Până la mijlocul secolului al XX-lea. economiștii teoreticieni au ignorat modelele matematice ale cercetării. Cu toate acestea, în ciuda asupririi, matematicienii au continuat să lucreze și au obținut rezultate strălucitoare. Printre aceștia se numără reprezentanți ai școlii de matematică L. Kantorovich și T.-Ch. Koopmans.
Kantorovich Leonid Vitalievich (1912-1986) - economist sovietic, laureat al Premiului Nobel (1975).
Teoria alocării optime a resurselor- o teorie care prevede formularea de modele statistice și dinamice de planificare actuală și pe termen lung a utilizării resurselor bazate pe noi abordări matematice în domeniul construcției de sisteme indicatori economici folosit pentru a analiza prețurile, eficiența investitii de capital.
Pentru prima dată, el a conturat bazele teoriei alocării optime a resurselor în lucrarea sa „Metode matematice pentru organizarea și planificarea producției” (1939). În ea, el a prezentat în mod fundamental noua clasa probleme extreme cu constrângeri, având dezvoltat o metodă eficientă pentru rezolvarea lor. În acest moment, omul de știință și-a formulat sarcina de a elabora un plan și un sistem de prețuri ca componente interdependente ale unei dualități indivizibile. La urma urmei, timpul este imposibil pentru a minimiza costurile și a maximiza rezultatele simultan. În același timp, aceste două abordări sunt interdependente: dacă găsim schema optimă de transport, atunci îi corespunde un anumit sistem de prețuri. Dacă determinăm valorile optime ale prețurilor, atunci este relativ ușor să obținem o schemă de transport care să îndeplinească cerințele de optimitate.
Baza acestei teorii este metoda de programare liniară. Programarea liniara este rezolvarea ecuatiilor liniare (ecuatii de gradul I) prin adaugarea de programe si introducerea diferitelor metode pentru rezolvarea lor secventiala, ceea ce faciliteaza foarte mult calculele si obtinerea de rezultate.
L. Kantorovich a fundamentat esenta economica factorii decisivi propuși de acesta. Ele sunt, de fapt, valorile marginale ale factorilor limitatori. Adică acestea sunt prețurile obiective ale fiecăruia dintre factorii de producție în raport cu condițiile unei piețe concurente. Pentru a rezolva problema optimității, omul de știință a folosit metoda aproximărilor succesive, compararea succesivă a opțiunilor cu alegerea celor mai bune în conformitate cu condițiile problemei.
Problemele de programare liniară erau cunoscute la sfârșitul secolului al XVIII-lea. Cu toate acestea, au început să le rezolve abia după publicarea lucrărilor lui L. Kantorovich. În SUA, cercetările privind programarea liniară au început abia la sfârșitul anilor 40 ai secolului XX. Problema transportului Hitchcock și metoda simplex a lui Danzig, care sunt similare prin natură cu metoda lui Kantorovich pentru rezolvarea problemelor de programare liniară, au fost dezvoltate un deceniu mai târziu.
Integritatea gândirii s-a manifestat în toată opera lui Kantorovich. Ideile de programare liniară erau strâns legate de orientările sale metodologice în domeniul matematicii. La mijlocul anilor 1930, analiza funcțională a fost esențială pentru cercetările matematice ale lui Kantorovich.
Lucrările lui Kantorovich au pus bazele teoriei planificării optime a unei economii socialiste, care a fost utilizată pe scară largă în practica de planificare până la sfârșitul anilor 1980. dezvoltare economicăîn URSS, precum și în alte țări socialiste. Principalele idei ale teoriei planificării optime sunt prezentate în monografia „Calcul economic cea mai bună utilizare resurse „(1959, 1960), care este cea mai cunoscută lucrare a omului de știință. Miezul acestei cărți a fost formularea problemei principale a planificării producției și a problemei dinamice a planificării optime. Aceste probleme au fost formulate destul de simplu, dar ele a luat în considerare principalele trăsături ale planificării în economia sovietică.
Informatii similare:
- amplificator; 1. Conceptul de experiment investigativ, tipurile și semnificația acestuia
Pe 15 octombrie 2007, Academia Regală Suedeză de Științe a anunțat acordarea Premiului Nobel pentru Economie 2007 către trei economiști americani - Leonid Hurwitz, Eric Maskinși Roger Myerson pentru „punerea bazelor teoriei mecanismelor optime de alocare a resurselor”.
Cercetătorii au încercat să rezolve problema alocării optime a resurselor în condiții de informare incompletă a participanților pe piață unul despre celălalt.
Teoria mecanismelor optime de alocare a resurselor a fost creată de Hurwitz, iar Maskin și Myerson au dezvoltat-o și completat-o în condițiile asimetriei informaționale de J. Akerlof, M. Spence și J. Stiglitz.
Teoria asimetriei informaționale afirmă că în condițiile în care participanții la tranzacție nu au aceeași cantitate de informații despre obiectul tranzacției, participantul cu mai multe informații realizează un preț mai mare decât nivelul optim al acestuia.
Crearea și dezvoltarea teoriei alocării optime a resurselor ajută la explicarea situațiilor care apar pe piață, la distingerea ce tendințe (pozitive sau negative) predomină la un moment dat.
Potrivit membrilor Comitetului Nobel, dezvoltarea teoriei mecanismelor optime de alocare a resurselor a făcut posibilă determinarea mecanismelor de tranzacționare eficiente, a schemelor de reglementare și a procedurilor de vot și, de asemenea, a extins semnificativ cunoștințele despre caracteristicile alocării optime a resurse.
