihovo sekvencijalno rješavanje, što uvelike olakšava izračune i postizanje rezultata.
L. Kantorovich opravdano ekonomska suština odlučujuće faktore koje on predlaže. Oni su zapravo granični troškovi ograničavajućih čimbenika. To jest, to su objektivne cijene svakog faktora proizvodnje u odnosu na konkurentne tržišne uvjete. Za rješavanje problema optimalnosti, znanstvenik je koristio metodu uzastopnih aproksimacija, sekvencijalne usporedbe opcija s izborom najboljeg u skladu s uvjetima problema.
Problemi linearnog programiranja poznati su krajem 18. stoljeća. Međutim, počeli su ih rješavati tek nakon objavljivanja djela L. Kantorovicha. U SAD-u su istraživanja linearnog programiranja započela tek kasnih 1940-ih. Hitchcockov transportni problem i Dantzigova simpleks metoda, koji su po prirodi bliski Kantorovichevoj metodi za rješavanje problema linearnog programiranja, razvijeni su desetljeće kasnije.
Cjelovitost razmišljanja bila je očita u cijelom Kantorovichevu radu. Ideje linearnog programiranja bile su usko povezane s njegovim metodološkim smjernicama u području matematike. Sredinom 1930-ih funkcionalna analiza zauzima središnje mjesto u Kantorovichevim matematičkim istraživanjima.
Kantorovichevi radovi postavili su temelje za teoriju optimalnog planiranja socijalističkog gospodarstva, koja je bila široko korištena u praksi planiranja do kraja 80-ih. ekonomski razvoj u SSSR-u, kao i u drugim socijalističkim zemljama. Glavne ideje teorije optimalnog planiranja prikazane su u monografiji „Ekonomska kalkulacija najbolja upotreba resursa" (1959, 1960), koji je najpoznatiji rad znanstvenika. Srž ove knjige bila je formulacija glavnog problema planiranja proizvodnje i dinamičkog problema optimalnog planiranja. Ti su problemi formulirani vrlo jednostavno, ali su uzeo u obzir glavne značajke planiranja u sovjetskom gospodarstvu.
Povezane informacije:
- & 1. Pojam istražnog pokusa, njegove vrste i značaj
Dana 15. listopada 2007., Kraljevska švedska akademija znanosti objavila je da su Nobelovu nagradu za ekonomiju za 2007. dodijelili trojici američkih ekonomista - Leonid Gurvits, Eric Maskin I Rogera Myersona za “stvaranje temelja teorije optimalnih mehanizama za raspodjelu resursa”.
Istraživači su pokušali riješiti pitanje optimalne raspodjele resursa u uvjetima nepotpune informiranosti sudionika na tržištu jedni o drugima.
Teoriju optimalnih mehanizama alokacije resursa stvorio je Hurwitz, a Maskin i Mayerson su je u uvjetima informacijske asimetrije razvili i dopunili J. Akerlof, M. Spence i J. Stiglitz.
Teorija informacijske asimetrije kaže da u uvjetima kada sudionici transakcije nemaju jednaku količinu informacija o predmetu transakcije, sudionik s više informacija postiže cijenu iznad svoje optimalne razine.
Stvaranje i razvoj teorije optimalne alokacije resursa pomaže objasniti situacije koje se događaju na tržištu, razlučiti koji trendovi (pozitivni ili negativni) prevladavaju u određenom trenutku.
Prema članovima Nobelovog odbora, razvoj teorije optimalnih mehanizama za raspodjelu resursa omogućio je identificiranje učinkovitih mehanizama trgovanja, regulatornih shema i postupaka glasovanja, a također je značajno proširio znanje o značajkama optimalne alokacije resursa.
GURVITZ Leonid (Leon) je emeritus profesor ekonomije na Sveučilištu Minnesota, SAD. Rođen 1917. u Moskvi (Rusija) u obitelji izbjeglica iz Poljske. Kasnije su se njegovi roditelji preselili u SAD, gdje Gurwitz živi i danas. Hurwitz je najstariji (ima 90 godina) nobelovac za sve godine u svim kategorijama. Bio je jedan od prvih koji je cijenio priliku koju teorija igara otvara ekonomskoj znanosti.
Teorija optimalne alokacije koju je stvorio izravno je povezana s optimalnom alokacijom resursa, što je ključni aspekt ekonomije. Ranije korištena analiza optimalne alokacije resursa pomoću tržišne teorije bila je učinkovita samo u idealnim uvjetima, koji u stvarnoj praksi ne postoje. Teorija optimalnih mehanizama raspodjele ograničenih resursa postavlja problem pronalaženja najučinkovitijeg mehanizma u trenutnom stvarnom životu.
Hurwitz je otkrio da je najučinkovitiji mehanizam za distribuciju dobara u mnogim slučajevima dvostruka dražba, u kojoj cijene ne određuju samo prodavači, već i kupci. Teorija koju su razvili Hurwitz i drugi dobitnici Nobelove nagrade za ekonomiju 2007. objašnjava zašto tržišni mehanizmi ne funkcioniraju dobro s javnim dobrima kao što su vodni resursi i ceste. Njihova isplativa distribucija može zahtijevati drugu metodu, kao što je porez na korištenje.
