Randamentul obligațiunii folosind metoda interpolării liniare. Randamentul obligațiunilor

1.8. Randamentul intern al unei obligațiuni.

Structura pe termen a ratelor dobânzii.

Vom studia analiza investițiilor financiare în condiții de certitudine folosind exemplul valori mobiliare cu venit fix. Cel mai comun tip de astfel de titluri de valoare sunt obligațiunile.

Legătură este o obligație de a plăti sume de bani predeterminate în anumite momente în viitor. Principalii parametri ai unei obligațiuni sunt prețul nominal (valoarea nominală), data scadenței, mărimea și momentul plăților obligațiunii. Din momentul emiterii și până la scadență, obligațiunile sunt cumpărate și vândute la bursă. Prețul de piață al unei obligațiuni este stabilit pe baza cererii și ofertei și poate fi egal cu, deasupra sau sub par.

Vom lua în considerare obligațiunile în condiții de certitudine: emitentul nu poate apela obligațiunea înainte de data de scadență stabilită, plățile pentru obligațiune sunt stabilite la valori fixe în anumite momente de timp. În acest caz, se consideră garantată primirea veniturilor viitoare exact la ora specificată și în întregime. Se spune că astfel de obligațiuni nu au niciun risc de credit. Principalul factor de risc rămâne riscul ratei dobânzii– riscul modificării ratelor dobânzilor de pe piață.

Luați în considerare o legătură pentru care, prin t 1 , t 2 ,…, t n ani de la momentul actual în timp t= 0, unde 0< t 1 < t 2 <…< t n, promisiunea de a plăti sume de bani CU 1 , CU 2 ,…, CU n respectiv. Este evident că C i > 0, i = 1, 2,…, n. Lasă P – valoarea de piata obligațiuni în acest moment t= 0. Atunci este firesc să presupunem că P < CU 1 + CU 2 +…+ CU n. moment în timp t= 0 – acesta este momentul în care trebuie să investească în obligațiune sau momentul achiziționării obligațiunii. moment în timp t= t n când se efectuează ultima plată a obligațiunii se numește momentul răscumpărării obligațiunii, iar termenul T = t n(în ani) – perioada până la scadență. Investitorii sunt interesați în principal de doi indicatori: randamentul și prețul obligațiunii. Retur intern este cea mai importantă și cea mai utilizată măsură de evaluare a obligațiunilor. Cunoscut și ca randament până la maturitate.

Definiţie. Randamentul anual al obligațiunilor interne r– aceasta este rata anuală dobândă compusă, la care valoarea actuală a fluxului de plăți a obligațiunii este egală cu valoarea de piață a obligațiunii la momentul respectiv t= 0:

Aici, randamentul intern al unei obligațiuni este definit ca randamentul anual al fluxului de numerar CU 1 , CU 2 ,…,CU n, al cărui cost P(vezi paragraful 1.4).

În practica străină, există un acord de piață conform căruia dacă plățile pentru o obligațiune sunt plătite la intervale regulate m o dată pe an, atunci rata de rentabilitate internă nominală anuală se aplică pentru actualizarea termenilor fluxului de numerar j :

.

Proprietățile randamentului intern al unei obligațiuni.

1. Rata internă de rentabilitate a unei obligațiuni este egală cu rata dobânzii de pe piață pentru investițiile în instrumente financiare alternative cu același grad de risc. Sau, pe scurt, rata rentabilității interne a unei obligațiuni este egală cu randamentul instrumentelor comparabile.

2. Randamentul intern anual al unei obligațiuni este rata rentabilității pe care o primește un investitor dacă sunt îndeplinite două condiții:

1) investitorul deține obligațiunea până la scadență t= t n ;

2) toate plățile aferente obligațiunii sunt reinvestite la o rată egală cu randamentul intern al obligațiunii r la momentul cumpărării.

Să arătăm că dacă aceste condiții sunt îndeplinite, randamentul mediu anual al unei investiții într-o obligațiune este egal cu randamentul său intern. Vom lua în considerare achiziționarea unei obligațiuni, apoi păstrarea acesteia până la scadență și reinvestirea încasărilor ca tranzacție financiară (a se vedea paragraful 1.2). Timp de operare T = t n ani. Valoarea monetarăînceperea funcționării P(0) este prețul de cumpărare pe piață al obligațiunii Pîn acest moment t= 0. Conform (8.1), P =
. Valoarea monetară a datei de scadență a obligațiunii t= t n pentru investitor, dacă sunt îndeplinite condițiile 1), 2), aceasta este suma P(t n) =
. Conform definiției rentabilității unei tranzacții financiare (2.2):

P(t n) = P
,

Unde - randamentul mediu anual al investiției într-o obligațiune pentru o perioadă T = t n ani. Să substituim în această egalitate expresiile pentru PŞi P(t n):

=

.

De unde o luăm? r = .

Astfel, randamentul mediu anual al unei investiții într-o obligațiune este egal cu r, este vândut la data scadenței obligațiunii dacă sunt îndeplinite condițiile 1), 2). De aici și un alt nume pentru randamentul intern – randament până la maturitate. Dacă punctele 1) sau 2) nu sunt îndeplinite, atunci randamentul real primit de investitor poate fi mai mare sau mai mic decât randamentul intern al obligațiunii. Riscul cu care se confruntă un investitor atunci când cumpără o obligațiune este riscul ca ratele viitoare de reinvestire să fie mai mici decât rata internă de rentabilitate. Acest risc se numește risc de reinvestire sau risc de rată de reinvestire.

Randamentul intern al unei obligațiuni este utilizat pentru a evalua atractivitatea instrumentelor alternative de investiții. Toate celelalte lucruri fiind egale, cu cât randamentul până la scadență al obligațiunilor unei anumite emisiuni este mai mare, cu atât este mai atractiv.

Să luăm în considerare problema determinării randamentului intern al unei obligațiuni. Randamentul intern al unei obligațiuni este soluția ecuației (8.1). Conform teoremei 4.1, această ecuație, supusă condiției P < CU 1 + CU 2 +…+ CU n are o singură soluție pozitivă. Această soluție se găsește folosind metode aproximative. Una dintre ele este metoda interpolării liniare (descrisă în paragraful 1.4, exemplele 4.2, 4.4).

Exemplul 8.1. Determinați randamentul intern anual r obligațiuni, fluxul de plată pentru care este indicat în tabel:

Vom găsi valoarea aproximativă a randamentului intern al obligațiunii folosind metoda interpolării liniare. Conform definiției randamentului intern anual al unei obligațiuni

.

Este necesar să găsiți o soluție la ecuație F(r) = 0, unde

F(r) =
.

Din 948< 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F(0,07) = – 15,8396, F(0,08) = 1,4979, apoi randamentul intern necesar r (0,07; 0,08). Folosind formula (4.8) găsim prima aproximare

r l1 = 0,07 + .

În acest caz, valoarea funcției F(r l1) = 0,02567 > 0. Prin urmare, soluția r (0,07; 0,07914). Următorul pas al metodei dă

r l2 = 0,07 + .

Prin urmare putem presupune că r 0,07913 sau 7,913% exacte până la a treia zecimală.

Definiţie. Se spune că o obligațiune este pură reducere dacă obligațiunea face o singură plată.

Definiţie. Randamentul intern al unei obligațiuni cu discount pur, fără risc de credit, care are o dată de scadență t ani, se numește anual fără riscuri dobândă pentru investiții în t ani. Un alt nume este anual rata spot.