HURWITZ Leonid (Leon) este profesor emerit de economie la Universitatea din Minnesota, SUA. Născut în 1917 la Moscova (Rusia) într-o familie de refugiați din Polonia. Mai târziu, părinții lui s-au mutat în Statele Unite, unde Hurwitz trăiește până în prezent. Hurwitz este cel mai în vârstă (are 90 de ani) laureat Nobel pentru toți anii în toate nominalizările. El a fost unul dintre primii care a apreciat oportunitatea pe care o oferă teoria jocurilor economiei.
Teoria distribuției optime creată de el este direct legată de distributie optima resurse, care este un aspect cheie al economiei. Analiza utilizată anterior a alocării optime a resurselor folosind teoria pieței a fost eficientă doar în condiții ideale, care nu sunt în practica reală. Teoria mecanismelor optime de distribuție a resurselor limitate ridică problema găsirii celui mai eficient mecanism în viața reală actuală.
Hurwitz a constatat că cel mai eficient mecanism de distribuire a beneficiilor este în multe cazuri o licitație dublă, în care prețurile sunt stabilite nu numai de vânzători, ci și de cumpărători. Teoria dezvoltată de Hurwitz și alți câștigători ai Premiului Nobel în economie în 2007 explică de ce mecanismele pieței nu funcționează bine cu bunurile publice precum apa și drumurile. Alocarea lor rentabilă poate necesita o metodă diferită, cum ar fi impunerea de taxe pentru utilizatori.
Hurwitz a creat teoria mecanismelor optime de alocare a resurselor în 1960. El a înțeles un mecanism ca un joc în care participanții fac schimb de informații între ei sau cu un „centru de mesaje”, iar regulile predeterminate determină alocarea resurselor pentru fiecare set de mesaje. Hurwitz a investigat stările de echilibru obținute în cursul jocului. El a selectat acele soluții care erau optime pentru toți participanții la joc. Schemele pe care le-a dezvoltat funcționează chiar și atunci când participanții la joc nu știu cât de mult dau vecinii pentru resursele de care au nevoie. Sistemul de organizare a licitației încearcă să satisfacă cât mai deplin cerințele fiecărui participant. În același timp, participanții la joc trimit în secret estimările lor de beneficii către sistem. Ca urmare, distribuția rezultată se dovedește a fi cât mai aproape de corectă posibil.
În 1972, Hurwitz a simplificat analiza, a introdus așa-numitul „principiu al revelației”, îngustând și limitând domeniul de cercetare.
Jocurile Hurwitz îi ajută pe participanții la licitație să cumpere sau să vândă un anumit bun cât mai profitabil pentru ei înșiși.
Este important de menționat că teoria mecanismelor optime ia în considerare situațiile în care banii nu sunt principalul lucru. De exemplu, mecanismele optime pot fi utile atunci când binele public este prioritatea guvernului în tranzacții sau licitații.
Cu toate acestea, Hurwitz acordă o importanță deosebită unui alt domeniu de aplicare a teoriei sale. V
Într-un interviu telefonic cu Comitetul Nobel, el a numit-o „securitate socială”.
MASCA Eric (n. 1950) - Profesor la Universitatea Princeton; Împreună cu Myerson, profesor la Universitatea din Chicago, în 1972 „principiul revelației” al lui Gurwitz a redus echilibrul Nash la știința economică deja bine-cunoscută (J. Nash este un economist american, laureat al Premiului Nobel pentru economie 1994), care este o analiză a instrumentului în aproape toate secțiunile stiinta economica atunci când este necesară o analiză cuprinzătoare a interacțiunii entităților economice.
Maskin adus conditii esentiale eficienta in organizarea licitatiilor de privatizare. Potrivit lui Maskin, cea mai eficientă licitație este aceea în care toți participanții plătesc, iar obiectul este plătit mai mult decât alții. Maskin folosește teoria mecanismelor de distribuție optimă în analiza voturilor.
MAYERSON Roger (n. 1951) este profesor la Universitatea din Chicago. El a atras atenția asupra căutării unor mecanisme optime de distribuție între stat și monopoluri.
Myerson, în colaborare cu alți oameni de știință, a sugerat asta autoritatile de supraveghere nu dețin informații complete și sigure despre costul real de producție al monopoliștilor. Dar, potrivit lui Myerson, oficialii antitrust au întotdeauna de ales între a percepe monopoluri cu chirie și a stimula niveluri eficiente de producție.
Articolul lui Myerson despre licitațiile optime, publicat în 1981, părea abstract. Cu toate acestea, atunci când este privit prin prisma teoriei stimulentelor lui Hurwitz, pare util.
Studiul lui Hurwitz, Muskin și Myerson are anumite paralele cu studiul lui Akerlof, Spence și Stiglitz asupra teoriei pieței în ceea ce privește informațiile asimetrice, pentru care au fost distinși cu Premiul Nobel în 2001.
Se exprimă opinia că, dacă autorii și organizatorii privatizării proprietății de stat și publice (colective) în Rusia ar cunoaște și aplica teoria lui Hurwitz, atunci economia acesteia s-ar putea dezvolta cu mai mult succes.
Până la mijlocul secolului al XX-lea, economiștii teoreticieni au ignorat abordările și raționamentul matematic. Dar cercetările matematice au continuat și s-au obținut rezultate strălucitoare. În 1975, cei mai buni reprezentanți ai școlii de matematică au fost omul de știință sovietic L. Kantorovich și profesorul american T.-Ch. Koopmans au primit Premiul Nobel.