Hurwitz je stvorio teoriju mehanizama optimalne raspodjele resursa 1960. Mehanizam je shvatio kao igru u kojoj sudionici međusobno razmjenjuju informacije ili s "centrom za poruke", a unaprijed određena pravila određuju raspodjelu resursa za svaki skup poruka. Hurwitz je proučavao stanja ravnoteže koja proizlaze iz igre. Odabrao je ona rješenja koja su bila optimalna za sve sudionike u igri. Sheme koje je razvio funkcioniraju čak i kada sudionici u igri ne znaju koliko njihovi susjedi daju za sredstva koja su im potrebna. Sustav organiziranja aukcije nastoji što potpunije udovoljiti zahtjevima svakog sudionika. U isto vrijeme, sudionici igre tajno šalju svoje procjene robe sustavu. Kao rezultat toga, dobivena distribucija ispada što bliža pravednoj.
Godine 1972. Hurwitz je pojednostavio analizu i uveo takozvani “princip objave” koji sužava i ograničava područje istraživanja.
Igre Hurwitz pomažu sudionicima aukcije da kupe ili prodaju ovo ili ono dobro što je moguće isplativije za sebe.
Važno je napomenuti da teorija optimalnih mehanizama uzima u obzir situacije u kojima novac nije glavna stvar. Stoga optimalni mehanizmi mogu biti korisni u slučajevima kada je državni prioritet javno dobro pri provođenju transakcija ili dražbi.
Međutim, Hurwitz posebnu važnost pridaje još jednom području korištenja svoje teorije. U
U telefonskom intervjuu s Nobelovim odborom nazvao je to "socijalnom sigurnošću".
MASKIN Eric (r. 1950.) – profesor na Sveučilištu Princeton; zajedno s Myersonom, profesorom na Sveučilištu u Chicagu, 1972. Hurwitzov “princip objave” sveden je na Nashovu ravnotežu već poznatu ekonomskoj znanosti (J. Nash američki je ekonomist, dobitnik Nobelove nagrade za ekonomiju 1994.), što je analiza alata u gotovo svim odjeljcima ekonomske znanosti kada je potrebna sveobuhvatna analiza interakcije gospodarskih subjekata.
Maskin je iznio najvažnije uvjete učinkovitost u radu na organiziranju privatizacijskih dražbi. Prema Maskinu, najučinkovitija dražba je ona na kojoj plaćaju svi sudionici, a predmet se plaća više od ostalih. Maskin koristi teoriju optimalnih distribucijskih mehanizama za analizu glasovanja.
MAYERSON Roger (r. 1951.) je profesor na Sveučilištu u Chicagu. Skrenuo je pozornost na traženje optimalnih mehanizama raspodjele između države i monopola.
Myerson je to predložio u suradnji s drugim znanstvenicima nadzorna tijela nemaju potpune i pouzdane informacije o stvarnoj cijeni proizvoda monopolista. Ali, prema Myersonu, antimonopolska tijela uvijek imaju izbor između nametanja rente monopolistima i stimuliranja učinkovite razine proizvodnje.
Myersonov rad o optimalnim dražbama, objavljen 1981., činio se apstraktnim. Međutim, ako dražbe promatrate kroz leću Hurwitzeve teorije poticaja, čini se korisnim.
Istraživanja Hurwitza, Maskina i Myersona imaju određene paralele s istraživanjem teorije tržišta pod asimetričnim informacijama Akerlofa, Spencea i Stiglitza, za što su 2001. godine dobili Nobelovu nagradu.
Sugerira se da bi se njezino gospodarstvo moglo uspješnije razvijati da su Hurwitzovu teoriju poznavali i primjenjivali autori i organizatori privatizacije državne i javne (kolektivne) imovine u Rusiji.
Do sredine 20. stoljeća teorijski ekonomisti ignorirali su matematičke pristupe i opravdanje. Ali matematička istraživanja su se nastavila i postignuti su briljantni rezultati. Godine 1975. najbolji predstavnici matematičke škole bili su sovjetski znanstvenik L. Kantorovich i američki profesor T.-C. Koopmans je dobio Nobelovu nagradu.
Kantorovich(1912.-1986.) rođen je u St. Godine 1930. diplomirao je na Lenjingradskom sveučilištu, a četiri godine kasnije dobio je zvanje profesora. Radio je na Lenjingradskom institutu inženjera industrijske gradnje, bio je šef katedre Visoke inženjersko-tehničke škole i profesor na Lenjingradskom sveučilištu. Godine 1958., zajedno s V. Nemchinovom, stvorio je Laboratorij za primjenu statističkih i matematičkih metoda u ekonomiji. Iste godine L. Kantorovich izabran je za dopisnog člana, a 1964. - za redovnog člana Akademije znanosti SSSR-a.
Autor djela “Metode za približno rješenje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi” (zajedno s V. Krylovom, 1936.), “Funkcionalna analiza u uređenim prostorima” (zajedno s B. Vulikheom i A. Pinskerom, 1949.), “Funkcionalna analiza i primijenjena matematika "(1948.), "Ekonomski izračun najboljeg korištenja resursa" (1959.), "Funkcionalna analiza u normaliziranim prostorima" (zajedno s G. Akilovom), koja je doživjela nekoliko publikacija u SSSR-u i inozemstvu, "Dinamički model optimalnog planiranja" (1967), "Cijene i tehnički napredak(1979) i mnogi drugi.
Počasni član Međunarodnog ekonometrijskog društva, počasni doktor sveučilišta Grenoble, Helsinki, Yale, Pariz, Cambridge, Pennsylvania, kao i sveučilišta u Varšavi, Glasgowu, Münchenu, Nici i Martin Luther u Halleu, te Statističkog instituta u Calcutti. Dobitnik Nobelove nagrade (1975).