Lasă O– suma rambursabilă a unei obligațiuni cu discount pur, t ani - termen până la scadență, R– prețul de piață al obligațiunii în acest moment t = 0, r(t) – randamentul intern al obligațiunii. Apoi, conform definiției randamentului intern al unei obligațiuni,

.

(8.2)

– rata anuală a dobânzii fără risc pentru investițiile pe t ani.

Un exemplu de obligațiune pură cu discount care nu are risc de credit este obligațiunea de trezorerie a SUA cu cupon zero. Randamentele trezoreriei servesc drept punct de referință pentru evaluarea tuturor tipurilor de obligațiuni.

Să luăm în considerare cum puteți evalua orice obligațiune dacă există obligațiuni cu discount pur pe piață. Să existe o legătură pe piață ÎN fără risc de credit, prin care t 1 , t 2 ,…, t n ani promit să plătească sume de bani CU 1 , CU 2 ,…, CU n respectiv. Legătură ÎN poate fi evaluat considerându-l ca un portofoliu de obligațiuni cu discount pur ÎN 1 , ÎN 2 ,…, ÎN n cu scadenţe în t 1 , t 2 ,…, t n ani respectiv. Să presupunem că sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) sunt cunoscute ratele dobânzilor anuale fără risc r(t 1), r(t 2), …, r(t n) pentru investiții pe t 1 , t 2 ,…, t n ani socotiți din momentul în care t = 0;

2) obligațiuni cu discount pur ÎN 1 , ÎN 2 ,…, ÎN n pot fi achiziționate de pe piață în orice cantitate fără costuri de tranzacție. Atunci pentru aceste legături avem

,

i = 1, 2, …, n, Unde P i– prețul curent de piață al unei obligațiuni i- a-a specie, O i– suma rambursabilă a acestei obligațiuni, r(t i) este revenirea sa internă. Plată CU 1 din portofoliu este rambursat în obligațiuni ÎN 1, plata CU 2 – obligațiuni ÎN 2 etc., plata CU n– obligațiuni ÎN n. Apoi în servietă , i = 1, 2, …, n, obligațiuni de fiecare tip. Prin urmare, valoarea portofoliului în acest moment t= 0 este egal

.

Apoi valoarea de piață a obligațiunii ÎNîn acest moment t= 0 este

. (8.3)

Fiecare plată a obligațiunii ÎN actualizate individual la rata dobânzii fără risc corespunzătoare.

Definiţie. Set de rate anuale de dobândă fără risc r(t 1), r(t 2), …, r(t n) pentru investiții pe t 1 , t 2 ,…, t n ani socotiți din momentul în care t= 0, unde
, se numește structura pe termen a ratelor dobânzii.

Astfel, dacă se cunoaște structura pe termen a ratelor dobânzii, atunci valoarea unei obligațiuni care nu are risc de credit poate fi calculată folosind formula (8.3).

Definiţie. Graficul unei funcții r = r(t), Unde r(t) - rata anuală a dobânzii fără risc pentru investițiile pe t ani se numește curba randamentului (sau curba ratei spot).

Pe o piață reală, există întotdeauna doar un set finit de obligațiuni cu discount pur (de exemplu, nu există obligațiuni de trezorerie din SUA cu cupon zero cu scadențe mai mari de un an). Prin urmare, este imposibil să se construiască o curbă de randament bazată exclusiv pe observațiile pieței. În acest sens, se construiește o curbă teoretică a randamentului. Pentru a face acest lucru, folosind randamentele obligațiunilor cu discount pur existente efectiv, randamentele teoretice sunt calculate pentru diferite perioade de investiții. Există mai multe metode de obținere a valorilor teoretice ale randamentului. Unul dintre ei se numește „procedura bootstrap”. Să ne uităm la această metodă cu un exemplu.

Exemplul 8.2. Există pe piață obligațiuni de stat A, B, C, D, E, fluxuri de plată pentru care și prețuri la momentul respectiv t= 0 sunt indicate în tabel:

	Durata în ani

A și B sunt obligațiuni cu discount pur. Revenirile lor interne r(0,5) = 5,25% și r(1) = 6,3%, determinate prin formula (8.2), sunt ratele dobânzilor fără risc pentru investiții pe 0,5 ani și 1 an. Cunoscând aceste două rate, puteți calcula rata teoretică a dobânzii fără risc pentru o investiție timp de 1,5 ani utilizând obligațiunea C. Prețul obligațiunii C conform formulei (8.3) este

118,71 =
,

Unde r(0,5) = 0,0525, r(1) = 0,063. Apoi

118,71 =
.

De unde obținem rata dobânzii anuale fără risc teoretică pentru investiții pe 1,5 ani: r(1,5) = 6,9%. Această rată este rata pe care piața ar oferi-o pentru obligațiunile cu discount pur pe 1,5 ani, dacă astfel de titluri de valoare ar exista într-adevăr.

Cunoscând rata teoretică a dobânzii fără risc la 1,5 ani, putem calcula rata teoretică a dobânzii fără risc la doi ani folosind obligațiunea D:

Unde r(2) = 7,1% - rata teoretică a dobânzii fără risc la doi ani. Aplicând din nou procedura descrisă pentru obligațiunea E, determinăm rata teoretică a dobânzii fără risc la 2,5 ani: r(2,5) = 7,9 %.

Dobânzi fără riscuri r(0,5), r(1), r(1,5), r(2), r(2.5), construit folosind un astfel de proces, specifică structura pe termen a ratelor dobânzilor pe o gamă de 2,5 ani în raport cu momentul la care se referă prețurile obligațiunilor.

Cunoașterea structurii pe termene a ratelor dobânzii r(t 1), r(t 2), …, r(t n), putem construi o curbă de randament. Una dintre metodele de construire a unei curbe este interpolarea liniară. crede

,
, i = 1, 2, …, n – 1. (8.4)

LA
Curba de randament pentru structura termenilor obținută în Exemplul 8.2, folosind interpolarea liniară, are forma:

Folosind curba randamentului, puteți determina valoarea aproximativă a ratei dobânzii fără risc pentru investiții pentru orice perioadă de la t 1 la t n ani. De exemplu, din 1.25
, Asta

r(1,25) r(1)
= 0,066.

O altă modalitate de a construi o curbă de randament este interpolarea ( n– 1) – ordinea a-lea:

r(t)

+
(8.5)

…………………..

+
,

Unde t [t 1 , t n]. r(t Apoi n) – polinom de grad ( t– 1) relativ la variabilă t = t 1 , t 2 , …, t n. La r(t 1), r(t 2), …, r(t n valorile polinomului coincid cu

r(t) 0,00633 t 4 - 0,031 t 3 + 0,04442 t 2 - 0,00325 t) respectiv. Ecuația curbei de randament pentru structura termenilor obținută în Exemplul 8.2 este: t .

+ 0,0465, unde t Folosind curba rezultată, calculăm costul unei obligațiuni fără risc de credit, plăți asupra cărora în raport cu momentul

= 0 sunt indicate în tabel: t Valoarea de piață a acestei obligațiuni la momentul respectiv

P =
.

= 0 este, conform (8.3):

r(0,7) 0,00633(0,7) 4 - 0,031(0,7) 3 + 0,04442(0,7) 2 - 0,003250,7 + 0,0465 = 0,0569,

r(1,7) 0,00633(1,7) 4 - 0,031(1,7) 3 + 0,04442(1,7) 2 - 0,003251,7 + 0,0465 = 0,0699.