Kantorovich(1912-1986) s-a născut la Sankt Petersburg. În 1930 a absolvit Universitatea din Leningrad, iar patru ani mai târziu i s-a acordat titlul de profesor. A lucrat la Institutul de ingineri în construcții industriale din Leningrad, a fost șeful departamentului Școlii superioare de inginerie și tehnică, profesor la Universitatea din Leningrad. În 1958, împreună cu V. Nemchinov, a creat Laboratorul de aplicare a metodelor statistice și matematice în economie. În același an, L. Kantorovich a fost ales membru corespondent, iar în 1964 - membru cu drepturi depline al Academiei de Științe a URSS.
Autor al lucrărilor „Metode pentru soluția aproximativă a ecuațiilor cu diferențe parțiale” (împreună cu V. Krylov, 1936), „Analiza funcțională în spații ordonate led” (împreună cu B. Vulikhe și A. Pinsker, 1949), „Analiza funcțională și matematică aplicată „(1948),” Calcul economic al celei mai bune utilizări a resurselor „(1959),” Analiza funcțională în spații normalizate „(împreună cu G. Akilov), care a trecut prin mai multe ediții în URSS și în străinătate”, „Dynamic”. model de planificare optimă „(1967), „Prețuri și progres tehnic„(1979) și multe altele.
Membru de onoare al Societății Internaționale Econometrice, doctor onorific al universităților Grenoble, Helsinki, Yale, Paris, Cambridge, Pennsylvania, precum și universităților din Varșovia, Glasgow, München, Nisa și Martin Luther din Halle, Institutul de Statistică din Calcutta. Laureat al Premiului Nobel (1975).
Koopmans Tjalling-Charles (1910-1985) s-a născut în Gravelandy (Olanda). Din 1927 până în 1933 a fost educat la Universitatea din Utrecht. Din 1934, la Universitatea din Amsterdam, își pregătea teza de doctorat „Analiza regresiei lineare a fusurilor orare economice”, pe care a susținut-o în 1936 la Universitatea din Leiden. A predat economie și a condus activități de cercetare la Institutul Olandez de Economie din Rotterdam. Doi ani (1938-1940) a lucrat ca expert pentru Liga Națiunilor pe circulatia banilor... În 1940 a emigrat în Statele Unite, a predat la universitățile din New York, Chicago, Harvard.
Cea mai mare recunoaștere a primit cărțile sale „Inferențele statistice asupra modelelor dinamice” (1950), „Trei eseuri despre starea științei economice” (1975) și multe altele.
A fost membru al Societății Econometrice din Statele Unite. În 1950 a fost ales președinte al Societății Econometrice Internaționale. În perioada 1955-1981. A lucrat ca profesor de economie la Universitatea Yale. Membru distins al Asociației Economice Americane, profesor distins la Institutul Yale, el a primit diplome onorifice de la Școala de Economie din Țările de Jos, universitățile Catholic Louvain, Northwestern și Pennsylvania. Laureat al Premiului Nobel (1975).
Baza teoriei alocării optime a resurselor este metoda de programare liniară, fundamentată mai întâi de L. Kantorovich noua sectiune matematica, răspândită în practica economică, a contribuit la dezvoltarea și utilizarea calculatoarelor electronice. Esența metodei este maximizarea pt resurse limitate... Condițiile problemei pentru optimul și scopul de atins pot fi exprimate folosind un sistem de ecuații liniare. Necunoscut la ele doar gradul I; nici necunoscut NU se inmulteste cu o alta necunoscuta. Astfel de ecuații exprimă dependențe, reprezentate pe grafic cu linii drepte. Deoarece există mai puține ecuații decât necunoscute, problema are de obicei nu una, ci multe soluții. Dar trebuie să găsești una, extremă în terminologia matematică, soluție. Deci, în problema optimizării producției de placaj L. Kantorovich a prezentat o variabilă care ar trebui maximizată sub forma sumei costurilor produselor produse de toate mașinile. Limitatorii au fost formulați sub formă de ecuații, ele stabilesc o relație între toți factorii consumați în producție (lemn, lipici, electricitate, timp de muncă), și cantitatea de produse (placaj) produsă pe fiecare dintre mașini. Pentru indicatorii factorilor de producție au fost introduși coeficienți, numiți multiplicatori de rezolvare, sau multiplicatori. Cu ajutorul lor, sarcinile sunt rezolvate. Dacă se cunosc valorile factorilor decisivi, atunci valorile dorite, în special volumul optim de producție, pot fi calculate cu ușurință.
L. Kantorovich a fundamentat esenta economica coeficienții (factorii decisivi) propuși de acesta ca valori marginale ale factorilor limitatori sunt prețuri obiectiv semnificative ale fiecăruia dintre factorii de producție în raport cu condițiile unei piețe concurente. Pentru a rezolva problema pentru optim, omul de știință a folosit metoda aproximărilor succesive, compararea succesivă a opțiunilor cu alegerea celor mai bune în conformitate cu condițiile problemei.
Bazele teoriei alocării optime a resurselor au fost publicate pentru prima dată în 1939. În lucrarea „Metode matematice de organizare și planificare a producției”. În ea, Kantorovich a propus o clasă fundamental nouă de probleme extreme constrânse, după ce a dezvoltat o metodă eficientă pentru rezolvarea lor. Omul de știință a formulat sarcina de a elabora un plan și un sistem de prețuri ca componente interconectate ale unui dublu indivizibil, ceea ce a fost o mare realizare, deoarece este imposibil să minimizezi costurile și să maximizezi rezultatele în același timp. În același timp, ambele abordări sunt interdependente: dacă, de exemplu, se găsește o schemă optimă de transport, atunci îi corespunde un anumit sistem de prețuri; dacă anumite valori optime ale prețurilor, atunci este posibil să se obțină o schemă de transport care să îndeplinească cerințele de optimitate.
