Cercetare operațională în termen de taxonomie economică. Cercetare operațională în economie

31.10.2019

PROIECT DE CURS

Cercetare operațională în economie

Introducere

Rezolvarea grafică a problemelor programare liniară

Rezolvarea problemelor de programare liniară prin metoda simplex

Sarcina de transport

Problemă de atribuire

Problema rucsacului

Concluzie

Literatură

Introducere

Implementarea cu succes a realizărilor progresului științific și tehnologic în țara noastră este strâns legată de utilizarea metodelor economice și matematice și a tehnologiei informatice în rezolvarea problemelor din diverse domenii ale activității umane. De o importanță excepțională este utilizarea acestor metode și mijloace în rezolvare sarcini economice.

Conducerea și planificarea sunt cele mai complexe funcții ale administrației întreprinderilor, managerilor, conducătorilor de organe economice și sediile centrale la diferite niveluri. Natura managementului și planificării determină modalitatea de atingere a scopului și are un impact semnificativ asupra calității rezolvării problemei. ÎN conditii moderne responsabilitate sporită pentru calitatea deciziilor de management. Mai multe decizii de management nereușite și compania intră în stadiul de faliment.

În prezent, există două grupuri de metode de luare a deciziilor de management:

) logic (când decizia este luată pe baza experienței, intuiției și altor calități personale ale persoanei care ia decizia);

) formal-logic sau formalizat (când se ia o decizie pe baza studierii unui model preconstruit). În acest caz, devine posibil să se evalueze consecințele fiecăreia dintre opțiuni și să se aleagă pe cea mai bună în funcție de un anumit criteriu. Modelele economice și matematice joacă un rol important în acest grup de metode.

Imaginea realității, care reflectă caracteristicile sau trăsăturile unui obiect real (original) caracteristice fenomenului studiat, se numește model, iar procesul de construire a modelelor se numește modelare.

Utilizarea simbolurilor digitale și semnelor vă permite să creați o categorie de modele care include modele formal-logice și matematice.

Orice management în economie este asociat cu dezvoltarea și adoptarea deciziilor manageriale care sunt întruchipate în influențe manageriale. Subiecții managementului caută să determine consecințele unei anumite decizii. Înainte de a lua măsuri de control, luați decizia finala, este de dorit să se verifice eficacitatea, consecințele, rezultatul. În același timp, sunt utilizate efectiv modele logice ale proceselor de control, scenarii mentale ale fluxului lor. Dar posibilitățile chiar și ale unui specialist calificat, cu experiență, de a reproduce în creierul său o imagine a comportamentului obiectului de control sub influența acțiunilor de control sunt destul de limitate. Trebuie să apelăm la ajutorul calculelor matematice care completează reprezentările mentale, ilustrând imaginea așteptată a procesului controlat sub formă de numere, curbe, grafice, tabele. Utilizarea metodelor matematice în formarea de idei despre obiecte și procese economice în cursul analiză economică, previzionarea, planificarea se numește aplicarea metodelor economice și matematice.

Cea mai comună formă, principalul instrument de implementare a metodelor economice și matematice, este modelarea economică și matematică. Modelarea matematică se bazează pe descrierea matematică a obiectului (procesului) modelat sub formă de formule, dependențe folosind simboluri matematice, semne.

Modelul economic și matematic este o descriere formalizată a unui control obiect economic(proces), inclusiv parametri predeterminați, indicatori și cantități necunoscute necunoscute care caracterizează starea obiectului, funcționarea acestuia, unite prin legături sub formă de dependențe matematice, rapoarte, formule. Modelul poate fi doar un analog al sistemului simulat, reflectând principalele proprietăți esențiale ale sistemului controlat studiat, care sunt cele mai importante din punct de vedere al managementului.

Datorită modelării, subiectul controlului este capabil, în cursul analizei, să se ocupe nu de obiectul real al controlului, ci de analogul său sub forma unui model. Acest lucru extinde foarte mult posibilitățile de căutare. moduri mai bune management fără a perturba funcționarea obiectului real al managementului în timpul elaborării deciziilor de conducere. Devine posibilă aplicarea tehnologiei informatice, utilizarea calculatoarelor pentru care limbajul matematic al modelelor este cel mai convenabil. Datorită computerelor, este posibilă efectuarea calculelor modelului multivariat, ceea ce crește șansele de a găsi cele mai bune opțiuni.

Pentru a lua o decizie în cunoștință de cauză, este necesar să primiți și să procesați o cantitate imensă de informații. Deciziile de management responsabil sunt adesea asociate cu soarta celor care le iau, și cu mare valori materiale. Dar acum nu este suficient să indicați calea care duce la atingerea scopului. Necesar din toate moduri posibile alegeți cel mai economic, ținând cont de particularitățile fluxului și dezvoltării procesului controlat și cel mai potrivit sarcinii.

Procesul de gestionare a unui sistem de producție este un proces de luare a deciziilor, care este întotdeauna asociat cu o alegere dintr-o varietate de solutii posibile permis de circumstanțele problemei care se rezolvă, adică există o multitudine de opțiuni disponibile. Soluția aleasă trebuie să îndeplinească un anumit criteriu de oportunitate. Astfel se explică legătura dintre problemele luării deciziilor manageriale și metodele teoriei optimizării.

În procesul de luare a deciziilor, este necesar să se oficializeze dependența dintre elementele individuale ale sistemului, să se aplice aparatul matematic, principiile și modelele cibernetice generale, adică să se utilizeze metode economice și matematice.

Se știe că efect economic de la metode solide de management și planificare aplicate pe scară largă și mai departe nivel inalt, poate crește în unele cazuri efectul unei creșteri semnificative a puterii. Este nevoie de noi metode matematice care să permită analizarea ritmului de producție, a relației dintre oameni și dintre echipe.

Mașinile matematice, introduse în producție și management și utilizate în munca de cercetare, creează oportunități uriașe pentru dezvoltarea diferitelor ramuri ale științei, pentru îmbunătățirea metodelor de planificare și automatizare a producției. Cu toate acestea, fără formularea strictă a problemelor, fără o descriere formală matematică a proceselor, nivelul necesar de utilizare a tehnologiei nu poate fi atins. Există întrebări legate de formalizarea proceselor fizice, economice, tehnice și de altă natură. Formalizarea problemei este o etapă necesară pentru traducerea fiecărei probleme economice aplicate în limbajul mașinilor matematice.

Pentru a formula o problemă de programare matematică, este necesar să se formuleze scopul controlului și să se indice restricțiile privind alegerea parametrilor de control, datorită caracteristicilor procesului controlat. Sarcina programării matematice se reduce la alegerea unui sistem de parametri care asigură calitatea optimă (într-un sens dat) procesului de control în limitele restricțiilor formulate.

Toate cele de mai sus demonstrează necesitatea aplicării metodelor și modelelor economice și matematice în management pentru a lua decizii informate de management.

In acest termen de hârtie dă o idee despre posibilitățile de utilizare practică a programării matematice și a metodelor economice și matematice în rezolvarea unor probleme economice specifice.

.Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară.

Rezolvați problema grafic

4x 1+x 2→ max,

cu următoarele restricții:

X 1+7x 2≤140

X 1+10x 2≤150

X 1+20x 2≤100

Să construim domeniul soluțiilor admisibile, i.e. rezolvați grafic sistemul de inegalități. Pentru a face acest lucru, construim fiecare linie dreaptă și definim semiplanurile date de inegalități (semiplanurile sunt marcate cu un prim).

Intersecția semiplanurilor va fi aria ale cărei coordonate ale punctelor satisfac condiția inegalităților sistemului de constrângeri ale problemei.

Să notăm limitele regiunii poligonului soluție.

Se consideră funcția obiectiv a problemei F = 4x 1+x 2→ max.

Să construim o dreaptă corespunzătoare valorii funcției F = 0: F = 4x 1+x 2= 0. Vom muta această linie în mod paralel. Deoarece ne interesează soluția maximă, mutam linia dreaptă până la ultima atingere a zonei desemnate. Pe grafic, această linie este indicată printr-o linie punctată.

Zona soluțiilor fezabile este un poligon

Linia F(x) = const intersectează regiunea în punctul A. Deoarece punctul A se obține ca rezultat al intersecției dreptelor (1) și (3), coordonatele sale satisfac ecuațiile acestor drepte:

X 1+7x 2=140

X 1+20x 2=100

Rezolvând sistemul de ecuații, obținem: x 1= 5,7534, x 2 = 3.5616

Unde putem găsi valoare maximă functie tinta:

(X) = 4*5,7534 + 1*3,5616 = 26,5753

2. Rezolvarea problemelor de programare liniară prin metoda simplex.

Să rezolvăm problema directă a programării liniare prin metoda simplex, folosind tabelul simplex.

Să definim valoarea maximă a funcției obiectiv F(X) = 5x 1+5x 2+11x 3+9 în următoarele condiții-restricții.

În calcule, valoarea Fc = 9 nu este luată în considerare temporar.

programare liniară matematică economică

X 1+ x 2+ x 3+ x 4≤0

X 1+5x 2+ 3x 3+2x 4≤0

X 1+5x 2+10x 3+15x 4≤0

Pentru a construi primul plan de referință, reducem sistemul de inegalități la un sistem de ecuații prin introducerea de variabile suplimentare (tranziție la forma canonică).

În prima inegalitate de sens (≤), introducem variabila de bază x 5. În a 2-a inegalitate de sens (≤), introducem variabila de bază x 6. În a 3-a inegalitate de sens (≤), introducem variabila de bază x 7.

X 1+ 1x 2+ 1x 3+ 1x 4+ 1x 5+ 0x 6+ 0x 7 = 0

X 1+5x 2+ 3x 3+2x 4+ 0x 5+ 1x 6+ 0x 7 = 0

X 1+5x 2+10x 3+15x 4+ 0x 5+ 0x 6+ 1x 7 = 0

Matricea coeficienților A = a(ij) ai acestui sistem de ecuații are forma:

11111007532010351015001

Variabilele de bază sunt variabile care sunt incluse într-o singură ecuație a sistemului de constrângeri și, în plus, cu un coeficient unitar.

Să rezolvăm sistemul de ecuații în raport cu variabilele de bază: x 5, X 6, X 7

Presupunând că variabilele libere sunt 0, obținem primul design de referință: X1 = (0,0,0,0,0,0,0)

O soluție de bază se numește admisibilă dacă este nenegativă.

BazaBx 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 501111100x 607532010x 70351015001F(X0)0-5-5-110000

Să trecem la algoritmul principal al metodei simplex.

Iterația #0.

Verificarea criteriului de optimitate.

Linia de bază actuală nu este optimă deoarece există coeficienți negativi în rândul indicelui.

Definirea unei noi variabile de bază.