Valorile aproximative ale ratelor dobânzilor anuale fără risc pentru investiții pe 0,7 ani și, respectiv, 1,7 ani sunt egale:

P =
= 112,14.

Apoi valoarea de piață a acestei obligațiuni

Considerată „procedură de bootstrapping” pentru obținerea valorilor teoretice ale ratelor dobânzilor fără risc poate fi utilizată dacă există pe piață obligațiuni adecvate pentru această procedură. Să luăm în considerare o altă metodă de obținere a valorilor teoretice ale ratelor dobânzilor. r(t 1), r(t 2), …, r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii) pentru investiții pe t 1 , t 2 ,…, t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii k P ani, iar pe piață există o obligațiune fără risc de credit t 1 , t 2 ,…,t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii , t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii + 1 , …, t n, de-a lungul căruia prin CU 1 , CU 2 ,…,ani de plăți promise Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii , CU Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii +1 ,…,ani de plăți promise n CU r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii +1), r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii +2), …, r(t n respectiv. Valori aproximative ale ratelor dobânzilor fără risc t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii , t n) poate fi găsit folosind interpolarea liniară pe segmentul [ r(t n) = ]. Pentru aceasta se crede r. r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii Rata dobânzii fără risc

,

,

……………….. (8.6)

,

r(t n) = r,

Unde t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii + 1 , t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii + 2 , …, t n – 1 [t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii , t n ].

) este cunoscut. Apoi Pîn acest moment t Din moment ce prețul obligațiunii

= 0 este cunoscut, atunci r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii + 1), r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii + 2), …, r(t nÎnlocuind în schimb această expresie r. Soluția acestei ecuații se găsește prin interpolare liniară. știind r, folosind formulele (8.6) găsim rate ale dobânzii fără risc r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii +1), r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii + 2), …, r(t n). Astfel, avem structura pe termen a ratelor dobânzilor r(t 1), r(t 2), …,r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii), r(t Să presupunem că este cunoscută structura pe termen a ratelor dobânzii +1),…, r(t n) De către t n– interval de vară în raport cu momentul t= 0.

Exemplul 8.3. Utilizând interpolarea liniară, construiți o curbă de randament dacă sunt cunoscute ratele dobânzilor anuale fără risc:

r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1,5) = 0,08

și a primit o obligațiune (fără risc de credit) cu următorul flux de plată:

Ecuația (8.7) pentru această legătură este:

Folosim interpolarea liniară pe segment. Deoarece r(1,5) = 0,08, r(2,5) = r, Asta r(2)0,08
+ r
= 0,04 + 0,5r. Atunci este suficient să rezolvi ecuația

86,01581 =
.

Rezolvând această ecuație prin interpolare liniară, găsim r 0,10489.

Prin urmare, r(2) 0,04 + 0,5r = 0,09245, r(2,5)0,10489. Astfel, conform celor date r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1,5) = 0,08 și calculat

r (2) 0,092; r(2,5)Folosind valori de 0,105 ale ratelor dobânzilor fără risc, putem construi o curbă de randament:

Curba randamentului obtinuta pentru obligatiunile care nu prezinta risc de credit este folosita si pentru evaluarea instrumentelor riscante de pe piata. Ratele dobânzilor teoretice fără risc plus o primă de risc sunt utilizate pentru a evalua toate tipurile de obligațiuni. În plus, forma curbei randamentelor este văzută ca reflectând direcția probabilă a viitoarelor mișcări ale ratei dobânzii. piata monetara. În fig. Figura 1.8.3 prezintă patru forme principale ale curbei randamentului: 1 – curba normală (în creștere); 2 – curbă inversă (descrescătoare); 3 – curba „cocoșată”; 4 – curbă plată (orizontală).

Există două teorii principale care explică forma curbelor de randament - teoria așteptărilor și teoria segmentării pieței. O curbă în creștere înseamnă cel mai adesea o creștere așteptată a ratei inflației. O curbă descrescătoare indică cel mai adesea o scădere așteptată a ratei inflației. O curbă orizontală a randamentului înseamnă că ratele dobânzilor anuale fără risc pentru investiții sunt aceleași pentru toate scadențele. Curba orizontală este utilizată pentru a studia o serie dintre cele mai importante concepte din teoria investițiilor financiare cu venit fix. De exemplu, cum ar fi durata și indicatorul de convexitate al unei obligațiuni, costul investiției într-o obligațiune, imunizarea unui portofoliu de obligațiuni.

Prețul unei obligațiuni care se vinde cu reducere, supus unui randament necesar constant, crește. Procesul invers are loc cu prețul unei obligațiuni care se vinde cu o primă. Prețul ambelor obligațiuni la scadență este egal cu valoarea nominală. Diferențele simetrice dintre randamentul necesar și rata cuponului sunt convertite în diferențe asimetrice între prețul obligațiunii și valoarea nominală a acesteia. În special, prețul unei obligațiuni crește mai mult atunci când randamentele scad decât scade atunci când randamentele cresc.

Randamentul obligațiunilor.ÎN caz general Rentabilitatea oricărei investiții este rata dobânzii care permite egalizarea valorii actuale a fluxurilor de numerar ale unei investiții competitive cu prețul (costul) investiției.

Randamentul unei obligațiuni cu cupon zero este rata anuală a dobânzii primită de un investitor care cumpără și deține obligațiunea până la scadență.

Dacă atunci.

Determinarea randamentului unei obligațiuni cu cupon. Pentru o obligațiune cu cupon există randamentul curentși rata internă de rentabilitate sau randament până la scadență.

Rentabilitatea curentă este determinată de formula:

unde rt – rentabilitatea curentă;

C – venituri din cupon la obligațiune (cupon);

P – prețul curent al obligațiunii.

Randamentul intern poate fi calculat folosind formula de evaluare pretul pietei obligațiuni:

Din păcate, această ecuație nu poate fi rezolvată în forma sa finală: profitabilitatea poate fi determinată doar cu ajutorul unui program special de calculator.

M/utilizați metoda de substituție în formula prețului obligațiunii sensuri diferite randamente interne cu calcularea preţurilor lor corespunzătoare. Operațiunea se repetă până când valoarea prețului calculat coincide cu prețul obligațiunii specificat. Diagrama bloc a algoritmului pentru acest calcul este prezentată în Fig. 4.

Orez. 4. Algoritm pentru calcularea obligațiunilor cu cupon de randament

În unele cazuri, pentru a lua o decizie financiară, este suficient să determinați doar nivelul aproximativ (aproximativ) al randamentului obligațiunilor. Poate fi folosit ca nivel inițial de rentabilitate în primul bloc al algoritmului discutat mai sus.

Formula utilizată în mod tradițional pentru calcularea nivelului aproximativ al randamentului obligațiunilor este:

unde r este randamentul intern (randamentul până la scadență); N – valoarea nominală a obligațiunii; P – prețul obligațiunii; n – numărul de ani până la scadență; C – venituri din cupon;

În unele cazuri, cea mai bună aproximare este oferită de formula lui R. Rodriguez

Această formulă oferă o bună aproximare, cu condiția ca rata cuponului să fie scăzută (sub 50% pe an) și prețul obligațiunii și valoarea nominală a acesteia să fie apropiate. În special, dacă prețul diferă de valoarea nominală de mai mult de 2 ori, atunci utilizarea ambelor formule pentru calcularea estimărilor aproximative este inacceptabilă.