Termenul „factori de decuplare” a fost interpretat în continuare de L. Kantorovich și formulat ca estimări determinate obiectiv. Nu sunt arbitrare, valorile lor trebuie să fie determinate în mod obiectiv de natură, sunt stabilite de condițiile specifice ale problemei. Valoarea evaluărilor determinate obiectiv sunt potrivite doar pentru o singură sarcină. Omul de știință a sugerat să le calculeze atunci când elaborează planuri; întreprinderile sunt destinate să se bazeze pe acești indicatori atunci când calculează costurile și volumele de producție ale produselor corespunzătoare. Estimările determinate obiectiv sunt ajustate în funcție de raportul dintre cerere și volume de producție. Introduse în practica de planificare și management, calculele ar trebui să optimizeze utilizarea resurselor.
Problemele de programare liniară sunt cunoscute încă de la sfârșitul secolului al XVIII-lea. Cu toate acestea, au început să se dezvolte după publicarea lucrărilor lui L. Kantorovich, care a devenit descoperitorul programării liniare. În SUA, cercetările privind programarea liniară au început la sfârșitul anilor 40 ai secolului XX * Problema transportului Hitchcock și metoda simplex a lui Danzig (aproape de metoda lui Kantorovich pentru rezolvarea problemelor de programare liniară) au fost dezvoltate zeci de ani mai târziu.
În anii '50, L. Kantorovich, rezuminând cercetările sale, a extins sfera analizei și a publicat cartea „Calcul economic al celei mai bune utilizări a resurselor” (1959), a cărei primă versiune a fost pregătită în 1942. În ea și în articolele ulterioare, el a aplicat metoda sa de programare liniară pentru a studia o gamă largă de probleme de planificare, în special la nivel național.
Contribuția științifică a lui L. Kantorovich o reprezintă renumitele școli științifice din domeniul analizei funcționale, matematicii computaționale, economiei matematice și planificarea optimă economie nationala... Programarea matematică pe care a descoperit-o este utilizată pe scară largă pentru a rezolva probleme egale în economie, fizică, energie, geologie, biologie, mecanică și teoria controlului. A fost unul dintre fondatorii direcției economice și matematice moderne în știința economică.
Metoda de programare liniară a permis pentru prima dată formularea cu acuratețe a importantului concept economic și matematic modern de „optimalitate”. L. Kantorovich și colegii săi au dezvoltat un sistem pentru funcționarea optimă a economiei (SOFE) și-au format modele pentru alocarea și evaluarea eficientă a resurselor. Din punctul de vedere al teoriei dualității, L. Kantorovich, încă din anii 1950, recomanda calcularea estimării optime a investițiilor de capital pentru perioada de planificare.
I-a dat o explicație economică și i-a arătat importanța în managementul economic. A fost o abordare fundamentată științific pentru calcularea valorii numerice a unui singur standard economic național pentru eficiența investițiilor de capital, care a fost cu mult înaintea timpului său.
Puțin mai târziu, dar independent de L. Kantorovich, T.-Ch. Koopmans. În 1944-1945. El a dezvoltat un plan de transport maritim comercial care a minimizat posibilitatea torpilării periculoase a navelor de marfă goale de către submarinele naziste. A ales scopul de a minimiza rulajul gol al navelor și a rezolvat problema prin încercare și eroare. Koopmans a dovedit asta provocare economică coincide cu problema matematică a minimizării unei funcţii liniare. Omul de știință a descris pentru prima dată această tehnică analitică în 1942. Sub titlul „Corelarea traficului de marfă pe diferite rute”. El a arătat că problema numită ar trebui considerată ca o funcție de maximizare liniară în cadrul multor constrângeri. Constrângerile au fost reprezentate de ecuații matematice care exprimă raportul dintre numărul de factori de cheltuieli de producție (deprecierea navelor, timpul, costurile forței de muncă) cu cantitatea de marfă livrată către diverse destinații. În același timp, valoarea oricăror cheltuieli nu trebuie să depășească valoarea costului mărfurilor livrate în fiecare port. Omul de știință a observat esența principiului programării liniare, care a fost că în cazul optim și cu estimări ideale ale tuturor resurselor, costurile și rezultatele vor fi egale. Deci, T.-Ch. Koopmans a folosit instrumente matematice și a creat o metodă de determinare a alocării optime a resurselor între consumatorii concurenți, care ar putea, de exemplu, să calculeze costul transportului de milioane de tone de marfă care transportă mii de nave pe mare către sute de porturi. Metoda lui Koopmans, numită analiza performanței firmei, a devenit parte a metodologiei generale de programare liniară. Mai târziu, omul de știință a dezvoltat și popularizat metodele de programare liniară. Datorită eforturilor sale, prima conferință specială cu programare liniară a fost organizată la Chicago în perioada 20-24 iunie 1949.
U1950 T.-Ch. Koopmans și alți cercetători au dezvoltat în cele din urmă așa-numita metodă de „analiza activităților firmei”. Modelele de acest tip sunt aceleași cu cele intersectoriale, liniare, dar în ele fiecare tip de activitate de producție poate fi asociat cu eliberarea mai multor mărfuri și există posibilitatea de a alege între diferite tehnologii de producție pentru fiecare tip de produs. Un model de producție precum analiza performanței unei firme, de regulă, conține mult mai multe grade de libertate decât modelul obișnuit de intrare-ieșire, ceea ce deschide oportunități naturale de optimizare. De aceea analiza activităților firmei s-a dezvoltat în strânsă legătură cu programarea liniară.