Ca coloană principală, alegem coloana corespunzătoare variabilei x 3, deoarece acesta este cel mai mare coeficient modulo.

Definiția unei noi variabile libere.

Să calculăm valorile lui D i pe rânduri ca cât de împărțire: b i /A i3

iar dintre ele o alegem pe cea mai mică: (0: 1, 0: 3, 0: 10) = 0

Prin urmare, prima linie conduce.

Elementul de rezoluție este egal cu (1) și este situat la intersecția coloanei principale și a rândului de început.

BazaBx 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7cochetă 5011111000x 6075320100x 703510150010F(X1)0-5-5-1100000

Recalcularea tabelului simplex.

Formăm următoarea parte a tabelului simplex.

În loc de variabila x 5planul 1 va include variabila x 3.

Șirul corespunzător variabilei x 3în planul 1, obținut prin împărțirea tuturor elementelor rândului x 5plan 0 per element de activare RE=1

În locul elementului de activare din planul 1, obținem 1.

În celulele rămase ale coloanei x 3planul 1 scrie zerouri.

Astfel, în noul plan se umple 1 rând x 3și coloana x 3.

Toate celelalte elemente ale noului plan 1, inclusiv elementele rândului index, sunt determinate de regula dreptunghiului.

Pentru a face acest lucru, selectați patru numere din planul vechi, care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.

NE \u003d SE - (A * B) / RE

STE - element din planul vechi, RE - element rezolutor (1), A și B - elemente din planul vechi, formând un dreptunghi cu elemente de STE și RE.

Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

bx 1X 2X 3X 4X 5X 6X 70: 11: 11: 11: 11: 11: 10: 10: 10-(0 3):17-(1 3):15-(1 3):13-(1 3):12-(1 3):10-(1 3):11-(0 3):10-(0 3):10-(0 10):13-(1 10):15-(1 10):110-(1 10):115-(1 10):10-(1 10):10-(0 10):11-(0 10):10-(0 -11):1-5-(1 -11):1-5-(1 -11):1-11-(1 -11):10-(1 -11):10-(1 -11):10-(0 -11):10-(0 -11):1

Obținem un nou tabel simplex:

BazaBx1

Sarcina 1

Rezolvați problema transportului conform tabelului 1.

Tabelul 1 - Date inițiale

Tabelul 1 introduce următoarele denumiri:

AI-stocuri de produse pe al-lea paragraf plecări (PO);

Bj-aplicații pentru produse din destinații Bj (DL);

Cij este costul transportului unei unități de producție de la i-a PO la j-a MO.

Suma tuturor comenzilor trebuie să fie egală cu suma tuturor stocurilor. cost total transportul va fi notat cu Z.

Pentru sarcina generată, executați tabelul de transport și aplicați-i metoda de transfer ciclic.

Rezolvarea problemei 1

Pe baza datelor din tabelul 1, tabelul de transport original are forma prezentată în tabelul 2.

Tabelul 2 Tabelul de transport inițial

Origine / Destinație	aplicatii pentru produse


stocurile de produse

Pasul 1: La completarea tabelului s-a luat în considerare starea de închidere a sarcinii de transport, adică. suma tuturor comenzilor este egală cu suma tuturor rezervelor: numărul total de comenzi = 87, rezervele totale = 87. Problema este echilibrată (închisă).

Pasul 2: Soluția de referință inițială este găsită prin metoda costului minim.

Pentru a face acest lucru, stocurile în punctele de plecare Аi sunt distribuite în conformitate cu aplicațiile destinațiilor Bj și sunt completate celule cu costuri minime de transport. În acest caz, toate stocurile trebuie distribuite în conformitate cu aplicațiile. Xij - cantitatea de marfă transportată.

Plan de bază obținut prin metoda costului minim

Calculați costurile pentru această soluție de referință:

Zini = C13 ? X13 + C14 ? X14 + C15 ? X15 + C25 ? X25 + C33? X33 + C41 ? X41 + C42 ? X42 +C44 ? X44 = 1? 2+6? 5+4? 4+27? 2+19? 1+14? 2+9? 13+7? 4 = 204.

Pasul 3: Verificați designul suport obținut pentru non-degenerare. Numărul de celule umplute N trebuie să îndeplinească condiția N=n+m-1. În cazul nostru, N=8, n+m=5+4=9 , care satisface condiția de nedegenerare a planului.

Pasul 4: Vom realiza o îmbunătățire pas cu pas a soluției inițiale folosind metoda potențială. Pentru a determina factorul soluției de referință, este necesar să se găsească potențialele celulelor umplute. Suma potențialelor este egală cu costul transportului

Fie a4 = 0. Atunci: a1 = 1; a2 = -1; a3 = 0; a4 = 0; b1 = 2; b2 = 3; b3 = 1; b4 = 4; b5 = 3.

Valoarea potențialelor este scrisă în tabelul de lângă Аi și Bj. Verificăm soluția de referință pentru optimitatea pentru toate celulele goale ale tabelului

a1 + b3 - c13 = 1 + 1 - 2 = 0 ? 0 a1 + b4 - c14 = 1 + 4 - 5 = 0 ? 0

a1 + b5 - c15 = 1 + 1 - 4 = -2< 0 a2 + b5 - c25 = -1 + 3 - 2 = -4 < 0

a3 + b3 - c33 = 0 + 1 - 1 = 0 ? 0 a4 + b1 - c41 = 0 + 2 - 2 = 0 ? 0

a4 + b2 - c42 = 0 + 3 - 3 = 0 ? 0 a4 + b4 - c44 = 0 + 4 - 4 = 0 ? 0

Soluția de referință inițială este optimă, deoarece fără evaluări pozitive. Valoarea funcției obiectiv: Zopt=204.

2. Sarcina numărul 2

Construiți o traiectorie a aeronavei care conectează punctul A și punctul B. Costul zborului ar trebui să fie minim. Costul zborului pentru fiecare segment este dat în interiorul segmentului. Determinați controale optime condiționate și necondiționate.

Rezolvarea problemei 2

Programarea dinamică este special adaptată la așa-numitele operații în mai multe etape.

Procesul de programare dinamică se desfășoară de la final (punctul B) până la început (punctul A) - optimizare condiționată (control optim condiționat și costuri minime condiționat). Apoi, se realizează optimizarea de la început (t.A) până la sfârșit (t.B) - optimizare necondiționată (control optim necondiționat și costuri optime necondiționat).

Pentru optimizarea condiționată, distanța de la A la B este împărțită în 5 părți în direcția est și 4 părți în direcția nord. Atunci orice cale de la A la B constă din m = 4 + 5 = 9 segmente îndreptate spre est sau spre nord. Vom desfășura procedura de optimizare condiționată în direcția opusă - de la sfârșit până la început. Mai întâi de toate, să facem o optimizare condiționată a ultimului pas, al 9-lea. Luați în considerare separat colțul din dreapta sus al grilei noastre dreptunghiulare. După al 8-lea pas, putem fi la punctul de cost fie 7 (B1) fie 8 (B2). Trecem la punctul B1, de unde te poți deplasa în jos (6 unități) sau spre stânga (5 unități). Operațiuni similare sunt efectuate în toate punctele și se deplasează în partea în care costurile sunt mai mici. În mod convențional, costurile minime s-au ridicat la 47, care este prezentat în tabelul 1.

Tabelul 3 Procedura de optimizare condiționată

Apoi, se realizează optimizarea necondiționată cu deplasarea din punctul A în punctul B, alegând direcțiile costului minim, care este prezentat în Tabelul 2, traiectoria care duce de la A și B în cel mai ieftin mod este marcată cu roșu.

Tabelul 4 Control optim necondiționat

3. Sarcina numărul 3

Determinați indicatorii complecși ai fiabilității facilităților de comunicații neredundante. Datele inițiale sunt date în tabel. 3.

Pentru a rezolva sarcina 3 este necesar:

- determina starea instalatiei;
- scrie un sistem de ecuaţii algebrice liniare;
- stabiliți relația dintre probabilitățile finale și determinați valorile lor cantitative.

Tabelul 5

Rezolvarea problemei 3

Cea mai simplă structură are un sistem neredundant format din n elemente, în care defectarea unuia dintre elemente duce la defectarea întregului sistem. În acest caz, sistemul S are o conexiune logic secvenţială a elementelor (Figura 1).

Diagrama conexiunii logice a elementelor unui sistem neredundant

Un sistem recuperabil neredundant se află în una dintre cele două stări în orice moment: sus G0 sau jos G1. Procesul de funcționare a acestuia poate fi reflectat în graficul de stare (Figura 2):

Graficul de stare al unui sistem neredundant

Din starea S0 la starea S1 sistemul trece ca urmare a defecțiunilor cu rata l și de la S1 la S0 - ca urmare a recuperării cu rata µ. În cele ce urmează, vom presupune că fluxurile de eșec și de recuperare sunt cele mai simple: л = const, µ = const. Aceasta înseamnă că productivitatea reparatorului este constantă și nu depinde de timp. Prin urmare, timpul de recuperare are o lege de distribuție exponențială

Unul dintre principalii indicatori ai fiabilității sistemului este mentenabilitatea - acesta este gradul de adaptabilitate a sistemului la prevenirea, detectarea și eliminarea defecțiunilor. Mentenabilitatea sistemului poate fi evaluată, de exemplu, prin valoarea medie a timpului de recuperare a defecțiunii, cu alte cuvinte, valoarea medie a timpului de recuperare după o defecțiune TB.

În problema TB = 1,5, deci µ = 1 / 1,5 ? 0,667.

Principalul indicator al fiabilității unui sistem restaurabil neredundant este factorul de disponibilitate Kr.

Pentru a-l determina, luați în considerare funcționarea sistemului pe intervalul de timp (t,t+?t). Notăm cu P0(t), P0(t+?t) și P1(t),P1(t+?t) probabilitățile ca la momentul t și t+?t sistemul să fie în starea S0 și S1. Apoi

P0(t)+P1(t)=1 şi Kg=P0(t).

De asemenea, notăm cu P01(?t) și P10(?t) probabilitatea condiționată ca la momentul t sistemul să fie fie în starea S0, fie în starea S1, iar la momentul t+?t fie în starea S1, fie în starea S0, adică. în intervalul de timp t a avut loc o defecțiune (recuperare) a sistemului.

Vom presupune că o singură eșec sau o singură recuperare poate avea loc în timpul?t. Atunci pot apărea patru evenimente incompatibile pe intervalul?t: A1(S0, S0) - la momentul t sistemul era în starea S0, la momentul t +? nu a avut loc o eroare; A2(S0, S1) - a avut loc o defecțiune; A3(S1, S0) - a avut loc recuperarea; A4(S1, S1) - recuperarea nu a avut loc.

Lăsa. Apoi obținem un sistem de ecuații diferențiale

care este completată de condiția P0(t)+P1(t).