Koopmans Tjalling-Charles (1910.-1985.) rođen je u Gravelandu (Holandija). Od 1927. do 1933. školovao se na Sveučilištu u Utrechtu. Od 1934. pripremao je doktorsku disertaciju na Sveučilištu u Amsterdamu, “Linearna regresivna analiza ekonomskih vremenskih zona”, koju je obranio 1936. na Sveučilištu u Leidenu. Predavao je ekonomiju i vodio istraživačke aktivnosti u Nizozemskoj ekonomski institut u Rotterdamu. Dvije godine (1938-1940) radio je kao ekspert Lige naroda za pitanja novčani promet. Godine 1940. emigrirao je u SAD i predavao na sveučilištima New York, Chicago i Harvard.
Najveća priznanja dobile su njegove knjige “Statističko zaključivanje o dinamičkim modelima” (1950.), “Tri eseja o stanju ekonomske znanosti” (1975.) i mnoge druge.
Bio je član Ekonometrijskog društva Sjedinjenih Država. Godine 1950. izabran je za predsjednika Međunarodnog ekonometrijskog društva. Tijekom 1955-1981 Radio je kao profesor ekonomije na Sveučilištu Yale. Član emeritus Američkog ekonomskog udruženja, profesor emeritus na Yale institutu, dobio je počasne diplome Nizozemske ekonomske škole, Katoličkog sveučilišta Louvain, Sveučilišta Northwestern i Sveučilišta Pennsylvanije. Dobitnik Nobelove nagrade (1975).
Osnova teorije optimalne alokacije resursa je metoda linearnog programiranja, koju je prvi potkrijepio L. Kantorovich novi odjeljak matematike, proširila se u gospodarsku praksu, pridonijela razvoju i korištenju elektroničke računalne tehnologije. Bit metode je maksimizirati ograničeni resursi. Uvjeti optimalnog problema i cilj koji se želi postići mogu se izraziti sustavom linearnih jednadžbi. Nepoznanice u njima su samo prvog stupnja; nijedna nepoznanica se NE množi drugom nepoznanicom. Takve jednadžbe izražavaju ovisnosti i na grafu su prikazane ravnim linijama. Budući da ima manje jednadžbi nego nepoznanica, problem obično nema jedno, nego mnogo rješenja. Treba pronaći jedno rješenje, što je u matematičkoj terminologiji ekstrem. Tako je u problem optimizacije proizvodnje šperploče L. Kantorovich uveo varijablu koju treba maksimizirati u obliku zbroja troškova proizvoda proizvedenih svim strojevima. Ograničivači su formulirani u obliku jednadžbi koje uspostavljaju odnos između svih faktora utrošenih u proizvodnji (drvo, ljepilo, električna energija, radno vrijeme) i količine proizvedenih proizvoda (šperploča) na svakom od strojeva. Za pokazatelje čimbenika proizvodnje uvedeni su koeficijenti koji se nazivaju rješavajući faktori ili množitelji. Uz njihovu pomoć rješavaju postavljene zadatke. Ako su poznate vrijednosti odlučujućih faktora, tada se lako mogu izračunati tražene vrijednosti, posebno optimalni obujam proizvodnje.
L. Kantorovich opravdano ekonomska suština koeficijenti (odlučujući čimbenici) koje on predlaže kao granične troškove ograničavajućih čimbenika objektivno su značajne cijene svakog od čimbenika proizvodnje u odnosu na uvjete konkurentskog tržišta. Za rješavanje optimalnog problema, znanstvenik je koristio metodu uzastopnih aproksimacija, sekvencijalne usporedbe opcija s izborom najboljeg u skladu s uvjetima problema.
Temelji teorije optimalne alokacije resursa prvi put su objavljeni 1939. godine. U radu "Matematičke metode organizacije i planiranja proizvodnje". U njemu je Kantorovich predložio temeljno novu klasu ekstremnih problema s ograničenjima, razvijajući učinkovitu metodu za njihovo rješavanje. Znanstvenik je formulirao zadatak izrade plana i sustava cijena kao međusobno povezanih komponenti nedjeljive dvojnosti, što je bilo veliko postignuće, jer je nemoguće istovremeno minimizirati troškove i maksimizirati rezultate. U isto vrijeme, oba ova pristupa su međusobno povezana: ako je, na primjer, pronađena optimalna shema prijevoza, tada joj odgovara određeni sustav cijena; Ako se utvrde optimalne vrijednosti cijene, tada je moguće dobiti shemu prijevoza koja zadovoljava zahtjeve optimalnosti.
Pojam "faktori razdvajanja" kasnije je protumačio L. Kantorovich i formulirao ga kao objektivno određene procjene. Oni nisu proizvoljni; njihove vrijednosti moraju biti objektivno određene svojom prirodom, specificirane specifičnim uvjetima problema. Vrijednost objektivno utvrđenih ocjena prikladna je samo za jedan zadatak. Znanstvenik je predložio njihovo izračunavanje pri izradi planova; Poduzeća se pozivaju da se oslanjaju na ove pokazatelje pri izračunavanju troškova i obujma proizvodnje relevantnih proizvoda. Objektivno utvrđene procjene korigiraju se ovisno o odnosu potražnje i obujma proizvodnje. Uvedeni u praksu planiranja i upravljanja, proračuni bi trebali optimizirati korištenje resursa.
Problemi linearnog programiranja poznati su od kraja 18. stoljeća. Međutim, počeli su se razvijati tek nakon objavljivanja radova L. Kantorovicha, koji je postao otkrivač linearnog programiranja. U SAD-u su istraživanja linearnog programiranja započela kasnih 40-ih godina 20. stoljeća * Hitchcockov transportni problem i Dantzigova simpleks metoda (bliska Kantorovichevoj metodi za rješavanje problema linearnog programiranja) razvijeni su desetljećima kasnije.