Teoria alocării optime a resurselor, fondatorii căreia sunt L. Kantorovich și T.-Ch. Koopmans, definește modelul procesului de producție, folosind metoda de programare liniară, oferă o alegere dintre mai multe opțiuni posibile care maximizează producția nu numai la nivelul întreprinderii, ci și la nivel macroeconomic.
Knyazeva A., Lykova N. P.
GOU VPO „Universitatea de Stat Rusă pentru Științe Umaniste”
Filiala din Samara
enunțul problemelor de programare liniară și rezolvarea lor folosind msexcel
Ora nașterii programării liniare este considerată a fi 1939, când a fost publicată broșura lui Leonid Vitalievich Kantorovich „Metode matematice de organizare și planificare a producției”. Deoarece metodele descrise de L.V. Kantorovich nu erau foarte potrivite pentru numărarea manuală, iar computerele de mare viteză nu existau în acel moment, munca lui L.V. Kantorovich a rămas aproape neobservată.
Programarea liniară a primit renașterea la începutul anilor cincizeci odată cu apariția computerelor. Apoi a început entuziasmul general pentru programarea liniară, care a determinat, la rândul său, dezvoltarea altor ramuri ale programării matematice. În 1975, academicianul L.V. Kantorovich și profesorul american T. Koopmans au primit Premiul Nobel pentru economie pentru „contribuția lor la dezvoltarea teoriei și la utilizarea optimă a resurselor în economie”.
Sa realizat că este necesar să se învețe cum să rezolve problema găsirii extremelor funcțiilor liniare pe poliedre date de inegalități liniare. La sugestia lui Koopmans, această ramură a matematicii a fost numită programare liniară.
Matematicianul american A. Danzig a dezvoltat în 1947 o metodă concretă foarte eficientă pentru rezolvarea numerică a problemelor de programare liniară (a fost numită metoda simplex). În cinci sau șase ani, ideile de programare liniară au câștigat o distribuție extraordinară în întreaga lume, iar numele Koopmans și Danzig au devenit cunoscute peste tot.
Problemele de planificare optimă asociate cu găsirea optimului unei funcții obiectiv date (formă liniară) în prezența constrângerilor sub formă de ecuații liniare sau inegalități liniare aparțin problemelor de programare liniară.
Programare liniară- cea mai dezvoltată și utilizată secțiune de programare matematică.
Gama de sarcini rezolvate folosind metode de programare liniară este destul de largă:
problema utilizării optime a resurselor în planificarea producției;
problema amestecurilor (planificarea compoziției produselor);
problema găsirii combinației optime a diferitelor tipuri de produse pentru depozitarea în depozite (gestionarea stocurilor sau „problema rucsacului”);
sarcini de transport (analiza locației întreprinderii, circulația mărfurilor).
Modelul economic și matematic al oricărei probleme de programare liniară include: o funcție obiectiv, a cărei valoare optimă (maxim sau minim) trebuie găsită; restricții sub forma unui sistem de ecuații liniare sau inegalități; cerinţa de non-negativitate a variabilelor.
V vedere generala modelul este scris astfel:
funcție obiectivă: F (x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max (min) (1)
restrictii:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn (≤ = ≥) b 1,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn (≤ = ≥) b 2, (2)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn (≤ = ≥) b m;
cerința de non-negativitate: x j ≥ 0, j = 1, 2, ……, n (3)
Mai mult, a ij, b i, c j (I = 1, 2,… .., m; j = 1, 2, ……, n) - constante date.
Sarcina este de a găsi valoarea optimă a funcției (1) supusă constrângerilor (2) și (3).
Sistemul de constrângeri (2) se numește constrângerile funcționale ale sarcinii, și constrângeri (3) - Drept.
Un vector care satisface constrângerile (2) și (3) se numește o soluție fezabilă (plan) a unei probleme de programare liniară. Se numește planul în care funcția (1) își atinge valoarea maximă (minimă). optim.
Problemele de programare liniară pot fi rezolvate manual, adică. algebric și grafic sau folosind MS Excel. Acest program vă permite să rezolvați rapid și ușor problemele de programare liniară.
Să analizăm soluția unor astfel de probleme cu un exemplu specific:
Ferma de blană poate reproduce vulpi negru-maro și vulpi arctice. Pentru a asigura condiții normale pentru cultivarea lor, se folosesc trei tipuri de furaje. Cantitatea de hrană din fiecare specie pe care ar trebui să o primească zilnic vulpile și vulpile arctice este prezentată în tabel. De asemenea, indică cantitatea totală de hrană a fiecărei specii care poate fi folosită de ferma de blană și profitul din vânzarea uneia și a unei piele de vulpe arctică.
| Tipul de furaj | Cantitatea zilnică de conversie de feed unitati | Cantitatea totală de furaj, unități convenționale | |
| Profitați din vânzarea unei piele, frecați. | |||
Stabiliți câte vulpi și vulpi arctice ar trebui să fie crescute în ferma de blănuri pentru a maximiza profitul din vânzarea pieilor lor.
Să scriem un model matematic:
X buc - vulpi, U buc - vulpi polare
16x + 12y - max (1)
Soluția acestei probleme se reduce analitic la rezolvarea unui sistem de trei inegalități (2-4), exprimând valoarea unei variabile prin alta, obținem:
x 90 - 1,5y
4 (90 - 1,5y) + y 240
6 (90 - 1.5y) + 7y 426
x 1 54 x 2 4,5
y 1 24 y 2 57
în plus, x 2 şi y 2 nu satisfac soluţia, deoarece numărul de animale nu poate fi un număr fracționar.
Prin urmare, funcția obiectiv va fi egală cu: 1152
Cu toate acestea, folosind MS Excel, soluția este mult mai ușoară și mai rapidă.