Rezolvarea sistemului la condiții inițiale P0(t)=1 și P1(t)=0, adică. la momentul initial, sistemul este operational, are forma

Dacă în momentul inițial de timp sistemul este inoperabil, atunci P0(0)=0, P1(0)=1 și soluția sistemului are forma

Căci indiferent de starea inițială a sistemului (S0 sau S1), probabilitățile Po(t)=Kg, P1(t) tind la valori constante.

Aceasta înseamnă că, în conformitate cu legile exponențiale de distribuție a MTBF și a timpului de recuperare, procesul aleator de funcționare a sistemului restaurat se stabilizează, iar probabilitatea de a găsi sistemul operațional la un moment arbitrar în timp rămâne constantă. Având în vedere că acest proces este markovian, în sistemul de ecuații diferențiale pentru , putem seta

și obțineți un sistem de ecuații algebrice liniare, de unde P0=Kg și P1 se găsesc direct:

Pentru cazul nostru, știm valoarea lui µ ? 0,667.

Unde puteți determina valoarea lui l (conform formulei

Cunoscând valorile lui l și µ din cel mai recent sistem ecuații, putem determina probabilitățile finale Р0 și Р1, care sunt egale cu 0,9995 și, respectiv, 0,0005.

4. Sarcina numărul 4

Determinați indicatorii de fiabilitate ai facilităților de comunicații redundante. Datele inițiale sunt date în tabel. 4.

Pentru a rezolva sarcina 4 este necesar:

- determina starea sistemului redundant;
- construiți un grafic de stare etichetat;
- scrieți un sistem de ecuații algebrice liniare ale lui Kolmogorov;
- stabiliți relația dintre probabilitățile finale și determinați valorile lor cantitative;
- determinați indicatorii de fiabilitate (timpul mediu de funcționare fără defecțiuni și factorul de disponibilitate al sistemului redundant).

costul de transport algebric neredundant

Tabelul 6

Rezolvarea problemei 4

Într-un sistem redundant, defecțiunea oricărui element nu duce neapărat la defectarea întregului sistem. Un caz tipic este o conexiune logic paralelă a elementelor (Figura 1), în care sistemul eșuează atunci când toate elementele sale eșuează. Acest tip de redundanță se numește redundanță permanentă sau încărcată (m-1). În acest caz, toate elementele îndeplinesc aceeași funcție, funcționează simultan și sunt la fel de fiabile.

Schema conexiunii logice a elementelor redundante ale sistemului

Un sistem redundant recuperabil este descris printr-un grafic de stare (Figura 2).

Graficul stării sistemului redundant

Spre deosebire de un sistem neredundant, un sistem redundant are 4 stări: S0 - reparabil; S1 - primul semi-set este funcțional, iar al doilea este defect (reparat); S2 - a doua jumătate de set este operațională, iar prima este defectă (în reparație); S3 - inoperabil (ambele seturi sunt în curs de reparare).

Ținând cont de condițiile problemei, ecuațiile algebrice liniare ale lui Kolmogorov au forma:

2 l P0 = µp (P1 + P2) (1)
(l + µp) P1 = l P0 + µv P3 (2)
(l + µp) P2 = l P0 + µv P3 (3)
2 µw P3 = l (P1 + P2) (4) ,

unde l și µv sunt intensitatea defecțiunii și restaurării;

µp - intensitatea de comutare.

Sistemul este completat de ecuația de normalizare

P0+P1+P2+P3=1. (5)

Ecuațiile (2) și (3) arată că Р1 = Р2. Atunci ecuația (1) se va scrie sub forma:

Ecuația (4) are forma:

Ecuația (5) are forma:

P0 \u003d T0 / (T0 + 2Tp) \u003d 3000 / (3000 + 2 45 / 3600) \u003d 0,999991667.

P1 \u003d P0 Tp / T0 \u003d 0,999991667 (45/3600) / 3000 \u003d 0,00000417.

P2 \u003d P0 Tp / T0 \u003d 0,999991667 (45/3600) / 3000 \u003d 0,00000417.

P3 \u003d P0 ((Tp Tv) / T0) \u003d 0,999991667 ((45/3600 1,5) / 3000) \u003d 0,00000625.

Să determinăm timpul mediu de funcționare fără defecțiuni a unui sistem redundant:

T01 \u003d (P0 Tv) / (1- P0) \u003d (0,999991667 1,5) / (1 - 0,999991667) \u003d 180.000 ore.

În interpretarea probabilistică, factorul de disponibilitate este determinat de formula:

unde To este timpul dintre defecțiuni (în funcție de starea problemei, este 3000),

TB - timpul mediu de recuperare (în funcție de starea problemei, este de 1,5).

Prin urmare, factorul de disponibilitate este Kg = 3000 / (3000 + 1,5) = 0,9995.

Lista surselor utilizate

1. Wentzel E.S. Cercetare operațională. Sarcini, principii, metodologie / E.S.Venttsel. - M.: Nauka, 1986.
2. Kremer N.Sh. Cercetare operațională în economie. Tutorial pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. - M.: UNITI, 2002.
3. Demidov Yu. M. Cercetare operațională. Manual pentru efectuarea lucrărilor de control.- M .: MGTU GA, 2010 - 20 pagini.
4. Volkov I.K., Zagoruiko E.A. Cercetare operațională. Manual pentru universități / ed. B.C. Zarubina, A.P. Krișcenko. - M.: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2002.
5. Afanasiev M.Yu., Suvorov B.P. Cercetare operațională în economie: modele, sarcini, soluții. Manual / M.Yu. Afanasiev, B.P. Suvorov. - M.: INFRA-M, 2003.

Postat pe Аllbest.ru

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

1. Concepte generaleși definiții înȘiinvestigarea operațiunilor

Ar trebui să înveți conceptele și definițiile de bază ale cercetării operaționale.

O operațiune este orice eveniment controlat care vizează atingerea unui scop. Rezultatul operațiunii depinde de metoda de implementare a acesteia, de organizare, în caz contrar - de alegerea anumitor parametri. Orice alegere definită de parametri se numește soluție. Soluțiile optime sunt considerate a fi cele care, dintr-un motiv sau altul, sunt preferabile altora. Prin urmare, sarcina principală a cercetării operaționale este o justificare cantitativă preliminară a soluțiilor optime.

Observație 1

Trebuie acordată atenție formulării problemei: luarea deciziei în sine depășește sfera cercetării operaționale și ține de competența persoanei responsabile sau a grupului de persoane, care poate lua în considerare și alte considerente decât cele justificate matematic.

Observația 2

Dacă în unele sarcini de cercetare operațională soluția optimă este cea în care criteriul de eficiență ales capătă valoarea maximă sau minimă, atunci în alte sarcini acest lucru nu este deloc necesar. Deci, în problemă putem considera optim, de exemplu, un astfel de număr de puncte de vânzare cu amănuntul și personal din ele, în care timpul mediu de serviciu pentru clienți nu depășește, de exemplu, 5 minute, iar lungimea medie a cozii în orice moment va să nu fie mai mult de 3 persoane (1, pag. .10-11).

Eficienta productiei activitati comerciale este determinată în mare măsură de calitatea deciziilor luate zilnic de managerii de diferite niveluri. În acest sens, sunt de mare importanță sarcinile de îmbunătățire a proceselor de luare a deciziilor, pe care cercetarea operațională le permite să le rezolve. Termenul „cercetare operațională” a fost folosit pentru prima dată în 1939-1940. în zona militară. În acest moment, echipamentele militare și gestionarea acestuia deveniseră fundamental mai complicate ca urmare a revoluției științifice și tehnologice. Și astfel, până la începutul celui de-al Doilea Război Mondial, era nevoie urgentă de cercetare științificăîn zonă utilizare eficientă echipament militar nou, evaluare cantitativă și optimizare a deciziilor luate de comandament. În perioada postbelică, succesele noii discipline științifice erau solicitate în zone pașnice: în industrie, activități antreprenoriale și comerciale, în institutii publice, în instituţiile de învăţământ.

Cercetarea operațională este o metodologie de aplicare a metodelor matematice cantitative pentru a justifica soluțiile la probleme în toate domeniile activității umane intenționate. Metodele și modelele de cercetare operațională vă permit să obțineți soluții care îndeplinesc cel mai bine obiectivele organizației.

Cercetarea operațională este știința care se ocupă de dezvoltarea și aplicarea practică a metodelor pentru cel mai eficient (sau optim) management al sistemelor organizaționale.

Principalul postulat al cercetării operaționale este următorul: soluția optimă (controlul) este un astfel de set de valori ale variabilelor care realizează valoarea optimă (maximum sau minim) a criteriului de eficiență (funcția obiectivă) a operației și respectă restricții specificate.

Obiectul cercetării operaționale este problema luării deciziilor optime într-un sistem cu control bazat pe evaluarea eficienței funcționării acestuia. Conceptele caracteristice cercetării operaționale sunt: model, variabile variabile, constrângeri, funcție obiectiv.

Subiectul cercetării operaționale în realitate îl reprezintă sistemele de management organizațional (organizații), care constau dintr-un număr mare de departamente care interacționează, iar interesele departamentelor nu sunt întotdeauna concordante între ele și pot fi opuse.

Scopul cercetării operaționale este de a fundamenta cantitativ deciziile luate cu privire la managementul organizațiilor.

Soluția care este cea mai benefică pentru întreaga organizație se numește soluție optimă, iar soluția care este cea mai benefică pentru unul sau mai multe departamente va fi suboptimă.

Ca exemplu de sarcină tipică a managementului organizațional, în care interesele conflictuale ale departamentelor se ciocnesc, luați în considerare problema gestionării inventarului unei întreprinderi.

Departamentul de producție se străduiește să producă cât mai multe produse la cel mai mic cost. Prin urmare, el este interesat de o producție cât mai lungă și continuă, adică de producția de produse în cantități mari, deoarece o astfel de producție reduce costurile de reconfigurare a echipamentelor și, prin urmare, costurile totale de producție. Producția de produse în cantități mari necesită însă crearea unor volume mari de stocuri de materiale, componente etc.

Departamentul de vânzări este interesat și de stocurile mari produse terminate pentru a satisface orice nevoi ale consumatorilor la un moment dat. Încheind fiecare contract, departamentul de vânzări, străduindu-se să vândă cât mai multe produse, trebuie să ofere consumatorului cea mai largă gamă de produse. Ca urmare, există adesea un conflict între departamentul de producție și departamentul de vânzări cu privire la gama de produse. Totodată, departamentul de vânzări insistă asupra includerii în plan a multor produse produse în cantități mici, chiar și atunci când acestea nu aduc profituri mari, iar departamentul de producție cere excluderea unor astfel de produse din gama de produse.