Eroarea în calculele folosind formule de estimare aproximativă este mai mare cu cât rămân mai mulți ani până la scadența obligațiunii.

Pentru a accelera procesul de calcul al randamentului intern al unei obligațiuni, se poate folosi și formula de interpolare liniară:

Unde r 1 , r 2 – valorile nivelurilor respectiv subestimate și supraestimate ale randamentelor estimate ale obligațiunilor; R 1 , R 2 – prețurile de piață estimate ale obligațiunilor corespunzătoare nivelurilor de randament r 1 și r 2 ;

R– prețul real (real) al obligațiunii pe piața de valori.

Rezumând cele de mai sus, observăm că randamentul până la scadență ne permite să estimăm nu numai venitul curent (cupon), ci și suma profitului sau pierderii care așteaptă capitalul investitorului care rămâne proprietarul obligațiunii până la răscumpărarea acesteia de către emitent. În plus, randamentul până la scadență ia în considerare momentul fluxurilor de numerar.

Corelarea parametrilor principali ai obligațiunii

Obligațiunea este de vânzare	Relația dintre parametrii de legătură
La alin	Rata cuponului = Randament curent = Randament până la scadență
Cu reducere	Rata cuponului< Текущая доходности < Доходность к погашению
Cu un bonus	Rata cuponului > Randament curent > Randament până la scadență

11.2. Măsurarea randamentelor obligațiunilor

Randamentul obligațiunilor. Randamentele obligațiunilor sunt caracterizate de mai mulți indicatori. Distinge cupon(rata cupon), tehnologie la shuyu(randament curent, curent) și profitabilitate deplină(randament până la scadență, randament de răscumpărare, randament).

Randamentul cuponului este determinat în momentul emiterii obligațiunii și, prin urmare, nu trebuie calculat. Randamentul curent caracterizează raportul dintre încasările de cupon și prețul de cumpărare al obligațiunii. Acest parametru nu ține cont de a doua sursă de venit - primirea valorii nominale sau a prețului de răscumpărare la sfârșitul termenului. Prin urmare, nu este potrivit pentru compararea randamentelor diferitelor tipuri de obligațiuni. Este suficient să rețineți că obligațiunile cu cupon zero au un randament curent de zero. În același timp, pot fi foarte profitabile dacă țineți cont de întreaga lor perioadă de „viață”.

Cel mai informativ este indicatorul rentabilității totale, care ia în considerare ambele surse de venit. Acest indicator este potrivit pentru compararea profitabilității investițiilor în obligațiuni și alte valori mobiliare. Deci, randament total, sau pentru a folosi terminologia comercială veche, tariful camerei, măsoară adevărata performanță investițională a unei obligațiuni pentru un investitor în ceea ce privește rata anuală a dobânzii compuse. Cu alte cuvinte, acumularea dobânzii la rata de plasare la prețul de cumpărare al obligațiunii asigură pe deplin plata venituri din cupoaneși suma de rambursare a obligațiunii la sfârșitul termenului.

Să luăm în considerare metodologia de determinare a indicatorilor de randament ai diferitelor tipuri de obligațiuni în succesiunea adoptată mai sus la clasificarea obligațiunilor în funcție de modalitatea de plată a venitului.

Obligațiuni fără rambursare obligatorie cu plăți periodice de dobândă. Deși acest tip de obligațiuni este extrem de rar, familiarizarea cu acestea este necesară pentru a obține o înțelegere completă a metodologiei de măsurare a profitabilității. Atunci când analizăm acest tip de obligațiuni, nu ținem cont de plata valorii nominale în viitorul previzibil.

Să introducem următoarea notație:

g - rata venitului anual declarat (rata dobânzii cuponului);

eu t - rentabilitatea curentă;

i- profitabilitate totală (rata sediului).

Randamentul actual este următorul:

eu t = 100. (11.2)

Dacă cupoanele sunt plătite r o dată pe an (de fiecare dată la rata g/ p), atunci în acest caz, în practică, „se aplică formula (11.2), deși însumarea veniturilor plătite în diferite momente de timp, strict vorbind, este incorectă.

Deoarece venitul din cupon este constant, randamentul curent al obligațiunilor vândute se modifică odată cu modificarea prețului lor de piață. Pentru un proprietar de obligațiuni care a investit deja niște fonduri, această valoare este constantă.

Să trecem la profitabilitatea totală. Deoarece veniturile din cupon sunt singura sursă de venit curent, este evident că randamentul total al obligațiunilor luate în considerare este egal cu cel curent în cazul în care plățile cupoanelor sunt anuale: i = eu t. Dacă se plătește dobândă r o dată pe an (de fiecare dată conform normei g / p), apoi conform (2.8) obținem

(11.3)

Exemplul 11.1. O anuitate perpetuă cu un venit de 4,5% a fost achiziționată la un curs de schimb de 90. Care este eficiența financiară a investiției, cu condiția ca dobânda să fie plătită o dată pe an, trimestrial ( p = 4)?

i = eu t = 100 = 0,05; i = - 1 = 0,0509.

Obligațiuni fără dobândă. Acest tip de obligațiuni oferă proprietarului său diferența dintre valoarea nominală și prețul de cumpărare ca venit. Rata unei astfel de obligațiuni este întotdeauna mai mică de 100. Pentru

Pentru a determina rata spațiilor, echivalăm valoarea actuală a valorii nominale cu prețul de achiziție:

Nvn = P, sau vn = ,

Unde n - perioada până la răscumpărarea obligațiunii. După care primim

Exemplul 11.2. Corporation X a emis obligațiuni cu cupon zero cu scadență în cinci ani. Rata de vânzare - 45. Randamentul obligațiunilor la data scadenței

aceste. obligaţiunea asigură investitorului un venit anual de 17,316%.

Obligațiuni care plătesc dobândă și valoare nominală la scadență. Dobânda se acumulează aici pe întregul termen și se plătește într-o singură sumă forfetară împreună cu valoarea nominală. Nu există venituri din cupon. Prin urmare, randamentul curent poate fi considerat în mod condiționat zero, deoarece dobânda corespunzătoare este primită la sfârșitul termenului.

Să găsim rentabilitatea totală echivalând valoarea curentă a venitului cu prețul obligațiunii:

(1 + g)nNvn = P, sau .

Din ultima formulă rezultă că

Dacă rata obligațiunii este mai mică de 100, atunci i > g.

Exemplul 11.3. O obligațiune cu randament de 10% pe an raportat la par a fost achiziționată la un curs de schimb de 65, cu o perioadă de scadență de trei ani. Dacă egalitatea și dobânda sunt plătite la scadență, randamentul total pentru investitor va fi

i = - 1 = 0,26956 sau 26,956%.