Pentru a rezolva problema în MS Excel, trebuie să creați un tabel cu datele inițiale (Fig. 1)
Fig. 1 - Tabel cu datele inițiale (sarcina de optimizare a producției)
Apoi, folosind funcțiile încorporate ale MS Excel (= SUMPRODUCT), introduceți constrângeri și o funcție obiectiv (Fig. 2)
Orez. 2 - limitări și funcție obiectivă
După ce toate restricțiile și funcția țintă sunt introduse, ar trebui să utilizați programul MS Excel încorporat Găsirea unei soluții(Fig. 3), care introduce, de asemenea, funcția obiectiv, constrângerile și celulele mutabile (adică variabile necunoscute).
Orez. 3 - Găsirea unei soluții
Cu toate acestea, înainte de a continua cu soluția, este necesar și în filă Opțiuni căutați o soluție pentru a întreba: model liniar, valori nenegative și scalare automată (Fig. 4)
Orez. 4 - Parametrii căutării unei soluții
După finalizarea introducerii tuturor constrângerilor și parametrilor, obținem soluția dorită la problemă (Fig. 5)
Orez. 5 - Tabel rezumativ, cu soluția primită
În practică, mulți parametri economici (prețurile produselor și materiilor prime, stocurile de materii prime, cererea pieței, salariu etc.) își modifică valorile în timp. Prin urmare, soluția optimă a problemei LP, obținută pentru un anumit situatia economica, după schimbarea acestuia, se poate dovedi a fi nepotrivit sau suboptim. În acest sens, se pune problema analizării sensibilității problemei LP și anume modul în care posibilele modificări ale parametrilor modelului original vor afecta soluția optimă obținută anterior.
Constrângerile de legare trec prin punctul optim. Constrângerile neobligatorii nu trec prin punctul optim. Resursa reprezentată de constrângerea de legare se numește limitată, iar resursa reprezentată de constrângerea de legare se numește nerare. O constrângere se numește redundantă dacă eliminarea ei nu afectează regiunea soluțiilor fezabile și, prin urmare, soluția optimă.
Se disting următoarele trei sarcini de analiză a sensibilității.
1. Analiza reducerii sau creșterii resurselor:
1) cu cât poate fi crescut sau micșorat stocul unei resurse rare pentru a îmbunătăți valoarea optimă a CF?
2) cu cât poate fi redus sau crescut stocul unei resurse nerare, menținând valoarea optimă obținută a CF?
2. Creșterea (scăderea) stocului din care dintre resurse este cea mai profitabilă?
3. Analiza modificării coeficienților țintă: care este intervalul de modificare a coeficienților CF, la care soluția optimă nu se modifică?
MS Excel vă permite să faceți un raport asupra rezultatelor, care constă din 3 tabele:
1 - Celula țintă. Afișează valoarea inițială a funcției obiectiv și cea optimă (rezultat).
2- Celule modificabile. Se reflectă valorile initiale variabile și rezultate (optimale). Dacă produsul nu este inclus în soluția optimă (egal cu 0), atunci este considerat neprofitabil.
3- Restricții. Pe lângă numele constrângerii, celula în care este scrisă partea din stânga a constrângerii, coloanele sunt afișate în ea:
Valoarea este valoarea părții stângi a constrângerii cu planul optim. Acestea. cât de mult este folosită efectiv resursa.
Formula - afișează un semn de restricție (mai mare sau egal, mai mic sau egal etc.)
Stare - afișat Conectat sau nu limitarea asociată... Dacă starea este legată, atunci resursa este utilizată pe deplin. Dacă starea nu este legată, atunci resursa nu este utilizată pe deplin.
Diferență - este afișată cantitatea de resursă neutilizată rămasă.
Și, de asemenea, un raport de sustenabilitate, care constă din 2 tabele:
1 - celule variabile. Pe lângă numele variabilelor și adresele celulelor, acesta conține coloane:
Valoarea rezultată este planul optim.
Cost normalizat (redus) - arată cât de mult se va schimba funcția țintă după includerea forțată a unei unități din acest produs în planul optim. Dacă produsul este profitabil, atunci costul standardizat va fi 0.
Coeficientul țintă - valorile coeficienților funcției obiectiv.
Creștere admisibilă, scădere admisibilă - arată limitele modificărilor coeficienților funcției obiectiv, la care se păstrează setul de variabile incluse în soluția optimă.
2 - Limitări. Pe lângă numele variabilelor și adresele celulelor, acesta conține coloane:
Valoarea rezultată este valoarea părții stângi a constrângerii din planul optim. Acestea. cât de mult este folosită efectiv resursa.
Prețul umbră - o modificare a funcției obiectiv atunci când o resursă limitată se modifică cu 1 unitate. Prețul umbră al unei resurse nerare va fi 0.
Restricție Partea dreaptă este stocul de resurse.
Creștere permisă, scădere permisă - arată cât de mult puteți modifica partea dreaptă a constrângerii până când aceasta afectează funcția obiectiv.
Comoditatea utilizării MS Excel pentru rezolvarea problemelor de programare liniară este aceea că:
având creat un tabel o dată, acesta poate fi folosit pentru sarcini de același tip prin modificarea doar a datelor inițiale;
toate formulele necesare pentru rezolvarea problemei sunt deja prezentate în MS Excel;
rezolvarea problemei durează de câteva ori mai puțin timp decât rezolvarea manuală;
acuratețea soluției este mult mai mare decât cea manuală, iar erorile sunt minimizate.