Departamentul financiar, încercând să minimizeze cantitatea de capital necesară pentru funcționarea întreprinderii, încearcă să reducă numărul de „conexe” capital de lucru. Prin urmare, este interesat să reducă stocurile la minimum. După cum puteți vedea, cerințele pentru dimensiunea stocurilor pentru diferite departamente ale organizației sunt diferite. Se pune întrebarea care strategie de inventar va fi cea mai benefică pentru întreaga organizație. Aceasta este o sarcină tipică a managementului organizațional. Este legat de problema optimizării funcționării sistemului în ansamblu și afectează interesele conflictuale ale diviziilor sale.

Caracteristici cheie ale cercetării operaționale:

1. O abordare sistematică a analizei problemei puse. Abordarea sistemelor, sau analiza sistemelor, este principalul principiu metodologic al cercetării operaționale, care este după cum urmează. Orice sarcină, oricât de privată ar părea la prima vedere, este considerată din punctul de vedere al influenței sale asupra criteriului de funcționare a întregului sistem. Mai sus, abordarea sistematică a fost ilustrată prin exemplul problemei managementului stocurilor.

2. Este tipic pentru cercetarea operațională ca atunci când rezolvăm fiecare problemă, apar tot mai multe sarcini noi. Prin urmare, dacă la început sunt stabilite obiective înguste, limitate, aplicarea metodelor operaționale nu este eficientă. Cel mai mare efect poate fi atins doar cu cercetarea continuă, asigurând continuitate în trecerea de la o sarcină la alta.

3. Una dintre caracteristicile esențiale ale cercetării operaționale este dorința de a găsi soluția optimă a problemei. Cu toate acestea, o astfel de soluție nu este adesea realizabilă din cauza constrângerilor impuse de resursele disponibile ( bani gheata, timpul mașinii) sau nivel stiinta moderna. De exemplu, pentru multe probleme combinatorii, în special probleme de planificare cu numărul de mașini n > 4, soluția optimă pentru dezvoltare modernă matematica este posibil de găsit doar printr-o simplă enumerare de opțiuni. Apoi trebuie să se limiteze la căutarea unei soluții „suficient de bună” sau suboptimă. Prin urmare, unul dintre creatorii săi, T. Saaty, a definit cercetarea operațională drept „... arta de a da răspunsuri proaste acelor întrebări practice cărora li se oferă răspunsuri și mai proaste prin alte metode”.

4. O caracteristică a cercetării operaționale este că se desfășoară într-o manieră complexă, în multe domenii. Se creează un grup operațional pentru realizarea unui astfel de studiu. Este format din specialiști din diferite domenii de cunoaștere: ingineri, matematicieni, economiști, sociologi, psihologi. Sarcina creării unor astfel de grupuri operaționale este un studiu cuprinzător al întregului set de factori care influențează soluția problemei și utilizarea ideilor și metodelor diferitelor științe.

Fiecare cercetare operațională parcurge următoarele etape principale în succesiune:

1) descrierea sarcinii de planificare,

2) construirea unui model matematic,

3) găsirea unei soluții,

4) verificarea si corectarea modelului,

5) implementarea în practică a soluției găsite.

Descrierea sarcinii de planificare:

Sarcini de planificare și management al rețelei

luați în considerare relația dintre termenele de finalizare a unui complex mare de operațiuni (lucrări) și momentele începerii tuturor operațiunilor complexului. Aceste sarcini constau în găsirea duratei minime a unui set de operațiuni, a raportului optim de cost și a calendarului de implementare a acestora.

· Sarcinile de așteptare sunt dedicate studiului și analizei sistemelor de așteptare cu cozi de aplicații sau cerințe și constau în determinarea indicatorilor de performanță ai sistemelor, a caracteristicilor optime ale acestora, de exemplu, în determinarea numărului de canale de servicii, a timpului de serviciu etc.

· Sarcinile de gestionare a stocurilor sunt de a găsi valorile optime ale nivelurilor de inventar (puncte de comandă) și dimensiunile comenzilor. Particularitatea unor astfel de sarcini constă în faptul că, odată cu creșterea nivelului stocurilor, pe de o parte, costurile stocării acestora cresc, dar, pe de altă parte, pierderile datorate unei posibile lipsuri a produsului stocat scad.

· Problemele de distribuţie a resurselor apar pentru un anumit set de operaţii (lucrări) care trebuie efectuate cu resurse disponibile limitate, şi se impune găsirea repartizării optime a resurselor între operaţii sau componenţa operaţiilor.

· Sarcinile de reparare și înlocuire a echipamentelor sunt relevante din cauza uzurii echipamentelor și a necesității înlocuirii acestuia în timp. Sarcinile se reduc la stabilirea momentului optim, a numărului de reparații și verificări preventive, precum și a momentelor de înlocuire a echipamentelor cu altele modernizate.

Sarcinile de programare (programare) sunt de a determina ordinea optimă a operațiunilor (de exemplu, procesarea pieselor) pe tipuri variate echipamente.

· Sarcinile de planificare și plasare sunt de a determina numărul și locația noilor obiecte, ținând cont de interacțiunea acestora cu obiectele existente și între ele.

· Problemele de selecție a rutelor, sau problemele de rețea, se întâlnesc cel mai des în studiul diverselor probleme din transport și din sistemul de comunicații și constau în determinarea celor mai economice rute (1, p. 15).

2. Forma matematică de vogădacă

Modelarea este procesul de studiere a unui sistem real, inclusiv construirea unui model, studierea proprietăților acestuia și transferul informațiilor obținute către sistemul simulat.

Un model este un obiect material sau abstract care se află într-o anumită corespondență obiectivă cu obiectul studiat, poartă anumite informații despre acesta și este capabil să-l înlocuiască în anumite stadii ale cunoașterii.

Modelarea matematică este procesul de stabilire a corespondenței cu un obiect real a unui anumit set de simboluri și expresii, de exemplu, cele matematice. Modelele matematice sunt cele mai convenabile pentru cercetare și analiză cantitativă; ele permit nu numai obținerea unei soluții pentru un caz specific, ci și determinarea influenței parametrilor sistemului asupra rezultatului soluției.

În crearea unui aparat matematic modern și dezvoltarea multor domenii de cercetare operațională contribuție uriașă introdus de oamenii de știință ruși L. V. Kantorovich, N. P. Buslenko, E. S. Venttsel, N. N. Vorobyov, N. N. Moiseev, D. B. Yudin și mulți alții. De remarcat este rolul academicianului L. V. Kantorovich, care în 1939, după ce a preluat planificarea funcționării unităților fabricii de placaj, a rezolvat mai multe probleme: cu privire la cea mai bună încărcare a echipamentelor, tăierea materialelor cu cele mai mici pierderi, pe repartizarea mărfurilor între mai multe moduri de transport etc. a formulat V. Kantorovich noua clasa probleme condițional extreme și a propus o metodă universală de rezolvare a acestora, punând bazele unei noi direcții în matematica aplicată - programarea liniară.

O contribuție semnificativă la formarea și dezvoltarea cercetării operaționale au avut-o oamenii de știință străini R. Akof, R. Bellman, G. Danzig, G. Kuhn, J. Neumann, T. Saaty, R. Churchman, A. Kofman și alții ( 1, p. .17)

Etapele construirii modelelor matematice:

Esența construirii unui model matematic este că sistemul real este simplificat, schematizat și descris folosind unul sau altul aparat matematic. Există următoarele etape principale ale construcției modelelor.

Sunt descrise verbal obiectul de modelare, scopurile funcționării acestuia, mediul în care funcționează, sunt identificate elemente individuale, stări posibile, caracteristici ale obiectului și ale elementelor sale, se determină relațiile dintre elemente, stări, caracteristici. O astfel de reprezentare preliminară, aproximativă a obiectului de studiu se numește model conceptual. Această etapă este baza pentru descrierea formală ulterioară a obiectului.

2. Formalizarea operațiunilor

Pe baza unei descrieri semnificative, se determină și analizează setul inițial de caracteristici ale obiectului, iar cele mai semnificative dintre ele sunt identificate. Apoi, se disting parametrii controlați și negestionați, sunt introduse denumiri simbolice. Se determină sistemul de restricții, se construiește funcția țintă a modelului. Astfel, descrierea semnificativă este înlocuită cu una formală (simbolică, ordonată).

3. Verificarea adecvării modelului

Versiunea originală a modelului trebuie verificată pentru următoarele aspecte:

1) Sunt toți parametrii relevanți incluși în model?

2) există parametri nesemnificativi în model?

3) Relațiile dintre parametrii sunt corect reflectate?

4) Restricțiile privind valorile parametrilor sunt definite corect?

Principala modalitate de a verifica adecvarea modelului la obiectul studiat este practica. După o verificare preliminară, încep să implementeze modelul și să efectueze cercetări. Rezultatele simulării obținute sunt analizate pentru conformitatea cu proprietățile cunoscute ale obiectului studiat. Pe baza rezultatelor verificării adecvării modelului, se ia o decizie cu privire la posibilitatea utilizării sale practice sau la o ajustare.

4. Corectarea modelului

În această etapă, sunt specificate informațiile disponibile despre obiect și toți parametrii modelului construit. Se fac modificări la model, iar evaluarea adecvării este efectuată din nou.

5. Optimizarea modelului

Esența optimizării (îmbunătățirii) modelelor este simplificarea acestora la un anumit nivel de adecvare. Optimizarea se bazează pe capacitatea de a transforma modele dintr-o formă în alta. Principalii indicatori prin care este posibilă optimizarea modelului sunt timpul și costul cercetării și luării deciziilor folosind modelul.

Tipuri de modele:

În chiar caz general modelul matematic al problemei are forma:

max Z=F(x, y) (1,1)

sub restricții

unde Z=F(x, y) este funcția obiectiv (indicator de calitate sau eficiență) a sistemului; x este vectorul variabilelor controlate; y este vectorul variabilelor necontrolate; Gi(x, y) este funcția de consum a i-a resursă; bi este valoarea i-a resursă (de exemplu, fondul planificat de timp al mașinii pentru un grup de strunguri automate în ore-mașină).

Definiție 1. Orice soluție a sistemului de constrângeri al problemei se numește soluție fezabilă.

Definiția 2. O soluție fezabilă în care funcția obiectiv își atinge maximul sau minimul se numește soluție optimă a problemei.

Pentru a găsi soluția optimă a problemei, în funcție de tipul și structura funcției obiective și de constrângeri, se utilizează una sau alta metodă a teoriei soluțiilor optime (metode de programare matematică).

1. Programare liniară dacă F(x, y) sunt liniare în raport cu x.

2. Programare neliniară, dacă F(x, y) sau -- sunt neliniare în raport cu x.

3. Programare dinamică, dacă funcția obiectiv F(x, y) are o structură specială, fiind o funcție aditivă sau multiplicativă a x variabilelor.