Obligațiuni cu plăți periodice de dobândă și rambursare a valorii nominale la sfârșitul termenului. Acest tip de legături este cel mai răspândit în practica modernă. Pentru o astfel de obligațiune, puteți obține toți cei trei indicatori de randament - cupon, curent și total. Randamentul curent este calculat folosind formula de mai sus (11.2). În ceea ce privește randamentul total, pentru a-l determina este necesar să se echivaleze valoarea curentă a tuturor veniturilor cu prețul obligațiunii. Valoarea actualizată a valorii nominale este Nvn. Deoarece încasările din cupoane reprezintă o anuitate post-numerando constantă, termenul unei astfel de anuități este egal cu gN, iar costul său modern va fi gNa n ; i (dacă cupoanele sunt plătite anual) și dacă aceste plăți sunt efectuate r o dată pe an (de fiecare dată la rata g/ p). Ca rezultat, obținem următoarele egalități:

pentru obligațiunile cu cupoane anuale

(11.6)

Împărțit la N, găsim

(11.7)

pentru o obligațiune cu răscumpărări de cupon semestrial și trimestrial, obținem

(11.8)

unde este coeficientul de reducere p- anuitate pe termen ( p = 2, p = 4).

În toate formulele date vn înseamnă factorul de reducere pentru necunoscut rata anuală sediul i.

În practica străină, totuși, pentru obligațiunile cu plăți semestriale și trimestriale ale venitului curent, rata nominală anuală de plasare este utilizată pentru actualizare, iar numărul de ori actualizarea pe an este de obicei considerat egal cu numărul plăților de venit cu cupoane. Astfel, egalitatea inițială pentru calcularea ratei premiselor are forma

Unde i - rata anuală nominală;

rp - numărul total de plăți cu cupoane; g - procentul anual din plățile cupoanelor.

La rezolvarea egalităților de mai sus pentru o cantitate necunoscută i se confruntă cu aceleași probleme ca la calcul i pentru o valoare dată a coeficientului de reducere a chiriei - vezi paragraful 4.5. Valorile necesare tarifului camerei sunt calculate fie folosind interpolare, fie o metodă iterativă.

Să evaluăm i folosind interpolarea liniară:

(11.10)

Unde i" Şi i" - valorile tarifului camerei de podea și tavan care limitează intervalul în care se așteaptă să se afle valoarea necunoscută a tarifului;

K" , K" - valorile cursului de schimb calculate, respectiv, pentru pariuri i" , i" . Intervalul de viteză pentru interpolare se determină ținând cont de faptul că i > g la K < 100.

Puteți aplica și metoda de estimare aproximativă, conform căreia

. (11.11)

În această formulă, media venitul anual dintr-o obligațiune este corelată cu prețul său mediu. Simplitatea calculului vine însă cu prețul pierderii preciziei estimării.

Exemplul 11.4. O obligațiune cu un termen de cinci ani, la care dobânda se plătește o dată pe an la o rată de 8%, a fost achiziționată la un curs de schimb de 97.

Randamentul curent al obligațiunii 8 / 97 = 0,08247.

Pentru a estima profitabilitatea totală, scriem egalitatea inițială (11.7):

0,97 = (1 + i) -5 + 0,08o 5; i.

Pentru interpolare, vom accepta următoarele valori de pariu: i" = 0,085, i" = 0,095. Conform (11.7) găsim

1,085 -5 + 0,08O 5;8,5 = 98,03;

= 1,095 -5 + 0,095O 5;9,5 = 94,24.

i = 8,5 + (9,5 - 8,5) = 8,77.

Pentru a verifica, să calculăm cota pentru tariful spațiilor de 8,77%. Primim

= 1,0877 -5 + 0,08O 5;8,77 = 96,99.

După cum putem vedea, rata calculată este foarte apropiată de rata pieței - 97. O soluție aproximativă conform (11.11) oferă

i = = 8,73,

care corespunde cotei pieţei de 97,2. Eroarea este mai mare decât atunci când se utilizează interpolarea liniară.

Obligațiuni cu un preț de răscumpărare diferit de valoarea nominală.În acest caz, dobânda este calculată pe valoarea nominală, iar câștigurile de capital sunt egale cu S - R, Unde CU-pretul de rascumparare. În consecință, atunci când se evaluează tariful spațiilor, este necesar să se facă ajustări corespunzătoare

tive în formulele de mai sus. De exemplu, făcând ajustări la (11.6) și (11.7), obținem

și în loc de (11.11)

(11.14)

Exemplul 11.5. Să comparăm randamentul a două obligațiuni cu plăți anuale de dobândă (Tabelul 11.1). Parametrii de legături O luate din exemplul anterior.

Tabelul 11.1

Indicatorii de randament pentru aceste obligațiuni sunt prezentați în tabel. 11.2.

Tabelul 11.2

După cum puteți vedea, în ceea ce privește rentabilitatea totală, avantajul este de partea obligațiunii O, deși randamentul său actual este mai mic decât cel al celui de-al doilea. Metoda aproximativă de calcul conform (11.11) - indicatorii corespunzători sunt dați în paranteze - a supraestimat considerabil estimarea randamentului total al obligațiunii B.

Toate formulele discutate mai sus pentru calcularea randamentului total presupun că evaluarea se face la începutul termenului obligațiunii sau la data plății dobânzii. Pentru cazul în care estimarea se face la un moment între două date de plată a dobânzii, formulele date vor da estimări părtinitoare.

Opţiune	№№ sarcini	Opţiune	№№ sarcini	Opţiune	№№ sarcini
1	1, 30, 31	6	6, 25, 36	11	11, 20, 41
2	2, 29, 32	7	7, 24, 37	12	12, 19, 42
3	3, 28, 33	8	8, 23, 38	13	13, 18, 43
4	4, 27, 34	9	9, 22, 39	14	14, 17, 44
5	5, 26, 35	10	10, 21, 40	15	15, 16, 45

Sarcina 1. Valoarea nominală a unei obligațiuni obișnuite este N = 5.000 de ruble. Rata dobânzii cuponului c = 15%, scadența rămasă a obligațiunii n = 3 ani, rata actuală a dobânzii de pe piață i = 18%. Determinați valoarea actuală de piață a obligațiunii.

Sarcina 2. Defini valoarea curentă obligațiuni pe trei ani cu o valoare nominală de 1000 de unități. și o rată anuală a cuponului de 8%, plătită trimestrial dacă rata rentabilității (rata de piață) este de 12%.

Sarcina 3. Determinați valoarea curentă a 100 de unități. valoarea nominală a unei obligațiuni cu o scadență de 100 de ani, pe baza ratei de rentabilitate cerute de 8,5%. Rata cuponului este de 7,72%, plătită semestrial. (Legatura este perpetua).

Sarcina 4. Ce preț ar plăti un investitor pentru o obligațiune cu cupon zero cu o valoare nominală de 1.000 de unități? și rambursarea în trei ani dacă rata de rentabilitate necesară este de 4,4%.

Sarcina 5. Obligațiunea băncii are o valoare nominală de 100.000 de unități. si scadenta in 3 ani. Rata cuponului la obligațiune este de 20% pe an, acumulată o dată pe an. Determinați costul obligațiunii dacă randamentul necesar investitorului este de 25%, iar venitul din cupon este acumulat și plătit împreună cu valoarea nominală la sfârșitul perioadei de circulație.

Sarcina 6. Obligațiuni perpetue cu un cupon de 6% din valoarea nominală și o valoare nominală de 200 de unități monetare. ar trebui să ofere investitorului un randament de 12% pe an. La ce preț maxim va cumpăra un investitor acest lucru instrument financiar?

Sarcina 7. Sunteți deținătorul unei obligațiuni cu o valoare nominală de 5.000 USD care oferă un venit anual constant de 100 USD timp de 5 ani. Rata actuală a dobânzii este de 9%. Calculați valoarea actuală a obligațiunii.