Singurul dezavantaj al rezolvarii problemelor de programare liniara folosind MS Excel poate fi: lipsa unei solutii complete, i.e. căutarea unei soluții oferă imediat un răspuns gata făcut, fără a afișa toate calculele, ceea ce, în principiu, nu este scopul rezolvării problemei.
Bibliografie:
A.G.Trifonov. Exemple de rezolvare a problemelor de optimizare // 2008
Popova N.V. Metode matematice // M.: VTK. - 2005
Lykova N.P., Knyazeva A. DECLARAȚIA PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINEARĂ ȘI SOLUȚIA LOR CU MS EXCEL // Arhiva electronică științifică.
URL: (data accesului: 26.12.2019).
Una dintre sarcinile capitolelor precedente a fost de a găsi o cale de ieșire din această poziție ambiguă și de a lega strâns teoria prețurilor cu teoria valorii. Consider că este greșit să împarți Știința Economică în Teoria valorii și alocării, pe de o parte, și Teoria banilor, pe de altă parte. Adevărata graniță, în opinia mea, ar trebui să se afle între teoria unei industrii sau a unei firme separate, care ia în considerare factorii de recompensă și distribuția resurselor între căi diferite utilizarea acestui număr și Teoria producției și a ocupării forței de muncă în general. Atâta timp cât ne limităm la studiul unei anumite industrii sau firme, presupunând constantă cantitatea totală de resurse utilizate și, de asemenea, presupunând temporar că condițiile din alte industrii sau firme rămân neschimbate, noi, totuși, nu trebuie să ne confruntăm cu caracteristicile specifice ale banilor. Dar de îndată ce începem să aflăm ce determină volumul producției și ocupării forței de muncă în general, avem nevoie de o teorie completă a economiei monetare.
Potrivit lui Smith, automatismul pieței poate optimiza alocarea resurselor. Contrar credinței populare că interesul privat este contrar intereselor societății, Smith a susținut că descentralizarea și concurența liberă pot maximiza satisfacerea nevoilor. Concurența liberă urmărește să echivaleze prețurile cu costurile de producție, optimizând distribuția resurselor în cadrul industriilor și pe piețele factorilor de producție - pentru a egaliza avantajele nete ale acestor factori în toate industriile și astfel să stabilească distribuția optimă a resurselor între industrii. Acesta a fost primul pas către teoria optimizării alocării resurselor în condiții competitie perfecta.
Trebuie avut în vedere că profitul, așa cum am menționat mai devreme, are, în primul rând, două definiții (în contabilitate și în teoria economică), și în al doilea rând, semnificații diferite ale profitului ca venit implicit primit de companie prin utilizarea propriilor factori. a profitului de producţie ca recompensă pentru riscul antreprenorial şi inovaţiei (care este inclusă în costurile economice) profitul ca venit de monopol în condiţiile concurenţei imperfecte. Fiecare dintre valorile date ale profitului se datorează unei varietăți a surselor sale, inclusiv, respectiv, utilizarea alternativă a costurilor imputate, incertitudinea în mediul economic și inovarea, prezența pieței sau a puterii de monopol asupra prețului. Profitul acționează, așadar, ca un fel de catalizator pentru dezvoltarea economiei, un stimulent pentru distribuția rațională a resurselor, un stimulent pentru acumularea de capital.
Printre cele mai importante clase de probleme ale I.O. includ probleme de gestionare a stocurilor, probleme de alocare și alocare a resurselor (probleme de distribuție), probleme de coadă, probleme de înlocuire a echipamentelor, de comandă și reconciliere (inclusiv teoria de planificare), contradictorii (de exemplu, jocuri), probleme de căutare etc. metode - programare matematică (liniară, neliniare etc.), ecuații diferențiale și diferențiale, metode ale teoriei grafurilor, procese Markov, teoria jocurilor, teoria soluțiilor (statistice), teoria recunoașterii modelelor și o serie de altele.
M. este numit uneori teoria prețurilor, deoarece subiectul său este mecanismul de alocare a resurselor, iar într-o economie de piață prețurile sunt instrumentul principal al unei astfel de distribuții.
Într-una dintre ele, lucrarea lui LV Kantorovich „Metode matematice de organizare și planificare a producției” (1939), principiile unei noi ramuri a matematicii, care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de programare liniară, au fost expuse pentru prima dată și, dacă te uiți mai mult în linii mari, aceasta a pus bazele teoriei alocării optime a resurselor, care este fundamentală pentru economie. L.V. Kantorovich a formulat clar conceptul de optim economic și a introdus în știință optim, obiectiv
Regulă de identitate efect „280” „Teoria alocării resurselor” preinstituțională 301 Aparat „138 Criteriul de optimizare 71” Firmele care iau prețuri „390” Principiul rațiunii insuficiente „112” Natura „281” Matrice productivă „189
Teoriile alocării resurselor și ale generării de venit în manualele de analiză microeconomică sunt prezentate în cadrul secțiunii Piețe pentru fluide de producție. Planul general de analiză a problemelor de această dată a rămas neschimbat de la publicarea cărții de A. Marsh.Principii de teoria economică a pieței muncii, a pieței de capital și a terenului de secară. Cererea de factori din partea firmelor este asociată în mod tradițional cu produsul marginal al acestor factori, iar oferta cu venitul generos așteptat. În mod tradițional, manualele iau în considerare cererea elastică pentru fiecare factor, care depinde atât de interschimbabilitatea, cât și de complementaritatea factorilor de tehnologie.