U 50-ima je L. Kantorovich, sažimajući svoja istraživanja, proširio opseg analize i objavio knjigu „Ekonomski izračun najboljeg korištenja resursa” (1959.), čija je prva verzija pripremljena još 1942. U njoj i u U kasnijim člancima primijenio je svoju metodu linearnog programiranja kako bi istražio širok raspon pitanja planiranja, posebice na nacionalnoj razini.
Znanstveni doprinosi L. Kantorovicha uključuju poznate znanstvene škole u području funkcionalne analize, računalne matematike, matematičke ekonomije i optimalnog planiranja Nacionalna ekonomija. Matematičko programiranje koje je otkrio široko se koristi za rješavanje sličnih problema u ekonomiji, fizici, energetici, geologiji, biologiji, mehanici i teoriji upravljanja. Bio je jedan od utemeljitelja modernog ekonomsko-matematičkog pravca u ekonomskoj znanosti.
Metoda linearnog programiranja po prvi je put omogućila točnu formulaciju važnog modernog ekonomskog i matematičkog koncepta "optimalnosti". L. Kantorovich i njegovi kolege razvili su sustav optimalnog funkcioniranja gospodarstva (SOFE) i formirali modele za učinkovitu raspodjelu i procjenu resursa. Sa stajališta teorije dualnosti, L. Kantorovich je još 50-ih godina prošlog stoljeća preporučio izračunavanje optimalne procjene kapitalnih ulaganja za plansko razdoblje.
Dao ju je ekonomsko objašnjenje i pokazao njenu važnost u upravljanju gospodarstvom. Bio je to znanstveno utemeljen pristup izračuna numeričke vrijednosti jedinstvenog nacionalnog gospodarskog standarda za učinkovitost korištenja kapitalnih ulaganja, koji je bio daleko ispred svog vremena.
Nešto kasnije, ali neovisno o L. Kantorovichu, sličnu metodologiju predložio je T.-Ch. Koopmans. Godine 1944.-1945 Razvio je plan za trgovačko brodarstvo koji je smanjio mogućnost opasnog torpediranja praznih teretnih brodova od strane nacističkih podmornica. Njegov je cilj bio minimizirati praznu kilometražu brodova i riješio je problem pokušajem i pogreškom. Koopmans je to dokazao ekonomski problem poklapa se s matematičkim problemom minimiziranja linearne funkcije. Znanstvenik je prvi opisao ovu analitičku tehniku 1942. godine. Pod nazivom "Odnos između tokova tereta na različitim rutama." Pokazao je da se navedeni problem treba promatrati kao funkcija linearne maksimizacije unutar okvira mnogih ograničenja. Ograničenja su bila predstavljena matematičkim jednadžbama koje izražavaju omjer količine proizvodnih čimbenika potrošnje (amortizacija plovila, vrijeme, troškovi rada) i količine tereta isporučenog na različita odredišta. U tom slučaju iznos bilo kakvih troškova ne smije premašiti zbroj troškova robe isporučene u svaku luku. Znanstvenik je primijetio bit principa linearnog programiranja, a to je da će u optimalnom slučaju i uz idealne procjene svih resursa, troškovi i rezultati biti jednaki. Dakle, T.-Ch. Koopmans je upotrijebio matematičke alate i stvorio metodu za određivanje optimalne raspodjele resursa između konkurentskih potrošača, koja bi, primjerice, mogla izračunati troškove dostave milijuna tona tereta koji morem prevozi tisuće brodova do stotina luka. Koopmansova metoda, nazvana "analiza aktivnosti poduzeća", uvrštena je u opću metodologiju linearnog programiranja. Nakon toga, znanstvenik je razvio i popularizirao metode linearnog programiranja. Zahvaljujući njegovom zalaganju, 20.-24. lipnja 1949. u Chicagu je organizirana prva posebna konferencija o linearnom programiranju.
U1950 T.-Ch. Koopmans i drugi istraživači konačno su razvili takozvanu metodu "analize poduzeća". Modeli ove vrste su isti kao međuindustrijski, linearni, ali u njima se svaka vrsta proizvodne aktivnosti može povezati s proizvodnjom više dobara, a postoji izbor između razne tehnologije proizvodnju svake vrste proizvoda. Proizvodni model kao što je analiza aktivnosti poduzeća u pravilu sadrži mnogo više stupnjeva slobode od konvencionalnog input-output modela, što otvara prirodne mogućnosti za optimizaciju. Zato se analiza aktivnosti poduzeća razvila u uskoj vezi s linearnim programiranjem.
Teorija optimalne alokacije resursa, čiji su utemeljitelji L. Kantorovich i T.-C. Koopmans definira model proizvodnog procesa i metodom linearnog programiranja daje izbor između nekoliko mogućih opcija koje maksimiziraju proizvodnju ne samo na razini poduzeća, već i na makroekonomskoj razini.
Knyazeva A., Lykova N.P.
Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Rusko državno humanitarno sveučilište"
Podružnica u Samari
formuliranje problema linearnog programiranja i njihovo rješavanje pomoću msexcela
Rođenjem linearnog programiranja smatra se 1939. godina, kada je objavljena brošura Leonida Vitalijeviča Kantoroviča “Matematičke metode organizacije i planiranja proizvodnje”. Budući da su metode koje je opisao L.V. Kantorovich bile malo prikladne za ručno izračunavanje, a brza računala u to vrijeme nisu postojala, rad L.V. Kantorovicha ostao je gotovo nezapažen.