Sarcina 8. Estimați valoarea de piață a produsului propus pentru circulație publică obligația municipală, a cărui valoare nominală este de 100 de ruble. Au mai rămas 2 ani până la scadența obligațiunii. Rata nominală a dobânzii la obligațiune (utilizată pentru a calcula venitul anual din cupon ca procent din valoarea sa nominală) este de 20%, venitul din cupon se plătește trimestrial. Rentabilitatea riscurilor comparabile (de asemenea, fără riscuri pentru deținere și aceeași scadență) obligațiuni guvernamentale – 18%.

Sarcina 9. Estimați valoarea de piață a unei obligațiuni municipale propuse pentru circulație publică, a cărei valoare nominală este de 200 de ruble. Au mai rămas 3 ani până la scadența obligațiunii. Rata nominală a dobânzii la obligațiune (folosită pentru a calcula randamentul anual al cuponului ca procent din valoarea sa nominală) este de 15%. Randamentul obligațiunilor de stat comparabile din punct de vedere al riscurilor (de asemenea fără risc pentru deținere și cu aceeași scadență) este de 17%.

Problema 10. Compania anunță emisiunea de obligațiuni cu o valoare nominală de 1000 de mii de ruble. cu o rată a cuponului de 12% și o maturitate de 16 ani. La ce preț se vor vinde aceste obligațiuni pe o piață de capital eficientă dacă randamentul necesar investitorilor pentru obligațiunile cu un anumit nivel de risc este de 10%?

Problema 11. Compania emite obligațiuni cu o valoare nominală de 1000 de mii de ruble, cu o rată a cuponului de 11%. Randamentul necesar pentru investitori este de 12%. Calculați valoarea actuală a obligațiunii cu scadența obligațiunii: a) 30 de ani; b) 15 ani; c) 1 an.

Problema 12. Valoarea nominală a obligațiunii este de 1200 de ruble, perioada de scadență este de 3 ani, rata cuponului este de 15%, plata cuponului este o dată pe an. Este necesar să se găsească valoarea intrinsecă a unei obligațiuni dacă rata de rentabilitate acceptabilă pentru investitor este de 20% pe an.

Problema 13. Valoarea nominală a obligațiunii este de 1.500 de ruble, perioada de scadență este de 3 ani, rata cuponului este de 12%, plata cuponului este de 2 ori pe an. Este necesar să se găsească valoarea intrinsecă a unei obligațiuni dacă rata de rentabilitate acceptabilă pentru investitor este de 14% pe an.

Problema 14. Termenele emisiunii de obligațiuni: termen 5 ani, randament al cuponului - 8%, plăți semestriale. Media așteptată randamentul pietei- 10,5% pe an. determina rata curenta a obligatiunilor.

Problema 15. Există două opțiuni pentru condițiile de circulație a obligațiunilor. Ratele cuponului sunt de 8% și 12%, termenele sunt de 5 și 10 ani. Rata de rentabilitate estimată a pieței este de 10%. Venitul din cupon se acumulează și se plătește la sfârșitul perioadei de circulație împreună cu valoarea nominală. Alege cea mai ieftină variantă.

Randamentul obligațiunilor

Problema 16. Există două obligațiuni pe 3 ani. Obligațiunea D cu un cupon de 11% se vinde la 91.00. Obligațiunea F cu un cupon de 13% este vândută la egalitate. Care legătură este mai bună?

Problema 17. Cupon obligațiune A pe 3 ani cu o valoare nominală de 3 mii de ruble. vândut la 0,925. Plata cuponului este oferită o dată pe an în valoare de 360 ​​de ruble. O obligațiune B pe 3 ani cu un cupon de 13% este vândută la egalitate. Care legătură este mai bună?

Problema 18. Valoarea nominală a unei obligațiuni cu cupon zero este de 1000 de ruble. Valoarea actuală de piață este de 695 de ruble. Perioada de rambursare este de 4 ani. Rata de depozit - 12%. Determinați fezabilitatea achiziționării unei obligațiuni.

Problema 19. Obligațiuni cu o valoare nominală de N = 1000 de ruble. cu o rată a cuponului de c = 15% a fost achiziționat la începutul anului pentru 700 de ruble. (la un pret sub normal). După ce a primit plata cuponului la sfârșitul anului, obligațiunea a fost vândută pentru 750 de ruble. Determinați profitabilitatea operațiunii pentru anul.

Problema 20. Obligațiuni cu o valoare nominală de 1000 de ruble. cu o rată a cuponului de 15% și o maturitate de 10 ani a fost achiziționat pentru 800 de ruble. Determinați randamentul obligațiunii folosind metoda interpolării.

Problema 21. Obligațiuni cu o valoare nominală de 1.500 de ruble. cu o rată a cuponului de 12% (compunere semianuală) și o perioadă de rambursare de 7 ani a fost achiziționată pentru 1000 de ruble. Determinați randamentul obligațiunii folosind metoda interpolării.

Problema 22. O obligațiune perpetuă cu un cupon de 20% a fost achiziționată la un curs de schimb de 95. Determinați eficiența financiară a investiției cu condiția ca dobânda să fie plătită: a) o dată pe an și b) trimestrial.

Problema 23. Corporația a emis obligațiuni cu cupon zero cu scadență în 5 ani. Rata de vânzare este 45. Determinați randamentul obligațiunii la data scadenței.

Problema 24. O obligațiune cu randament de 10% pe an raportat la valoarea nominală a fost achiziționată la un curs de schimb de 60, cu o perioadă de scadență de 2 ani. Determinați rentabilitatea totală pentru investitor dacă valoarea nominală și dobânda sunt plătite la sfârșitul datei de scadență.

Problema 25. A fost emisă o obligațiune cu cupon zero cu o scadență de 10 ani. Rata obligațiunii este 60. Aflați randamentul total la data scadenței.

Problema 26. O obligațiune cu un venit de 15% pe an din valoarea nominală, un curs de schimb de 80 și o scadență de 5 ani. Aflați randamentul total dacă paritatea și dobânda sunt plătite la scadență.

Problema 27. O obligațiune cu o scadență de 6 ani cu o rată a dobânzii de 10% a fost achiziționată la un curs de schimb de 95. Aflați randamentul total folosind metoda interpolării.

Problema 28. Rata actuală de piață a obligațiunii este de 1200 de ruble, valoarea nominală a obligațiunii este de 1200 de ruble, perioada de scadență este de 3 ani, rata cuponului este de 15%, plățile cuponului sunt anuale. Determinați randamentul total al obligațiunii folosind metoda medie și metoda interpolării.

Problema 29. O obligațiune pe cinci ani care plătește dobândă o dată pe an la o rată de 8% este achiziționată la un curs de schimb de 65. Determinați randamentul curent și total.

Problema 30. Obligațiune W pe 5 ani cu o valoare nominală de 10 mii de ruble. vândut la rata de 89,5. Plata cuponului este oferită o dată pe an în valoare de 900 de ruble. O obligațiune V pe 6 ani cu un cupon de 11% este vândută la egalitate. Care legătură este mai bună?

Evaluarea riscului de obligațiuni

Problema 31. Se are în vedere posibilitatea achiziționării de obligațiuni OJSC, a căror cotație actuală este 84,1. Obligațiunea are o scadență de 6 ani și o rată a cuponului de 10% pe an, plătibilă semestrial. Rata de rentabilitate a pieței este de 12%.

c) Cum va fi afectată decizia dumneavoastră de informația că rata rentabilității pieței a crescut la 14%?