Sau, poate, am putea face o diviziune între teoria echilibrului staționar și teoria echilibrului mobil, adică prin aceasta din urmă teoria unui sistem în care ideile schimbătoare despre viitor sunt capabile să influențeze situația prezentă. Importanța banilor provine în principal din faptul că este legătura dintre prezent și viitor. Putem analiza care este distribuția resurselor între tipuri diferite utilizarea este compatibilă cu un echilibru sub acțiunea unor motive economice normale într-o lume în care ideile noastre despre viitor sunt neschimbate și de încredere în toate privințele și este posibilă o nouă divizare între o economie neschimbătoare și o economie supusă schimbării, dar în care toate evenimentele sunt prevăzute de la bun început. Pe de altă parte, putem trece de la acest model simplificat la probleme lumea realăîn care estimările noastre provizorii pentru viitor se pot dovedi a fi irealizabile și unde ipotezele despre viitor afectează ceea ce facem astăzi. Când facem această tranziție, banii ar trebui să intre în calculele noastre cu proprietățile sale speciale de legătură între prezent și viitor. Dar, deși teoria echilibrului mobil trebuie exprimată în mod necesar în termenii unei economii monetare, ea rămâne o teorie a valorii și distribuției și deloc o „teorie a banilor” de sine stătătoare. Banii, în esența sa, sunt în primul rând un mijloc inteligent de comunicare între prezent și viitor. Prin urmare, chiar și să începem să clarificăm influența schimbării ideilor despre viitor asupra activităților noastre curente este imposibil altfel decât în termeni monetari. Nu putem scăpa de bani nici măcar distrugând aurul, argintul și alte mijloace legale. Problemele specifice economiei monetare vor apărea atâta timp cât există JACFIBES durabile capabile să-și asume funcția de
Încununarea abordării axiomatice este teoria competiției perfecte. În ciuda faptului că a fost propus pentru prima dată în urmă cu aproximativ două sute de ani, nu a fost niciodată depășit, doar metoda de analiză a fost îmbunătățită. Teoria afirmă că, în anumite circumstanțe, bine definite, o dorință nelimitată de a-și satisface propriile interese duce la. Punctul de echilibru este atins atunci când nivelul producției companiei este de așa natură încât costul marginal este egal cu prețul de piață al produsului și fiecare consumator primește o astfel de cantitate din produs atunci când cumpără, încât „utilitatea” marginală totală este egală. la prețul său de piață. Cercetările arată că echilibrul va maximiza beneficiile tuturor participanților, cu condiția ca niciun cumpărător sau vânzător să nu poată influența prețurile pieței. Această linie de raționament a servit drept bază teoretică pentru politica de libertate completă de acțiune - laissez faire, care a dominat în secolul al XIX-lea și, de asemenea, servește drept bază pentru ideile moderne despre „puterea magică a pieței”.
Lume sistem capitalist susţinută de o ideologie înrădăcinată în teoria competiţiei perfecte. Conform acestei teorii, piețele tind spre echilibru, iar poziția de echilibru înseamnă cea mai eficientă alocare a resurselor. Orice restricții privind libera concurență reduc eficiența mecanismului pieței și, prin urmare, ar trebui să li se reziste. Mai sus am descris această abordare ca o ideologie laissezfaire, dar fundamentalismul pieței este un termen mai bun. Ideea este că fundamentalismul presupune un fel de credință care poate fi ușor dusă la extreme. Este o credință în perfecțiune, o credință într-un absolut, o credință că orice problemă trebuie să aibă o soluție. Fundamentalismul presupune o autoritate cu cunoștințe perfecte, chiar dacă această cunoaștere nu este la îndemâna muritorilor de rând. Dumnezeu este o astfel de autoritate și în timpul nostru Știința a devenit un substitut acceptabil. Marxismul pretindea că are o bază științifică, la fel și fundamentalismul pieței. Baza științifică pentru ambele ideologii a luat contur în secolul al XIX-lea, când știința încă promitea adevărul suprem. De atunci, ne-am dat seama de multe
Pope a atacat marxismul și psihanaliza freudiană pe motiv că aceste teorii, la fel ca multe altele, pretindeau a fi științifice, dar că nu puteau fi dovedite false prin testare, prin urmare, afirmațiile lor erau nefondate. Sunt de acord cu asta, dar voi merge chiar mai departe. Cred că argumentul pe care l-a folosit împotriva marxismului se aplică și unor teorii foarte respectate precum teoria concurenței perfecte, care proclamă că, în anumite condiții, urmărirea nelimitată a interesului propriu duce la cea mai eficientă alocare a resurselor. Nu vreau să distrug economia, cred că aceasta este o construcție teoretică foarte elegantă. Pun la îndoială aplicabilitatea sa în viața reală și nu sunt sigur dacă va rezista testului pe piețele financiare. Cred că activitatea Fondului Cuantic în sine dovedește eroarea teoriei plimbărilor aleatorii.
Fondatorul acestei teorii este filozoful englez I. Bentham (1748-1832), care a crezut asta. filosofia nu are o activitate mai demnă decât sprijinirea economiei în viața de zi cu zi. Pentru utilitariști, plăcerea este scopul oricărei acțiuni, iar etica se rezumă la alocarea optimă a resurselor de dragul celei mai mari plăceri. Sunt convinși de
D. p. - conceptul fundamental al științei economice moderne, introdus pentru prima dată în știința rusă de către susținători
Produsul a fost distrus de incendiu, este necesară restabilirea TVA-ului?
Acumularea penalităților la 1c 8.3. Calculul amenzii: detașări. Amenzi, penalități, pierderi în baza contractelor de afaceri
Calculul unei amenzi pentru cablare în 1s 8
Revoluție industrială în Rusia la sfârșitul secolului al XIX-lea - începutul secolului al XX-lea
Cum să obțineți ajutor în vp ce este Ce este vp în armată