F(x)=F(x1, x2, …, xn) este o funcție aditivă dacă F(x1, x2, …, xn)=, iar funcția F(x1, x2, …, xn) este o funcție multiplicativă, dacă F(x1, x2, …, xn)=.

4. Programare geometrică, dacă funcția obiectiv F(x) și constrângerile sunt funcții de formă

Modelul matematic al problemei în acest caz este scris ca

in conditii

unde I=(m0, m0+1, …, n0); I[k]= (mk, mk+1, …, nk); mk+1=nk+1; m0=1; n0=n.

5. Programare stocastică, când vectorul variabilelor incontrolabile y este aleatoriu.

În acest caz, modelul matematic al problemei (1.1--1.2) va avea

maxMyE=My(f(x, y))

sub restricții

sau constrângeri probabilistice

unde My este așteptarea matematică pentru y; P(gi (х)Ј b) este probabilitatea ca condiția gi (х)Ј b să fie îndeplinită.

6. Programare discretă, dacă condiția de discretitate (de exemplu, valoarea întreagă) este impusă variabilelor xj: xj este un număr întreg, j=1,2,…,n1Јп.

7. Programarea euristică este folosită pentru a rezolva acele probleme în care este imposibil să se găsească algoritmic optimul exact din cauza numărului mare de opțiuni. În acest caz, ei refuză să caute soluția optimă și caută o soluție suficient de bună (sau satisfăcătoare din punct de vedere al practicii). În același timp, folosesc tehnici speciale - euristice, care pot reduce semnificativ numărul de opțiuni vizualizate. Metodele euristice sunt, de asemenea, utilizate atunci când soluția optimă poate fi găsită în principiu (adică problema este rezolvabilă algoritmic), dar acest lucru necesită mult mai multe resurse decât sunt disponibile.

Dintre metodele de programare matematică enumerate mai sus, cea mai dezvoltată și completă este programarea liniară. Acesta acoperă o gamă largă de sarcini în cercetarea operațională.

3. Programare liniară

În ciuda cerinței de liniaritate a funcției obiective și a restricțiilor, problemele de alocare a resurselor, managementul inventarului, rețeaua și programarea, problemele de transport, problemele de teorie a programării etc., se încadrează în cadrul programării liniare.

Teoreme de bază ale programării liniare

Metodele de rezolvare a problemelor de programare liniară se bazează pe următoarele teoreme.

Teorema principală a programării liniare, stabilirea locației soluțiilor optime.

Teorema 2.1. Dacă funcția obiectiv ia valoarea maximă într-un punct al mulțimii admisibile R, atunci ea ia această valoare în punctul extrem R (vârful poliedrului convex). Dacă funcția obiectiv ia valoarea maximă în mai mult de un punct extrem, atunci ia aceeași valoare în oricare dintre combinațiile lor convexe.

Din teorema 2.1 rezultă că, la căutarea unei soluții optime, este suficient să ne uităm doar la punctele extreme ale mulțimii admisibile de soluții R.

Teorema 2.2. Fiecare soluție de bază admisibilă corespunde unui punct extrem R.

Următoarea teoremă, inversă teoremei 2.2, este valabilă și ea. Teorema 2.3. Dacă -- este un punct extrem al mulțimii admisibile de soluții R, atunci soluția corespunzătoare x0 -- este o soluție de bază admisibilă a sistemului de constrângeri a problemei de programare liniară.

Folosind rezultatele teoremelor 2.1 și 2.2, putem concluziona că pentru a găsi soluția optimă a unei probleme de programare liniară este suficient să enumerăm numai soluții de bază admisibile. Această concluzie stă la baza multor metode de rezolvare a problemelor de programare liniară.

Determinarea sortimentului optim. Există p tipuri de resurse în cantități a1, a2, ..., ai, ..., ap și q tipuri de produse. Este dată matricea A=||aik||, unde aik caracterizează ratele de consum ale i-a resursă pe unitatea de k-a produs (k = 1, 2, ..., q).

Eficiența de ieșire a unei unități a produsului k-lea este caracterizată de indicele ci, care satisface condiția de liniaritate.

Determinați planul de lansare a produselor (sortimentul optim), în care indicator total eficiența este cea mai importantă.

4. Programare neliniară

Acest capitol descrie probleme de optimizare a programării neliniare (NLP) ale căror modele matematice conțin dependențe neliniare de variabile. Sursele de neliniaritate se încadrează în principal în una dintre cele două categorii:

1) relații neliniare din viața reală și observate empiric, de exemplu: relații disproporționate între volumul de producție și costuri; între cantitatea de componentă utilizată în producție și unii indicatori ai calității produsului finit; între costurile materiilor prime și parametrii fizici (presiune, temperatură etc.) ai procesului de producție corespunzător; între venituri și volumul vânzărilor etc.;

2) regulile de conduită stabilite (postulate) de conducere sau dependențe date, de exemplu: formule sau reguli de calcul cu consumatorii de energie sau alte tipuri de servicii; reguli euristice pentru determinarea nivelurilor de asigurare a stocului de produse; ipoteze despre natura distribuției probabilistice a variabilelor aleatoare luate în considerare în model; diverse tipuri de condiții contractuale de interacțiune între partenerii de afaceri etc.

Este mult mai ușor să rezolvi problemele liniare decât cele neliniare și, dacă un model liniar oferă adecvare la situații reale, atunci ar trebui utilizat. In practica management economic modelele de programare liniară au fost aplicate cu succes chiar și în condiții neliniare. În unele cazuri, neliniaritatea era nesemnificativă și putea fi neglijată, în altele s-a realizat liniarizarea relațiilor neliniare sau s-au folosit tehnici speciale, de exemplu, s-au construit așa-numitele modele de aproximare liniară, datorită cărora adecvarea necesară a fost realizat. Cu toate acestea, există un număr mare de situații în care neliniaritatea este semnificativă și trebuie luată în considerare în mod explicit.

Concepte de bază ale NLP:

* functie tinta;

* restricții;

* plan acceptabil;

* set de planuri valabile;

* model de programare neliniară;

* plan optim.

Trebuie să fii capabil să:

* determinați dacă o funcție este convexă;

* construiți funcția Lagrange a problemei NLP;

* verificati optimitatea solutiilor obtinute.

Modele NLP

În termeni generali, problema NLP este descrisă folosind următorul model programare neliniară:

operațiune de cercetare simulare matematică

unde x = (x1, x2, ..., xn) este vectorul variabilelor sarcinii.

Problema (1)--(3) se numește o problemă de programare neliniară în forma standard la maximum.

Se poate formula și problema minimă a NLP.

Vectorul х = (x1, х2, ..., хn) ale cărui componente хj satisfac constrângerile (2) și (3) se numește soluție admisibilă sau plan de probleme NLP admisibil.

Setul tuturor planurilor admisibile se numește setul planurilor admisibile.

O soluție fezabilă a problemei NLP, pe care funcția obiectiv (1) își atinge valoarea maximă, se numește soluția optimă a problemei NLP.

Posibila locație a valorii maxime a funcției F(x) în prezența constrângerilor (2) și (3) se determină după cum urmează principiu general. Valoarea maximă a lui F(x), dacă există, poate fi atinsă în unul sau mai multe puncte, care pot aparține următoarelor mulțimi:

Un punct interior al setului de modele admisibile la care toate derivatele parțiale primare

Punctul limită al setului de planuri fezabile);

Un punct din multimea planurilor admisibile la care functia F(x) este nediferentiabila).

Spre deosebire de problemele de programare liniară, dintre care oricare poate fi rezolvată prin metoda simplex, nu există unul sau mai mulți algoritmi care să fie eficienți pentru rezolvarea oricăror probleme neliniare. Un algoritm poate fi extrem de eficient pentru un tip de problemă și fără succes pentru un alt tip de problemă.

Eficiența algoritmului poate depinde chiar în mod semnificativ de enunțul problemei, de exemplu, de schimbarea scării de măsurare a anumitor variabile. Prin urmare, algoritmi sunt dezvoltați pentru fiecare clasă (tip) de probleme. Programele axate pe rezolvarea unei anumite clase de probleme, de regulă, nu garantează corectitudinea rezolvării oricăror probleme din această clasă și se recomandă verificarea optimității soluției în fiecare caz specific.

În aplicațiile economice, sunt luate în considerare următoarele clase de probleme NLP.

Figura prezintă o clasificare a problemelor și metodelor de programare neliniară.

Desen. Clasificarea problemelor și metodelor de programare neliniară

Cele mai multe dintre metodele existente în programarea neliniară pot fi împărțite în două clase mari:

1. Metode directe - metode de rezolvare directă a problemei inițiale. Metodele directe generează o succesiune de puncte - soluții care satisfac constrângerile care asigură o scădere monotonă a funcției obiectiv.

2. Dezavantaj: Este dificil de obținut proprietatea de convergență globală.

3. Probleme cu restricții sub formă de egalități.

4. Metoda de modificare a variabilelor (MW)

5. Metode duale – metode care folosesc conceptul de dualitate. În acest caz, este ușor să obțineți convergența globală.

6. Dezavantaj: nu dau o soluție problemei inițiale în timpul rezolvării - este realizabilă doar la sfârșitul procesului iterativ.

o Metoda multiplicatorului Lagrange (MLM)

o Metode de penalizare

o Metoda multiplicatorului

o Metode de liniarizare pentru probleme de optimizare condiționată

o Algoritmul Frank-Wulf

o Metoda indicațiilor admisibile Seutendijk

o Metoda gradientului condiționat

o Metoda de proiectare a gradientului

o Programare separabilă.

o Programare pătratică

1. Optimizarea unei funcții neliniare cu restricții privind nenegativitatea valorilor variabilelor:

unde x = (x1, x2,..., xn) este vectorul variabilelor sarcinii.

Fie F(x) o funcție derivabilă.

Condiții necesare pentru ca maximul funcției F(x) să fie atins în punctul x0:

Înseamnă că:

Dacă F(x) este o funcție concavă (convexă pentru problema de minimizare), atunci și aceste condiții sunt suficiente.

O funcție F(x) cu valori numerice, definită pe o mulțime convexă de puncte K, se numește concavă dacă pentru orice pereche de puncte x1, x2 și pentru toate numerele l, 0 Ј l Ј 1, inegalitatea

atunci funcția F(x) se numește convexă. Dacă inegalitățile stricte sunt valabile, atunci se spune că funcția este strict concavă sau strict convexă.

Această definiție a concavității (convexității) este potrivită pentru orice tip de funcție. În practică, însă, este dificil de aplicat.

Pentru o funcție de două ori diferențiabilă F(x), este valabil următorul criteriu. O funcție diferențiabilă F(x) este strict concavă în apropierea unui punct dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

acestea. dacă semnele acestor determinanţi se alternează în modul indicat.