Linearno programiranje ponovno je rođeno početkom pedesetih s pojavom računala. Tada počinje opća strast prema linearnom programiranju, što je pak uzrokovalo razvoj drugih grana matematičkog programiranja. Godine 1975. dobili su akademik L.V.Kantorovich i američki profesor T. Koopmans Nobelova nagrada doktor ekonomskih znanosti za "doprinos razvoju teorije i optimalno korištenje resursa u gospodarstvu."
Uvidjelo se da je potrebno naučiti rješavati probleme nalaženja ekstrema linearnih funkcija na poliedrima definiranim linearnim nejednadžbama. Na prijedlog Koopmansa, ova grana matematike nazvana je linearnim programiranjem.
Američki matematičar A. Danzig 1947. godine razvio je vrlo učinkovitu konkretnu metodu za numeričko rješavanje problema linearnog programiranja (nazvana je simpleks metoda). Ideje linearnog programiranja stekle su ogromnu popularnost u cijelom svijetu u roku od pet ili šest godina, a imena Koopmansa i Danziga postala su posvuda nadaleko poznata.
Problemi optimalnog planiranja povezani s pronalaženjem optimuma zadane ciljne funkcije (linearni oblik) u prisutnosti ograničenja u obliku linearnih jednadžbi ili linearnih nejednadžbi klasificiraju se kao problemi linearnog programiranja.
Linearno programiranje- najrazvijeniji i najrašireniji dio matematičkog programiranja.
Raspon problema koji se rješavaju metodama linearnog programiranja prilično je širok:
problem optimalnog korištenja resursa u planiranju proizvodnje;
problem smjese (planiranje sastava proizvoda);
problem pronalaženja optimalne kombinacije različitih vrsta proizvoda za skladištenje u skladištima (upravljanje zalihama ili “problem naprtnjače”);
transportni zadaci (analiza lokacije poduzeća, kretanje robe).
Ekonomski i matematički model bilo kojeg problema linearnog programiranja uključuje: ciljnu funkciju, čija se optimalna vrijednost (maksimalna ili minimalna) mora pronaći; ograničenja u obliku sustava linearnih jednadžbi ili nejednadžbi; zahtjev nenegativnosti varijabli.
U opći pogled model je napisan na sljedeći način:
ciljna funkcija: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)
ograničenja:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn (≤ = ≥) b 1 ,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn (≤ = ≥) b 2 , (2)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn (≤ = ≥) b m ;
zahtjev za nenegativnošću: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)
U ovom slučaju, a ij, b i, c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - zadane konstante.
Zadatak je pronaći optimalnu vrijednost funkcije (1) uz ograničenja (2) i (3).
Sustav ograničenja (2) naziva se funkcionalna ograničenja zadatka, i ograničenja (3) - ravno.
Vektor koji zadovoljava ograničenja (2) i (3) naziva se dopustivim rješenjem (planom) problema linearnog programiranja. Naziva se plan u kojem funkcija (1) postiže najveću (minimalnu) vrijednost optimalan.
Problemi linearnog programiranja mogu se riješiti ručno, tj. algebarski i grafički ili korištenjem MS Excela. Ovaj vam program omogućuje brzo i jednostavno rješavanje problema linearnog programiranja.
Pogledajmo rješenje takvih problema na konkretnom primjeru:
Crne lisice i arktičke lisice mogu se uzgajati na farmi krzna. Kako bi se osigurali normalni uvjeti za njihov uzgoj, koriste se tri vrste hrane. Količina hrane svake vrste koju bi lisice i polarne lisice trebale dnevno dobiti prikazana je u tablici. Također ukazuje na ukupnu količinu hrane svake vrste koju može koristiti farma krzna, te dobit od prodaje jedne kože lisice i polarne lisice.
| Vrsta hrane | Dnevna količina hrane konvencionalna. jedinice | Ukupna količina hrane, standardne jedinice. | |
| Dobit od prodaje jedne kože, trljajte. | |||
Odredite koliko bi lisica i arktičkih lisica trebalo uzgajati na farmi krzna kako bi se povećala zarada od prodaje njihovih koža.
Zapišimo matematički model:
X komada - lisice, Y komada - arktičke lisice
16x+12y - max (1)
Rješenje ovog problema analitički se svodi na rješavanje sustava od tri nejednadžbe (2-4), izražavajući vrijednost jedne varijable kroz drugu dobivamo:
x 90 – 1,5 g
4(90 – 1,5u) + u 240
6(90 – 1,5g) + 7g 426
x 1 54 x 2 4.5
y 1 24 y 2 57
Štoviše, x 2 i y 2 ne zadovoljavaju rješenje, jer broj životinja ne može biti razlomak.
Stoga će funkcija cilja biti jednaka: 1152
No korištenjem MS Excela rješenje je mnogo jednostavnije i brže.
Za rješavanje problema u MS Excel-u potrebno je izraditi tablicu s početnim podacima (Sl. 1)
Slika 1 – Tablica s početnim podacima (zadatak optimizacije proizvodnje)
Zatim pomoću ugrađenih funkcija MS Excela (=SUMPROIZVOD) unesite ograničenja i funkciju cilja (slika 2)
Riža. 2 – ograničenja i funkcija cilja
Nakon što su unesena sva ograničenja i funkcija cilja, potrebno je koristiti ugrađeni program MS Excel Pronalaženje rješenja(Slika 3), koja također uvodi funkciju cilja, ograničenja i varijabilne ćelije (tj. nepoznate varijable).