Problema 32. OJSC a emis obligațiuni pe 5 ani cu o rată a cuponului de 9% pe an, plătibile semestrial. Totodată, au fost emise obligațiuni OJSC pe 10 ani cu exact aceleași caracteristici. Rata pieței la momentul emiterii ambelor obligațiuni era de 12%.

Problema 33. OJSC a emis obligațiuni pe 6 ani cu o rată a cuponului de 10% pe an, plătibile semestrial. Totodată, au fost emise obligațiuni OJSC pe 10 ani cu un cupon de 8% pe an, plătit o dată pe an. Rata pieței la momentul emiterii ambelor obligațiuni era de 14%.

a) La ce preț au fost plasate obligațiunile întreprinderii?

b) Determinați duratele ambelor obligațiuni.

Problema 34. Se are în vedere posibilitatea achiziționării de euroobligațiuni ale OJSC. Data lansării: 16.06.2008. Data rambursării – 16.06.2018. Rata cuponului – 10%. Numărul de plăți – de 2 ori pe an. Rata de rentabilitate necesară (rata de piață) este de 12% pe an. Astăzi este 16 decembrie 2012. Prețul mediu de schimb al obligațiunii este de 102,70.

b) Cum se va schimba prețul unei obligațiuni dacă rata pieței: a) crește cu 1,75%; b) va scădea cu 0,5%.

Problema 35. Prețul inițial al unei obligațiuni pe 5 ani este de 100 de mii de ruble, rata cuponului este de 8% pe an (plătită trimestrial), randamentul este de 12%. Cum se va schimba prețul obligațiunilor dacă randamentul crește la 13%.

Problema 36. Trebuie să plătiți 200.000 USD în trei ani din portofoliul dvs. de obligațiuni. Durata acestei plăți este de 3 ani. Să presupunem că puteți investi în două tipuri de obligațiuni:

1) obligațiuni zero-cupon cu o scadență de 2 ani (rată curentă - 857,3 USD, valoare nominală - 1000 USD, rata de plasare - 8%);

2) obligațiuni cu o scadență de 4 ani (rata cuponului - 10%, valoarea nominală - 1000 USD, curs curent - 1066,2 USD, rata de plasare - 8%).

Problema 37. Se are în vedere posibilitatea achiziționării de obligațiuni OJSC, a căror cotație actuală este de 75,9. Obligațiunea are o perioadă de circulație de 5 ani și o rată a cuponului de 11% pe an, plătibilă semestrial. Rata de rentabilitate a pieței este de 14,5%.

a) Cumpărarea unei obligațiuni este o tranzacție profitabilă pentru un investitor?

b) Determinați durata obligațiunii.

c) Cum va fi afectată decizia dumneavoastră de informația că rata rentabilității pieței a scăzut la 14%?

Problema 38. OJSC a emis obligațiuni pe 4 ani cu o rată a cuponului de 8% pe an, plătibile trimestrial. Totodată, au fost emise obligațiuni OJSC pe 8 ani cu un cupon de 9% pe an, plătite semestrial. Rata pieței la momentul emiterii ambelor obligațiuni era de 10%.

a) La ce preț au fost plasate obligațiunile întreprinderii?

b) Determinați duratele ambelor obligațiuni.

c) La scurt timp după lansare, rata pieței a crescut la 14%. Care preț al obligațiunii se va schimba mai mult?

Problema 39. OJSC a emis obligațiuni pe 5 ani cu o rată a cuponului de 7,5% pe an, plătibile trimestrial. Totodată, au fost emise obligațiuni OJSC pe 7 ani cu un cupon de 8% pe an, plătite semestrial. Rata pieței la momentul emiterii ambelor obligațiuni era de 12,5%.

a) La ce preț au fost plasate obligațiunile întreprinderii?

b) Determinați duratele ambelor obligațiuni.

c) La scurt timp după emitere, rata pieței a scăzut la 12%. Care preț al obligațiunii se va schimba mai mult?

Problema 40. Se are în vedere posibilitatea achiziționării de obligațiuni OJSC. Data lansării: 20.01.2007. Data rambursării – 20.01.2020. Rata cuponului – 5,5%. Număr de plăți – de 2 ori pe an. Rata de rentabilitate necesară (rata de piață) este de 9,5% pe an. Astăzi este 20.01.2013. Prețul mediu de schimb al obligațiunii este de 65,5.

a) Determinați durata acestei obligațiuni la data tranzacției.

b) Cum se va schimba prețul unei obligațiuni dacă rata pieței: a) crește cu 2,5%; b) va scadea cu 1,75%.

Problema 41. Valoarea nominală a unei obligațiuni pe 16 ani este de 100 de ruble, rata cuponului este de 6,2% pe an (plătit o dată pe an), randamentul este de 9,75%. Cum se va schimba prețul obligațiunilor dacă randamentul crește la 12,5%. Efectuați analiza folosind durată și convexitate.

Problema 42. Trebuie să plătiți 50.000 USD în trei ani din portofoliul dvs. de obligațiuni. Durata acestei plăți este de 5 ani. Există două tipuri de obligațiuni disponibile pe piață:

1) obligațiuni zero-cupon cu o scadență de 3 ani (rată curentă - 40 USD, valoare nominală - 50 USD, rata de plasare - 12%);

2) obligațiuni cu o scadență de 7 ani (rata cuponului - 4,5%, venitul din cupon se plătește semestrial, valoarea nominală - 50 USD, curs curent - 45 USD, rata de plasare - 12%).

Construiți un portofoliu de obligațiuni imunizate. Defini cost totalși numărul de obligațiuni achiziționate.

Problema 43. Valoarea nominală a unei obligațiuni pe 10 ani este de 5.000 de ruble, rata cuponului este de 5,3% pe an (plătită o dată pe an), randamentul este de 10,33%. Cum se va schimba prețul obligațiunilor dacă randamentul crește la 11,83%. Efectuați analiza folosind durată și convexitate.

Problema 44. Se are în vedere posibilitatea achiziționării de obligațiuni OJSC, a căror cotație actuală este de 65,15. Obligațiunea are o scadență de 5 ani și o rată a cuponului de 4,5% pe an, plătibilă trimestrial. Rata de rentabilitate a pieței este de 9,75%.

a) Cumpărarea unei obligațiuni este o tranzacție profitabilă pentru un investitor?

b) Determinați durata obligațiunii.

c) Cum va fi afectată decizia dumneavoastră de informația că rata rentabilității pieței a crescut la 12,25%?

Problema 45. Trebuie să plătiți 100.000 USD în trei ani din portofoliul dvs. de obligațiuni. Durata acestei plăți este de 4 ani. Există două tipuri de obligațiuni disponibile pe piață:

1) obligațiuni zero-cupon cu o scadență de 2,5 ani (rată curentă - 75 USD, valoare nominală - 100 USD, rata de plasare - 10%);

2) obligațiuni cu o scadență de 6 ani (rata cuponului - 6,5%, venitul din cupon se plătește trimestrial, valoarea nominală - 100 USD, curs curent - 85 USD, rata de plasare - 10%).

Construiți un portofoliu de obligațiuni imunizate. Determinați costul total și cantitatea de obligațiuni achiziționate.