Iată derivata parțială de ordinul doi, calculată în punctul x0.

O matrice n × n compusă din elemente se numește matrice Hesse. După valorile minorilor săi principali, se poate judeca dacă funcția este convexă sau concavă. Funcția F(x) este strict convexă într-o mică vecinătate a punctului x0 dacă toate principalele minore ale matricei Hesse sunt strict pozitive. Dacă inegalitățile nestricte (i) sunt valabile, atunci funcția este convexă în vecinătatea punctului x0. Dacă, în plus, principalele minore ale matricei Hesse nu depind de x, atunci funcția este peste tot (strict) convexă.

Modelele de programare pătratică aferente acestui tip sunt destul de frecvente, în care funcția obiectiv F(x) este o funcție pătratică a variabilelor x1, x2, ..., xn. Există un număr mare de algoritmi pentru rezolvarea problemelor de acest tip, în care funcția F(x) este concavă (pentru probleme de minimizare este convexă).

2. Modele de programare convexă. Astfel de modele includ probleme NLP (1)--(3), în care F(x) este o funcție concavă (convexă), iar gi(x) sunt funcții convexe. În aceste condiții, maximul (minimul) local este și el global.

Fie F(x) și gi(x), i= 1,...,m, funcții diferențiabile.

Condiții necesare și suficiente pentru optimitatea soluției - îndeplinirea condițiilor Kuhn - Tucker.

Luați în considerare problema NLP (1)--(3) și funcția Lagrange

Condițiile Kuhn-Tucker pentru optimitatea soluției x0 pentru problema de maximizare F(x) au forma

unde este derivata parțială a funcției Lagrange față de variabila xj pentru x = x0 și l = l0. Fie valoarea maximă a lui F(x) F(x0) = F0. Numerele sunt legate de F0 prin următoarele relații:

Din aceste relații se poate observa că numerele caracterizează răspunsul valorii lui F0 la o modificare a valorii bi-ului corespunzător. De exemplu, dacă< 0, то при уменьшении bi (в пределах устойчивости) значение F0 увеличится, а = 0 указывает на несущественность соответствующего ограничения gi(х) Ј bi, которое может быть без ущерба для оптимального решения из системы ограничений исключено.

3. Programare separabilă. Un caz special de programare convexă cu condiția ca F(x) și toate gi(x) să fie funcții separabile, de exemplu.

Problemele de acest tip sunt reduse la probleme de programare liniară.

4. Programare fracționară-Neliniară. Maximizați (minimizați) o funcție

F(x) = F1(x)/F2(x).

În cazul special când numărătorul și numitorul sunt funcții liniare (așa-numita problemă de programare fracțională-liniară), problema se reduce la una liniară.

5. Programare neconvexă. Funcția F(x) și (sau) orice gi(x) nu sunt convexe. Metode de încredere pentru rezolvarea problemelor de acest tip nu există încă (3, pp. 74-77)

Ca exemplu, luați în considerare un model neliniar de alocare optimă a resurselor:

Descrierea sarcinii de alocare a resurselor

Problema alocării resurselor este luată în considerare pentru n întreprinderi. Centrul le gestionează întreprinderile industriale producând același tip de produs. Se notează cu Pi volumul produselor fabricate de întreprindere i, i=1,. ..,n. Rezultatul funcționării centrului este determinat de rezultatele funcționării producătorilor individuali, deoarece Centrul în sine nu produce produse.

Presupunem că valoarea produselor produse i-a întreprindere, este determinată de volumul fondurilor Fi și de numărul forta de munca Li, acordul funcției de producție Cobb-Douglas:

Unde i=1,...,n (4)

În expresia (4) di şi ki sunt caracteristicile întreprinderii i (i=1,.. .,n) îndeplinind condiţiile: di > 0 , i=1,...,n.

Să fie tu pariul salariile la întreprinderea i. Apoi, ponderea venitului întreprinderii i în profitul total al asociației se determină după cum urmează:

Gi=ci*Pi-wi*Li , i=1,. . .,n.

Dacă valoarea fondurilor întreprinderii este fixă, atunci volumul producției Pi este determinat în mod unic de cantitatea de muncă.

Centrul influențează activitatea întreprinderilor prin distribuirea unei resurse suplimentare, care este complet la dispoziția sa. Dacă întreprinderea i primește o resursă suplimentară în sumă Vi, atunci va putea produce produse în cantitate

Sarcina centrului este de a distribui resursa B de care dispune, adică de a determina valorile optime ale valorilor Vi, i =1,...,n, care asigură profitul total maxim al asociației. ca un intreg, per total.

Forma matematică a modelului

În această problemă, presupunem că se utilizează o schemă de planificare centrală, în cadrul căreia centrul calculează distributie optima resurse, valori optime ale forței de muncă pentru parametrii modelului dați. Mai exact, centrul schimbă Vi și Li, i = 1,...,n, din condițiile:

z = max (G1 + G2 + ,..., + Gn) (6)

Vi, Vimin, Li 0,i=1,...,n (7)

Analiza de sensibilitate a modelului ca modalitate de restabilire a echilibrului financiar.

Baza pentru menținerea și restabilirea echilibrului financiar al întreprinderii și reducerea nivelului de risc este analiza de sensibilitate a modelului propus. Analiza de sensibilitate constă în următorii pași:

1. Selectarea unui indicator cheie, de ex. un astfel de parametru în raport cu care se calculează sensibilitatea proiectului (cel mai adesea este valoarea actuală netă și rata internă de rentabilitate).

2. Alegerea factorilor care afectează acești indicatori.

3. Calculul valorilor indicatori cheieîn diferite etape de implementare a proiectului (căutare, proiectare, construcție, exploatare).

Cu cât sensibilitatea indicatorilor la factorii de mediu este mai mare, cu atât proiectul este mai riscant. Pentru fiecare indicator, se determină sensibilitatea fiecărui moment sau interval de timp. Eficacitatea proiectului este determinată.

Adesea, în timpul analizei de sensibilitate, se determină pragul de rentabilitate al proiectului, i.e. se determină volumul producţiei la care întreprinderea părăseşte zona de pierdere.

Analiza de sensibilitate a proiectului permite specialiștilor să ia în considerare riscul și incertitudinea. De exemplu, dacă prețul unui produs este critic, atunci este posibil să se întărească programul de marketing sau să se reducă costul proiectului. Dacă volumul producției se dovedește a fi critic, atunci este necesar să se îmbunătățească abilitățile lucrătorilor, să se acorde atenție pregătirii personalului, managerilor și altor factori pentru a crește productivitatea.

Dezavantajele metodei de analiză a sensibilității:

1. Metoda nu este concepută pentru toate circumstanțele aleatorii și posibile.

2. Metoda nu specifică probabilitatea implementării proiectelor alternative.

Analiza de sensibilitate a soluției optime

Analiza de sensibilitate se realizează după obținerea soluției optime a problemei de programare liniară (LP). Scopul său este de a determina dacă modificarea coeficienților problemei inițiale va schimba soluția optimă curentă și, dacă da, cum să găsiți eficient o nouă soluție optimă (dacă aceasta există).

În cazul general, o modificare a coeficienților problemei inițiale poate duce la una dintre următoarele patru situații.

1. Soluția de bază actuală rămâne neschimbată.

2. Soluția actuală devine invalidă.

3. Soluția actuală devine suboptimă.

4. Soluția actuală devine suboptimă și invalidă.

În a doua situație, metoda dual simplex poate fi folosită pentru a restabili admisibilitatea soluției. În a treia situație, folosim metoda simplex directă pentru a obține o nouă soluție optimă. În al patrulea, pentru a obține o nouă soluție optimă și fezabilă, ar trebui să folosiți atât metodele simplex directe, cât și cele duale.

Bibliografie

1. Manual „Cercetarea operațiunilor în economie” pentru universități, ediția a III-a, revăzută și completată, ed. N.Sh.Kremera, M.: Yurayt, 2013.

2. T.V. Alesinskaya Fundamentele logisticii. Probleme generale management logistic”.Ghid de studiu. Taganrog: Editura adevărului, 2005.

3. Afanasiev M.Yu., Suvorov B.P. Cercetare operațională în economie: modele, sarcini, soluții. Manual, M, Infra-M, 2003

4. Phillips D., Garcia-Diaz A. Metode de analiză a rețelei. -M.: Mir, 1984.

5. Greshilov A.A. Cum să iei cea mai bună decizie în lumea reală. - M.: Radio și comunicare, 1991.

6. Popov Yu.D. Programare liniară și neliniară. Tutorial. - Kiev, 1988.

7. Zaichenko Yu.P. Cercetare operațională. Manual pentru studenți. - Kiev: școala Vishcha. Editura Head, 1979

8. Taha H. Introducere în cercetarea operațională: în 2 cărți. - M.: Mir, 1985.

9. Akof R., Sasieni M. Fundamentele cercetării operaționale. - M.: Mir, 1997.

10. Akulich I.L. Programare matematică în exemple și sarcini. - M.: Liceu, 1986.

11. Danko. Matematică superioară în exemple și sarcini.

12. Alekseev V. M., Goleev V. M., Tikhomirov V. M. Culegere de probleme de optimizare: Teorie, exemple, probleme. M., Nauka, 1984.

13. G. N. Berman, Culegere de probleme în cursul de analiză matematică. M., Nauka, 1985.

14. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Algebră liniară. M., Nauka, 1983.

15. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Fundamentele analizei matematice. M., Nauka, Ch.1,2, 1980.

16. Kletenik D.V. Culegere de probleme de geometrie analitică. M., Nauka, 1984.

17. Kudryavtsev L.D. Curs de analiză matematică. M., Mai sus. scoala, vol. 1-3, 1988.

18. L. D. Kudryavtsev.Un scurt curs de analiză matematică. M., Nauka, 1989.

19. Kudryavtsev L.D., Kutasov A..D., Cekhlov V.I., Shabunin M.I. Culegere de probleme în analiza matematică. Limită. Continuitate. Diferențiabilitate. M., Nauka, 1984.

20. Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. F. Matematică superioară pentru economiști. M., Bănci și burse de valori, UNITI, 1998.

21. Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. Manual pentru universități. M., Mai sus. scoala, 1999.

22. Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Fundamentele statisticii cu elemente de teoria probabilităților pentru economiști. Ghid pentru rezolvarea problemelor. Rostov n / D., Phoenix., 1999.

23. Danko P.E. Matematică superioară în exerciții și sarcini. Partea 2. M., Mai sus. scoala, 1997.

24. Chistiakov V.P. Curs de probabilitate. M., Nauka., 1987.

25. B. A. Sevastyanov, Curs de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. M., Nauka., 1982.

26. Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P., Zubkov A.M. Culegere de probleme în teoria probabilității. M., Nauka., 1980.