Riža. 3 – Pronalaženje rješenja
Međutim, prije nego što nastavite s rješenjem, morate također u kartici opcije traženje rješenja, set: linearni model, nenegativne vrijednosti i automatsko skaliranje (sl. 4)
Riža. 4 – Mogućnosti traženja rješenja
Nakon završetka unosa svih ograničenja i parametara, dobivamo željeno rješenje problema (slika 5)
Riža. 5 – Konačna tablica s dobivenim rješenjem
U praksi se mnogi ekonomski parametri (cijene proizvoda i sirovina, rezerve sirovina, potražnja na tržištu, plaća itd.) mijenjaju svoje vrijednosti tijekom vremena. Dakle, optimalno rješenje problema LP dobiveno za određeni ekonomska situacija, nakon promjene može biti neupotrebljiv ili neoptimalan. S tim u vezi, postavlja se problem analize osjetljivosti problema LP, odnosno kako će moguće promjene parametara izvornog modela utjecati na prethodno dobiveno optimalno rješenje.
Ograničenja vezanja prolaze kroz optimalnu točku. Neobvezujuća ograničenja ne prolaze kroz optimalnu točku. Resurs predstavljen obvezujućim ograničenjem naziva se oskudnim, a resurs predstavljen neobvezujućim ograničenjem naziva se neoskudnim. Ograničenje se naziva redundantnim ako njegovo isključenje ne utječe na raspon mogućih rješenja i, prema tome, na optimalno rješenje.
Razlikuju se sljedeća tri zadatka analize osjetljivosti.
1. Analiza smanjenja ili povećanja resursa:
1) koliko se zaliha oskudnog resursa može povećati ili smanjiti da bi se poboljšala optimalna vrijednost TF-a?
2) za koliko se može smanjiti ili povećati zaliha neoskudnog resursa uz zadržavanje dobivene optimalne vrijednosti CF?
2. Povećanje (smanjenje) ponude kojeg je resursa najisplativije?
3. Analiza promjena ciljnih koeficijenata: koji je raspon promjena TF koeficijenata unutar kojih se optimalno rješenje ne mijenja?
MS Excel omogućuje izradu izvješća o rezultatima koje se sastoji od 3 tablice:
1 – Ciljna stanica. Prikazuje početnu vrijednost funkcije cilja i optimalnu vrijednost (rezultat).
2- Promjenjive ćelije. Odražava početne vrijednosti varijable i rezultirajuće (optimalne). Ako proizvod nije uključen u optimalno rješenje (jednako 0), tada se smatra neisplativim.
3- Ograničenja. Osim naziva ograničenja, ćelija u kojoj je upisana lijeva strana ograničenja, prikazuje sljedeće stupce:
Vrijednost – vrijednost lijeve strane ograničenja ispod optimalnog plana. Oni. koliko se resursa stvarno koristi.
Formula – prikazuje znak ograničenja (veće ili jednako, manje ili jednako itd.)
Status – prikazano povezano ili ne povezano ograničenje. Ako je status povezan, tada je resurs u potpunosti iskorišten. Ako status nije povezan, tada resurs nije u potpunosti iskorišten.
Razlika je u prikazanoj količini preostalog neiskorištenog resursa.
Kao i izvješće o održivosti koje se sastoji od 2 tablice:
1 – promjenjive ćelije. Uz nazive varijabli i adrese ćelija, sadrži sljedeće stupce:
Dobivena vrijednost je optimalni plan.
Normalizirani (smanjeni) trošak - pokazuje koliko će se funkcija cilja promijeniti nakon prisilnog uključivanja jedinice ovog proizvoda u optimalni plan. Ako je proizvod profitabilan, tada će normalizirani trošak biti 0.
Ciljni koeficijent – vrijednosti koeficijenata ciljne funkcije.
Dopušteno povećanje, prihvatljivo smanjenje - pokazuje granice promjena koeficijenata funkcije cilja, pri kojima se čuva skup varijabli uključenih u optimalno rješenje.
2 – Ograničenja. Uz nazive varijabli i adrese ćelija, sadrži sljedeće stupce:
Rezultirajuća vrijednost je vrijednost lijeve strane ograničenja ispod optimalnog plana. Oni. koliko se resursa stvarno koristi.
Cijena u sjeni je promjena funkcije cilja kada se oskudni resurs promijeni za 1 jedinicu. Cijena u sjeni neoskudnog resursa bit će jednaka 0.
Ograničenje Desna strana je rezerva resursa.
Dopušteno povećanje, prihvatljivo smanjenje - pokazuje koliko možete promijeniti desnu stranu ograničenja dok ne utječe na funkciju cilja.
Pogodnost korištenja MS Excela za rješavanje problema linearnog programiranja je u sljedećem:
Nakon što ste jednom izradili tablicu, ona se može koristiti za zadatke iste vrste, mijenjajući samo izvorne podatke;
sve formule potrebne za rješavanje problema već su prikazane u MS Excelu;
rješavanje problema traje nekoliko puta manje od ručnog rješavanja;
Točnost rješenja mnogo je veća nego ručno, a pogreške su minimizirane.
Jedini nedostatak rješavanja problema linearnog programiranja pomoću MS Excela može biti: nepostojanje cjelovitog rješenja, tj. traženje rješenja odmah daje gotov odgovor, bez prikaza svih izračuna, što u principu nije cilj rješavanja problema.
Bibliografija:
A.G. Trifonov. Primjeri rješavanja optimizacijskih problema // 2008
Popova N.V. Matematičke metode // M.:VTK. – 2005. (monografija).
Lykova N.P., Knyazeva FORMULACIJA PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA I NJIHOVO RJEŠENJE POMOĆU MS EXCEL // Znanstveni elektronički arhiv.
URL: (datum pristupa: 26.12.2019.).