1. Anshin V.M. Analiza investitiilor. - M.: Delo, 2002.

2. Galanov V.A. Piața valorilor mobiliare: manual. - M.: INFRA-M, 2007.

3. Kovalev V.V. Introducere în managementul financiar. - M.: Finanțe și Statistică, 2007

4. Manualul finantatorilor in formule si exemple / A.L. Zorin, E.A. Zorina; Ed. E.N. Ivanova, O.S. Ilyushina. - M.: Editura profesională, 2007.

5. Matematică financiară: modelare matematică tranzactii financiare: manual indemnizație / Ed. V.A. Polovnikov și A.I. Pilipenko. - M.: Manual universitar, 2004.

6. Chetyrkin E.M. Obligațiuni: teorie și tabele de randament. - M.: Delo, 2005.

7. Chetyrkin E.M. Matematică financiară. – M.: Delo, 2011.

M.: Delo, 2004. - 280 p.
ISBN 5-7749-0200-5
Descărcați(link direct) : invest-analiz.djvu Anterior 1 .. 31 > .. >> Următorul

Randamentul curent este raportul dintre randamentul cuponului și prețul de cumpărare.

Randamentul total (randamentul până la scadență) ia în considerare veniturile din cupoane și veniturile din răscumpărare (uneori denumite rata premiselor).

Randament în funcție de tipul de obligațiuni. /. Obligațiuni fără rambursare obligatorie cu plăți periodice de dobândă. Dacă с este rata cuponului, rt este randamentul curent, atunci

g, = Ms/P= s 100/K. (9,1)

2. Obligațiuni fără dobândă. Randamentul se formează ca diferență între valoarea nominală și prețul de cumpărare. Rata acestei obligațiuni este mai mică de 100.

Soldul operațiunii se va scrie astfel: P = M(I + r)~", unde n este scadența obligațiunii, r este randamentul total al obligațiunii, (1 + r)~n = A/ 100;

g « 1 / 4JK /100 - 1. (9 2)

EXEMPLU. A fost emisă o obligațiune cu cupon zero cu o scadență de 10 ani. Rata obligațiunii este 60. Aflați randamentul total la data scadenței.

Soluție, r = 1 / (^60/100) -1 - 0,052, sau 5,2%.

3. Obligațiuni cu plata dobânzii și a valorii nominale la sfârșitul termenului (reinvestirea veniturilor din cupon). Balanța de operare: M (1 + s)n (1 + r)~n = P sau [(1 + s)/(1 + r)]" = /G/100;

g «(1+s)/^AG/100-1. (9 3)

EXEMPLU. Obligațiuni cu un venit de 15% pe an din nominal, rata 80, scadență 5 ani. Aflați rentabilitatea totală dacă egalitatea și dobânda sunt plătite la sfârșitul termenului.

Soluție, r = (1 +0,15)/^/80/100 -1 = 0,202, sau 20,2%.

4. Obligațiuni cu plăți periodice de dobândă și rambursare a valorii nominale la sfârșitul termenului. Soldul tranzacției:

sM sM sM M

1 + g (1 + g)2 (1 + g)" (1 + g)n "

P= M(I + r)"n + cM ^j(I + r)"", unde / este perioada de la cumpărarea obligațiunilor până la plata veniturilor din cupon.

Determinarea valorii necunoscute a rentabilității totale se poate face prin trei metode: așa-numita metodă aproximativă, metoda extrapolării liniare și metoda încercării și erorii.

Pentru metoda aproximativă se folosește formula

CM + (M - P)In

(M+P)? KU "

s + (1 -Y/p G--(1-L)/2 (96)

Pentru a folosi metoda interpolării liniare (descrierea metodei este dată în paragraful 3.6), împărțim ambele părți ale formulei (9.4) la M:

A/100 = (1 +r)-"+cV, (9,7)

unde apg este coeficientul de reducere a chiriei la rata r pentru perioada p.

Randamentul total r poate fi găsit prin interpolare liniară:

unde gn și gv sunt limitele inferioare și superioare ale randamentului total; Kn și K3 - limitele inferioare și superioare ale cursului calculate pentru gn și g conform formulei (9.7); Kv< К < Кн.

Trebuie remarcat faptul că, pe măsură ce randamentul crește, rata obligațiunilor scade.

EXEMPLU. O obligațiune cu o scadență de 6 ani cu o rată a dobânzii de 10% a fost achiziționată la un curs de schimb de 95. Aflați randamentul total.

Soluţie. Pentru a determina coeficienții de reducere a chiriei apg, vom folosi formula deja cunoscută (3.20).

Să punem GI = 10%, /"в = 15%. Apoi:

KJlOO = 1,10"6 + 0,1<76;IO = 0,564 + 0,1 4,355 = 0, 99;

Kjm = 1,15"6 + 0,1 r6:15 = 0,432 + 0,1 3,784 = 0,81;

/*= 0,10 + [(0,99 - 0,95)/(0,99 - 0,81)] (0,15 - 0,10) = 0,11.

Verificați: 1,11"6 + 0,1 a.i = 0,535 + 0,1 4,23 = 0,958.

Metoda încercării și erorii constă în selectarea valorii lui r în așa fel încât egalitatea (9.4) (sau (9.7)) să se dovedească adevărată.

O măsură a volatilității unei obligațiuni este durata. Acest termen este o hârtie de calc din limba engleză duration, care se traduce prin „durată”. Acest indicator a fost studiat pentru prima dată de Frederick Macaulay în 1938. El a definit acest indicator ca fiind scadența medie ponderată a fluxului de numerar al unui titlu1. Durata Macaulay este calculată folosind formula:

unde t este termenul de plată sau elementul fluxului de numerar al obligațiunii; CF1 este valoarea elementului de flux de numerar din obligațiuni în anul /; r - randament pana la scadenta (rentament total).

Indicatorul duratei Macaulay, calculat folosind formula (9.9), este măsurat în ani.

O atenție deosebită trebuie acordată faptului că actualizarea se realizează la rata de rentabilitate la scadență, care trebuie determinată inițial, pentru care se pot folosi metodele discutate mai sus. În plus, observăm că numitorul formulei de calcul a duratei este prețul obligațiunii, deoarece

Pentru obligațiunile pentru care veniturile din cupon sunt plătite de m ori pe an, formula de calcul ia forma:

9.4. Durată

(durata medie a plăților)

2 CF1(I + rG<

¦2 CZ)(I + g/tG

Manualul titlurilor cu venit fix. p. 85.

EXEMPLU. Obligațiune cu o scadență de 6 ani, rata cuponului - 10%, valoarea nominală - 100 USD Randament până la scadență - 11%.

Tabelul 9.2

1
(1 + g)""
CF1
CF1(X + g)""
tCFt(\ + r)-"

eu
0,9009
10
9,009
9,009

2
0,8116
10
8,P6
16,232

3
0,7312
10
7,312
21,936

4
0,6587
10
6,587
26,348

5
0,5935
10
5,935
29,675

6
0,5346
De
58,806
352,836

95,765
451,4272

Primim:

D = 451,4272/95,765 = 4,7 ani.

Durata poate fi considerată și elasticitatea prețului obligațiunii în raport cu modificările ratei dobânzii (mai precis, valoarea lui 1 + r). În termeni generali, coeficientul de elasticitate este raportul dintre creșterea relativă a unui indicator și creșterea relativă a altui indicator. În acest caz, acești indicatori sunt prețul obligațiunilor și rata dobânzii.