27. Wentzel E.S. Cercetare operațională. Sarcini. Principii. Metodologie, 1980.

28. Gorelik V.A., Ushakov I.A. Cercetare operațională. - M.: Mashinostroenie, 1986.

29. Cercetare operațională / Editat de M.A. Voitenko și N.Sh. Kremera.-M.: Educația economică, 1992.

30. Karasev A.I., Aksyutin Z.M., Savelyeva T.I. Metode și modele matematice în planificare M.: Economie, 1987.

31. Cercetare operațională / N. N. Pisaruk. Minsk: BGU, 2013.272 p.

Găzduit pe Allbest.ru

...

Documente similare

Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară. Rezolvarea problemelor de programare liniară prin metoda simplex. Posibilități de utilizare practică a programării matematice și a metodelor economico-matematice în rezolvarea problemelor economice.

lucrare de termen, adăugată 10.02.2014

Conceptul și tipurile de modele. Etapele construirii unui model matematic. Fundamentele modelării matematice a relației variabilelor economice. Determinarea parametrilor unei ecuații de regresie liniară cu un singur factor. Metode de optimizare a matematicii în economie.

rezumat, adăugat la 02.11.2011

Studiul aplicațiilor economice ale disciplinelor matematice pentru rezolvarea problemelor economice: utilizarea modelelor matematice în economie și management. Exemple de modele de programare liniară și dinamică ca instrument de modelare economică.

lucrare de termen, adăugată 21.12.2010

Concepte de bază ale algebrei liniare și analizei convexe utilizate în teoria programării matematice. Caracteristicile metodelor grafice de rezolvare a unei probleme de programare liniară, esența interpretării lor geometrice și etapele principale.

lucrare de termen, adăugată 17.02.2010

Formalizarea matematică a problemei de optimizare. Interpretarea geometrică a unei probleme de programare liniară standard, planificarea vânzărilor. Esența și algoritmul metodei simplex. Enunțarea problemei de transport, succesiunea soluției.

tutorial, adăugat 10/07/2014

Fundamentele teoretice ale metodelor economice și matematice. Etapele luării deciziilor. Clasificarea problemelor de optimizare. Probleme de programare liniară, neliniară, convexă, pătratică, întregă, parametrică, dinamică și stocastică.

lucrare de termen, adăugată 05.07.2013

Formularea generală a problemei programării liniare (LP). Reducerea problemei LP la forma standard. Teoreme de dualitate și utilizarea lor în probleme LP. Problema transportului și rezolvarea acesteia prin metoda potențială. Interpolarea funcţiilor tabelului.

lucrare de termen, adăugată 31.03.2014

Scopul lucrării: a studia și a învăța cum să pună în practică simplexul - o metodă de rezolvare a problemelor directe și duale ale programării liniare. Formularea matematică a problemei programării liniare. Forma generală probleme de programare liniară.

rezumat, adăugat 28.12.2008

Model de programare dinamică. Principiul optimității și ecuația Bellman. Descrierea procesului de modelare și construire a unei scheme de calcul pentru programarea dinamică. Problema minimizării costurilor de construcție și funcționare a întreprinderilor.

teză, adăugată 08.06.2013

Abordări de bază ale modelării matematice a sistemelor, utilizarea modelelor de simulare sau euristice sistem economic. Utilizarea unei metode grafice pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară pentru a optimiza un program de producție.

Privat instituție educațională studii profesionale superioare

„Institutul Kursk de Management, Economie și Afaceri”

Programul de lucru al disciplinei

Cercetare operațională în economie

Specialitatea: 08.00.05 „Economia și managementul economiei naționale

(pe ramuri și domenii de activitate)»

K. fizice. mat..n.,

Conferențiar, profesor MEBIK

Kursk - 2011

NOTĂ EXPLICATIVĂ

La program de lucru curs „Cercetarea operațiunilor în economie”

Programul disciplinei „Cercetarea operațiunilor în economie” este repartizat blocului de discipline opționale din programul de învățământ profesional principal al postuniversitarului. învăţământul profesional specialitatea 08.00.05 - Economia si managementul economiei nationale.

Cercetarea operațională în economie este o disciplină complexă care se ocupă cu construcția, dezvoltarea și aplicarea modelelor matematice pentru luarea deciziilor optime. În prezent, cercetarea operațională este una dintre ramurile cele mai intens dezvoltate ale matematicii aplicate, care are numeroase aplicații. Dezvoltarea cercetării operaționale este strâns legată de progresul științific și tehnologicși complicarea tehnologiei, cu o creștere semnificativă a dimensiunii activităților desfășurate în diverse sfere ale activității umane, cu o creștere disproporționată a costului resurselor materiale și de timp pentru implementarea acestora; odată cu introducerea pe scară largă a tehnologiei informatice și a metodelor matematice în domeniul managementului.

În prezent, metodele de cercetare operațională sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea unei game largi de probleme practice, de la planificarea pe termen lung a dezvoltărilor științifice până la prognozarea sectorului serviciilor.

Scopul cursului„Cercetare operațională în economie”: pentru a ajuta studentul postuniversitar să stăpânească metodele de cercetare operațională, să-l doteze cu cunoștințe, abilități și abilități care îi permit să stabilească o legătură între cercetarea matematică riguroasă, pe de o parte, și luarea deciziilor practice. probleme, pe de alta.

Obiectivele cursului„Cercetarea operațiunilor în economie”:

promovează înțelegerea ideilor de bază, conceptelor și metodelor de cercetare operațională;

să predea crearea, analiza și utilizarea modelelor matematice ale sarcinilor de cercetare operațională pentru a prezice și optimiza procesele asociate cu diverse domenii ale activității umane;

să demonstreze aplicații practice ale cercetării operaționale în știință, producție, management, servicii, construcții etc.

Pentru a studia cu succes cursul „Cercetarea operațiilor în economie”, trebuie să cunoașteți elementele de bază ale algebrei superioare, geometriei analitice și analizei matematice.

Ca urmare a studierii disciplinei „Cercetarea operațiunilor în economie”

studentul absolvent ar trebui să știe:

elementele de bază ale programării liniare;

metode de rezolvare a problemelor de programare cu numere întregi;

metode de rezolvare a problemelor de transport”;

fundamentele teoriei programării neliniare;

fundamentele programării dinamice;

elemente ale teoriei programării stocastice;

elemente de teoria jocurilor;

elementele fundamentale ale teoriei cozilor de aşteptare;

studentul absolvent ar trebui să fie capabil:

construirea modelelor matematice ale problemelor de programare liniară, întregă, neliniară, dinamică;

rezolvarea problemelor de programare liniară;

rezolva probleme de programare cu numere întregi;

rezolva probleme de transport;

rezolva probleme de programare neliniară;

rezolvarea problemelor de optimizare în mai multe etape prin programare dinamică;

găsiți soluții pentru jocurile matriceale.

PLANIFICAREA CURSULUI TEMATIC

„Cercetarea operațiunilor în economie”

Învățământ cu normă întreagă

	Numele secțiunilor, subiectelor	Total ore în travaliu doam- oase	inclusiv sălile de spectacol	de sine- permanent- munca corpului
Total	prelegeri	seminarii, practice educație fizică	laborator- clase spinoase

	Introducere în cercetarea operațională. Fundamentele teoriei clasice de optimizare







Total
Forma de control final	examen

REZUMAT

curs „Cercetarea operațiunilor în economie”

Tema 1. Introducere în cercetarea operațională. Fundamentele teoriei clasice de optimizare

Conceptul de operare. Scopul și obiectivele cercetării operaționale. Exemple de sarcini în cercetarea operațională. Locul disciplinei de cercetare operațională între disciplinele conexe. Introducere în teoria optimizării clasice. Concepte și definiții de bază: problema de optimizare, tipuri de criterii și proprietăți ale acestora, soluție optimă. Enunțul problemei de optimizare. Tipuri de soluții optime. Soluție grafică. Conceptul de gradient și interpretarea lui geometrică. Setul de soluții admisibile. Etapele cercetării operaționale. Clasificarea metodelor de cercetare operațională. Enunțuri tipice ale problemelor, interpretarea lor geometrică și metodele de rezolvare.

Subiectul 2 Optimizare unidimensională necondiționată

Analiza analitică și grafică a funcției. Condiții necesare și suficiente pentru un extremum. Procesul de găsire numerică a soluției optime. aproximare initiala. Controlul preciziei. Clasificarea metodelor numerice. Metode de căutare de estimare punctuală: metoda pasului variabil invers, aproximarea pătratică, metoda Powell. Metode de reducere succesivă a segmentului de incertitudine: căutare uniformă, metoda de localizare a optimului, bisectie, secțiune de aur, Fibonacci. Analiza comparativa metode unidimensionale de îngustare a intervalului.

Tema 3. Optimizare multivariată necondiționată

Analiza analitică și grafică a funcției. Ideea generală a metodelor numerice. Metode de evaluare a acurateții soluției. Clasificarea metodelor numerice. Metode de căutare de tip enumerare: scanare cu pas uniform și variabil. Metode bazate pe optimizarea unidimensională pas cu pas: schimbarea secvențială a variabilelor, Gauss - Seidel, Hook-Jeeves. Algoritmi simplex: metoda simplex convențională, metoda Nelder-Mead. Metode de căutare aleatoare: căutare aleatoare nedirecțională, metoda direcțiilor aleatorii. Metode de optimizare multidimensională folosind derivate: panta, cea mai abruptă coborâre (ascensiune abruptă). Analiza comparativă a metodelor de optimizare multidimensională.

Tema 4. Modele și metode de programare liniară

Enunțul și caracteristicile problemelor de optimizare condiționată. Clasificarea și caracteristicile metodelor de soluție. Programare liniară. Exemple de construire a modelelor de optimizare liniară: amestec optim, optimizarea planului de producție, alocarea resurselor, încărcarea echipamentelor etc. Metoda de interpretare geometrică și soluție grafică. Analiza grafică a stabilității soluției unei probleme de programare liniară. Forma canonică a problemei. Metode de rezolvare a problemelor de programare liniară. Baza teoretica metoda simplex și algoritm pentru implementarea acestuia. Enunțarea și rezolvarea problemei duale a programării liniare. Metoda dual simplex.

Subiectul 5. Probleme speciale de programare liniară

Problemă cu numere întregi de programare liniară. Metode de tăiere. Metoda Gomory. Conceptul metodei ramurilor și limitelor. Enunţ şi metode de rezolvare a problemei transportului. Model închis și deschis al sarcinii de transport. Problema sarcinilor și alegerea căii celei mai scurte. Problema vânzătorului ambulant. Elemente de teoria jocurilor. Concepte de bază, clasificare și descriere a jocurilor. Jocuri cu matrice și noțiunea de punct de șa. Strategii mixte. Rezolvarea jocurilor matriceale prin metode de programare liniara si metoda grafica.