Jedan od zadataka prethodnih poglavlja bio je pronaći izlaz iz te dvojne situacije i usko povezati teoriju cijena s teorijom vrijednosti. Smatram pogrešnim dijeliti ekonomsku znanost na Teoriju vrijednosti i distribucije, s jedne strane, i Teoriju novca, s druge strane. Prava bi granica, po mom mišljenju, trebala ležati između teorije jedne industrije ili poduzeća, koja razmatra nagrade čimbenika i raspodjelu resursa između različiti putevi korištenje zadane količine istih te Teorija proizvodnje i zapošljavanja općenito. Sve dok se ograničavamo na proučavanje jedne industrije ili tvrtke, pretpostavljajući konstantnu ukupnu količinu korištenih resursa, a također privremeno pretpostavljajući da uvjeti u drugim industrijama ili tvrtkama ostaju nepromijenjeni, ne moramo se, međutim, baviti specifične karakteristike novca. Ali čim počnemo otkrivati što određuje opseg proizvodnje i zaposlenosti općenito, potrebna nam je cjelovita teorija monetarne ekonomije.
Prema Smithu, automatizacija tržišta može optimizirati raspodjelu resursa. Suprotno uvriježenom mišljenju da su privatni interesi suprotni interesima društva, Smith je dokazao da decentralizacija i slobodna konkurencija mogu osigurati maksimalno zadovoljenje potreba. Slobodna konkurencija nastoji izjednačiti cijene s troškovima proizvodnje, optimizirajući raspodjelu resursa unutar industrija, a na tržištima čimbenika, izjednačiti neto prednosti tih čimbenika u svim industrijama i time uspostaviti optimalnu distribuciju resursa između industrija. To je bio prvi korak prema teoriji optimizacije raspodjele resursa u uvjetima savršeno natjecanje.
Potrebno je uzeti u obzir da dobit, kao što je ranije navedeno, ima, prvo, dvije definicije (u računovodstvu i ekonomskoj teoriji), i drugo, različita značenja dobit kao implicitni prihod koji poduzeće ostvaruje korištenjem vlastitih faktora proizvodnje;profit kao nagrada za poduzetnički rizik i inovaciju (koja se uključuje u ekonomske troškove);profit kao monopolski prihod u uvjetima nesavršene konkurencije. Svaka od navedenih vrijednosti profita posljedica je raznolikosti svojih izvora, uključujući, redom, alternativnu upotrebu oportunitetnih troškova, nesigurnost u gospodarskom okruženju i inovacije, prisutnost tržišta ili monopolske moći nad cijenom. Dobit, dakle, djeluje kao svojevrsni katalizator gospodarskog razvoja, poticaj za racionalnu raspodjelu resursa i poticaj za akumulaciju kapitala.
Među najvažnijim klasama problema I.o. možemo navesti probleme upravljanja zalihama, probleme raspodjele i dodjele resursa (problemi distribucije), probleme čekanja u redu, probleme zamjene opreme, naručivanja i koordinacije (uključujući teoriju raspoređivanja), kontradiktornost (na primjer, igre), probleme pretraživanja itd. Među korištenim metodama - matematičko programiranje (linearno, nelinearno itd.), diferencijalne i diferencijske jednadžbe, metode teorije grafova, Markovljevi procesi, teorija igara, teorija (statističkih) rješenja, teorija prepoznavanja uzoraka i niz drugih.
M. se ponekad naziva teorijom cijena, budući da je njezin predmet mehanizam raspodjele resursa, au tržišnom gospodarstvu glavni instrument takve raspodjele su cijene.
U jednom od njih, djelu L.V. Kantorovicha “Matematičke metode organiziranja i planiranja proizvodnje” (1939), prvi su ocrtani principi nove grane matematike, koja je kasnije dobila naziv linearno programiranje, a ako gledate šire, time su postavljeni temelji teorije optimalne alokacije resursa, temeljne za ekonomiju. L.V. Kantorovich je jasno formulirao pojam ekonomskog optimuma i uveo optimalne objekte u znanost.
Pravilo identiteta učinka" 280 "Predinstitucionalna" teorija alokacije resursa 301 "Aparatura" 138 Znak optimalnosti 71 Firme koje "uzimaju cijene" 390 "Načelo nedovoljnog razloga" 112 "Priroda" 281 "Produktivna matrica" 189
Teorije raspodjele resursa i stvaranja prihoda u udžbenicima mikroekonomske analize prikazane su u dijelu Tržišta proizvodnje fluorida. Opći plan razmatranja problema u ovom trenutku ostao je nepromijenjen od objavljivanja knjige A. Marsha, Principi ekonomske teorije, tržište rada, tržište kapitala i tržišta zemljišta. Potražnja za faktorima od strane poduzeća tradicionalno se povezuje s graničnim proizvodom tih faktora, a ponuda s očekivanom dobiti. Tradicionalno, udžbenici razmatraju elastičnost potražnje za svaki čimbenik, koja ovisi i o zamjenjivosti i komplementarnosti čimbenika tehnologijom.
Ili bismo možda mogli napraviti razliku između teorije stacionarne ravnoteže i teorije pokretne ravnoteže, misleći pod potonjom na teoriju sustava u kojem promjenjive ideje o budućnosti mogu utjecati na sadašnju situaciju. Važnost novca uglavnom proizlazi iz činjenice da je on poveznica između sadašnjosti i budućnosti. Možemo analizirati kakvu raspodjelu resursa između različite vrste uporaba je kompatibilna s ravnotežom pod djelovanjem normalnih ekonomskih motiva u svijetu u kojem su naše ideje o budućnosti nepromijenjene i u svakom pogledu pouzdane, te je moguća daljnja podjela između nepromjenjive ekonomije i ekonomije podložne promjenama, ali gdje su svi događaji su predviđeni od samog početka. S druge strane, možemo prijeći s ovog pojednostavljenog modela na probleme stvarni svijet, u kojem bi se naši preliminarni proračuni za budućnost mogli pokazati nerealnim i gdje pretpostavke o budućnosti utječu na ono što radimo danas. Upravo kada napravimo taj prijelaz, novac sa svojim posebnim svojstvima kao poveznica sadašnjosti i budućnosti trebao bi ući u naše kalkulacije. Ali iako se teorija pokretne ravnoteže nužno mora izraziti terminima novčana ekonomija, ona ostaje teorija vrijednosti i raspodjele, a ne uopće zasebna "teorija novca". Novac je u svojoj biti prije svega genijalno sredstvo komunikacije između sadašnjosti i budućnosti. Stoga je nemoguće uopće početi razjašnjavati utjecaj promjene ideja o budućnosti na naše trenutne aktivnosti osim u novčanom smislu. Ne možemo se riješiti novca čak i ako uništimo zlato, srebro i druga zakonska sredstva plaćanja. Specifični problemi monetarne ekonomije javljat će se sve dok postoje postojani YAKFIB-ovi sposobni preuzeti funkciju
Kruna aksiomatskog pristupa je teorija savršene konkurencije. Unatoč činjenici da je prvi put predložen prije dvjestotinjak godina, nikada nije nadmašen, samo je metoda analize poboljšana. Teorija kaže da pod određenim vrlo specifičnim okolnostima, neograničena potraga za vlastitim interesom vodi do. Točka ravnoteže je postignuta kada je razina proizvodnje poduzeća takva da je njegov granični trošak jednak tržišnoj cijeni dobra, a svaki potrošač pri kupnji dobije takvu količinu dobra da je njegova ukupna granična "korisnost" jednaka njegovoj tržišnoj cijena. Istraživanja pokazuju da stanje ravnoteže maksimizira dobrobiti svih sudionika, pod uvjetom da niti jedan kupac ili prodavač ne mogu utjecati na tržišne cijene. To je razmišljanje dalo teorijsku osnovu za politiku laissez faire koja je dominirala devetnaestim stoljećem, a također služi kao osnova za moderne ideje o "čarobnoj moći tržišta".
Svijet kapitalistički sustav poduprt ideologijom koja je ukorijenjena u teoriji savršene konkurencije. Prema ovoj teoriji, tržišta teže ravnoteži, a ravnotežna pozicija znači najučinkovitiju alokaciju resursa. Bilo kakva ograničenja slobode tržišnog natjecanja smanjuju učinkovitost tržišnog mehanizma i stoga im se treba suprotstaviti. Gore sam ovaj pristup okarakterizirao kao laissezfaire, ali tržišni fundamentalizam je bolji izraz. Poanta je u tome da fundamentalizam pretpostavlja neku vrstu vjere koja se lako može dovesti do krajnosti. Ovo je vjera u savršenstvo, vjera u apsolut, vjera da svaki problem mora imati rješenje. Fundamentalizam pretpostavlja autoritet koji ima savršeno znanje, čak i ako to znanje nije dostupno običnim smrtnicima. Taj autoritet je Bog, au naše vrijeme znanost je postala prihvatljiva zamjena za njega. Marksizam je tvrdio da ima znanstvenu osnovu, a tržišni fundamentalizam čini isto. Znanstvena osnova obiju ideologija razvila se u 19. stoljeću, kada je znanost još obećavala posjedovanje konačne istine. Od tada smo shvatili puno toga
Popper je napao marksizam i frojdovsku psihoanalizu na temelju toga što su te teorije, kao i mnoge druge, tvrdile da su znanstvene, ali se njihova laž nije mogla dokazati testiranjem i stoga su njihove tvrdnje bile neutemeljene. Slažem se s ovim, ali ići ću dalje. Mislim da se argument koji je upotrijebio protiv marksizma također odnosi na tako cijenjene teorije kao što je teorija savršene konkurencije, koja tvrdi da će, pod određenim uvjetima, nesputana potraga za vlastitim interesom dovesti do najučinkovitije raspodjele resursa. Ne želim uništavati ekonomiju, mislim da je to vrlo elegantan teorijski konstrukt. Dovodim u pitanje njegovu primjenjivost u stvarnom životu i nisam siguran hoće li izdržati test financijskih tržišta. Vjerujem da sama izvedba Quantum Funda dokazuje da je teorija slučajnog hoda lažna.
Utemeljitelj ove teorije je engleski filozof I. Bentham (1748-1832), koji je smatrao da. Filozofija nema dostojnijeg zanimanja nego podržavati ekonomiju u svakodnevnom životu2. Za utilitariste zadovoljstvo je cilj svakog djelovanja, a etika se svodi na optimalnu alokaciju resursa za cilj najvećeg zadovoljstva. Uvjereni su u
D. r. - temeljni pojam moderne ekonomske znanosti, koji su u domaću znanost prvi uveli pristaše
OSAGO minimalno razdoblje osiguranja
Sažetak: Konkurencija, njezino mjesto i uloga u suvremenom tržišnom gospodarstvu Proučavanje novog gradiva
Osiguranje - podjela, suština i funkcije. Pravni temelj odnosa osiguranja
Zašto sastaviti ugovor o cjelovitom osiguranju hipoteke (policu osiguranja hipoteke)?
Izračun prosječne zarade