Tema 6. Optimizare condiționată. Programare neliniară

Enunțarea problemei și analiza acesteia. mulţime convexă. Funcții convexe și concave. Problemă de optimizare convexă. Clasificarea problemelor și metodelor de programare neliniară. Enunțul și interpretarea geometrică a problemei. Metoda de rezolvare grafică pentru o funcție a două variabile. Metode clasice de rezolvare cu constrângeri de tip egalitate: metoda eliminării, metoda multiplicatorului Lagrange. Metode de rezolvare neclasice cu constrângeri de tip inegalitate. Condiții Kuhn-Tucker necesare și suficiente pentru un extremum condiționat. Problemă de optimizare pătratică convexă. Enunţ şi metode de rezolvare a problemei programării pătratice. Metode de căutare pentru rezolvarea problemelor de programare neliniară: aproximare liniară, toleranță de „alunecare”, direcții posibile, funcții de penalizare și barieră.

Tema 7. Programare dinamică

Schema generală a metodelor de programare dinamică. Exemple de probleme de programare dinamică. Principiul optimității și ecuația Bellman. Problema repartizării fondurilor între întreprinderi. Schema generala de aplicare a metodei programarii dinamice. Sarcina de a înlocui echipamentul.

Tema 8. Modele speciale de cercetare operațională

Modele de planificare și management al rețelei. Elemente de bază ale modelului de rețea. Ordinea și regulile de construire a graficelor de rețea. Comandarea si optimizarea diagramei de retea. Modele de gestionare a stocurilor. Modele deterministe statice. Gestionarea stocurilor cu cerere și ofertă aleatoare.

EXEMPLU DE LISTĂ DE ÎNTREBĂRI PENTRU OFFSET

la cursul „Cercetarea operaţiunilor în economie

Introducere în cercetarea operațională.
Fundamentele teoriei clasice de optimizare

1. Exemple de enunţuri de probleme pentru cercetarea operaţională în managementul economic

2. Clasificare generala metode numerice de optimizare clasică necondiţionată.

3. Enunțuri de probleme de optimizare necondiționată și condiționată.

4. Principalele etape ale cercetării operaționale.

5. Conceptul de problemă de programare convexă. Condiții necesare și suficiente pentru un extremum.

Optimizare unidimensională necondiționată

6. Condiții necesare și suficiente pentru extremul unei funcții a unei variabile.

7. Clasificarea și ideile principale ale metodelor numerice de optimizare unidimensională.

8. Analiza comparativă a metodelor numerice de optimizare unidimensională.

Optimizare multivariată necondiționată

9. Clasificarea metodelor numerice de optimizare multidimensională. Metode de scanare și localizare a optimului.

10. Metode de căutare în coordonate a extremului unei funcții de mai multe variabile.

11. Metode simplex pentru găsirea extremului unei funcții a mai multor variabile.

12. Metode de optimizare a gradientului.

13. Metode de căutare aleatorie a unui extremum.

14. Metode de direcții aleatorii

15. Analiza comparativă a metodelor numerice de optimizare multidimensională.

Optimizare conditionata. Programare neliniară

16. Enunțarea problemei și clasificarea metodelor de optimizare condiționată statică.

17. Enunțarea problemei programării neliniare. Metode clasice de rezolvare pentru un sistem de constrângeri sub formă de egalități.

18. Metode de căutare pentru rezolvarea problemei programării neliniare. Metode de penalizare și funcții de barieră.

19. Enunţ şi metode de rezolvare a problemei programării pătratice.

Modele și metode de programare liniară

20. Enunţ şi metode de rezolvare a problemei programării liniare. Interpretările sale geometrice și economice.

21. Forma canonică a unei probleme de programare liniară. Metoda simplex pentru rezolvarea acesteia.

22. Conceptul problemei duale a programării liniare. Declarație și interpretare economică.

Probleme speciale de programare liniară

23. Problemă cu numere întregi de programare liniară și metode de rezolvare a acesteia.

24. Problema transportului de programare liniara. Enunț și metode de soluție.

25. Teoria jocurilor. Concepte de bază, clasificare și descriere a jocurilor.

Programare dinamică

26. Enunţ şi metode de rezolvare a problemei programării dinamice.

27. Interpretari geometrice si economice ale problemei.

Modele de cercetare pentru operațiuni speciale

28. Modele de rețea de planificare și management.

29. Rezolvarea problemelor de rețea după diverse criterii

30. Modele de management al stocurilor într-un cadru determinist.

31. Modele de gestionare a stocurilor într-o formulare stocastică.

LITERATURĂ

la cursul „Cercetarea operațiunilor în economie”

Literatura principală

1. Metode și modele box pentru management. - Sankt Petersburg: Lan, 2007

2. Operațiuni de cercetare în economie: Manual pentru universități / Ed. . - M.: UNITI, 20 ani. - Gâtul Ministerului Apărării al Federației Ruse

3. Operațiuni puternice. Curs de curs. –M: Intuit, 2006

literatură suplimentară

1. Operațiuni Ventzel.- M .: Liceu, 2001.

2., operațiuni Zagoruiko: Proc. pentru universități / Ed. , Editura MSTU im. , 200 de ani.

3. Cercetarea operaţiunilor în economie /, ; Ed. prof..- M.: UNITI, 200c.

4. Metode Konyukhovsky de operațiuni de cercetare în economie.- Sankt Petersburg: Peter, 2000.-208 p.

5., Kostevich la rezolvarea problemelor în programarea matematică.- Mn.: Vysh. scoala, 2001.

6., optimizarea lui Letov în exemple și sarcini: Proc. indemnizatie.- M.: Mai mare. scoala, anii 200.

7. Programare Volotsenko. -M: Liceu, 1990

8. Taha H. Introducere în cercetarea operațională. –M: Mir, 1985

9. cercetarea operaţiilor în sarcini, algoritmi, programe. -M: Radio și comunicare, 1984

10., Shakhdinarov și modele de management al companiei. – Sankt Petersburg: Peter, 2001

CALENDAR ȘI PLANIFICARE TEMATICĂ

EXERCIȚII PRACTICE

la disciplina „Cercetarea operațiunilor în economie”

	Subiect sesiune practica
	Formulări tipice ale problemelor de optimizare, interpretarea lor geometrică și metodele de rezolvare. Tipuri de soluții optime. Soluție grafică. Conceptul de gradient și interpretarea lui geometrică. Setul de soluții admisibile. Etapele cercetării operaționale. Clasificarea metodelor de cercetare operațională.
	Clasificarea metodelor numerice. Metode de căutare de estimare punctuală: metoda pasului variabil invers, aproximarea pătratică, metoda Powell. Metode de reducere succesivă a segmentului de incertitudine: căutare uniformă, metoda de localizare a optimului, bisectie, secțiune de aur, Fibonacci.
	Clasificarea metodelor numerice. Metode de căutare de tip enumerare: scanare cu pas uniform și variabil. Metode bazate pe optimizarea unidimensională pas cu pas: schimbarea secvențială a variabilelor, Gauss - Seidel, Hook-Jeeves. Algoritmi simplex: metoda simplex convențională, metoda Nelder-Mead. Metode de căutare aleatoare: căutare aleatoare nedirecțională, metoda direcțiilor aleatorii. Metode de optimizare multidimensională folosind derivate: panta, cea mai abruptă coborâre (ascensiune abruptă).
	Exemple de construire a modelelor de optimizare liniară: amestec optim, optimizarea planului de producție, alocarea resurselor, încărcarea echipamentelor etc. Metoda de interpretare geometrică și soluție grafică. Analiza grafică a stabilității soluției unei probleme de programare liniară.
	Enunţ şi metode de rezolvare a problemei transportului. Model închis și deschis al sarcinii de transport. Problema sarcinilor și alegerea căii celei mai scurte. Problema vânzătorului ambulant.
	Concepte de bază, clasificare și descriere a jocurilor. Jocuri cu matrice și noțiunea de punct de șa. Strategii mixte. Rezolvarea jocurilor matriceale prin metode de programare liniara si metoda grafica.
	Enunț și interpretare geometrică a problemei programării neliniare. Metoda de rezolvare grafică pentru o funcție a două variabile. Metode clasice de rezolvare cu constrângeri de tip egalitate: metoda eliminării, metoda multiplicatorului Lagrange. Metode de rezolvare neclasice cu constrângeri de tip inegalitate. Condiții Kuhn-Tucker necesare și suficiente pentru un extremum condiționat.
	Exemple de probleme de programare dinamică. Principiul optimității și ecuația Bellman. Problema repartizării fondurilor între întreprinderi. Schema generala de aplicare a metodei programarii dinamice. Sarcina de a înlocui echipamentul.
	Ordinea și regulile de construire a graficelor de rețea. Comandarea si optimizarea diagramei de retea. Modele de gestionare a stocurilor. Modele deterministe statice. Gestionarea stocurilor cu cerere și ofertă aleatoare.

ultimele articole

2023-03-01 12:33:32
Poveste. Revoltă de sare. Revolta de sare: ce s-a întâmplat cu adevărat Care sunt cauzele revoltei de sare
2023-03-01 12:33:32
Cum se completează un raport al fluxului de numerar Exemplu al situației fluxului de numerar
2023-03-01 12:33:32
Numărul de locuitori din Japonia. Populația Japoniei. Politica de promovare a fertilităţii

Articole populare

Alegerea editorilor

2023-02-18 05:11:51

GTA Online Heists — GTA Online
Banii din GTA Online sunt cea mai importantă și mai căutată resursă printre jucători. Este moneda care vă permite să cumpărați cele mai bune case, să transportați, să creați...
2023-02-07 12:09:37

Factură și factură cu un singur document: Exemplu de program de generare a facturii și factură
O factură în Rusia este un document fiscal de forma stabilită, pe care vânzătorul sau antreprenorul este obligat să îl întocmească. Pe baza celor primite...
2023-02-07 12:09:37

Programe pentru afaceri Program pentru a face o factură
O factură în Rusia este un document fiscal de forma stabilită, pe care vânzătorul sau antreprenorul este obligat să îl întocmească. Pe baza celor primite...
2023-02-07 12:09:37

Notă privind măsurile pentru utilizarea în siguranță a cardurilor bancare Dispozitiv pentru stocarea codurilor PIN
Un card bancar din plastic rezolvă multe probleme asociate cu contabilitatea, stocarea și cheltuirea banilor. Când utilizați fondurile de pe card, trebuie să respectați...
2023-02-07 12:09:37

Programe de realizare a tronsoanelor de cale ferată
Vitaly Buchkin (consultant expert, doctor în științe tehnice, profesor) Când automatizarea managementului organizațional bazat pe utilizarea computerelor...