Разработка теории оптимального использования ресурсов. Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов

Л.В. Канторович - экономист - внес выдающийся вклад в экономическую науку. С его именем связан естественнонаучный подход к исследованию широкого круга проблем планирования. Л.В. Канторович заложил фундамент современной теории оптимального планирования. Развернутому изложению основных идей этой теории посвящена его капитальная монография “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” . Стержнем этой книги является формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи достаточно просты, но в то же время учитывают важнейшие черты экономического планирования. Одно из привлекательных качеств состоит в том, что они базируются на схеме линейного программирования и, следовательно, на развитом аналитическом аппарате и обширном наборе эффективных вычислительных средств, часть из которых предложил сам Леонид Витальевич.

Значителен его вклад в проблему ценообразования - одну из коренных, затрагивающую, по существу, все сферы функционирования общества. Л.В. Канторович установил связь цен и общественно-необходимых затрат труда. Он дал определение понятия оптимума, оптимального развития, конкретизировав, в частности, что следует понимать под максимальным удовлетворением потребностей членов общества. Из его положения о неразрывности плана и цен вытекает зависимость общественно-необходимых затрат труда от поставленных целей общества.

Таким образом, цели общества, оптимальный план и цены составляют одно неразрывное целое. Им указаны конкретные условия, при которых объективно обусловленные оценки оптимального плана совпадают с полными (прямыми и сопряженными) затратами труда. Определение перспектив экономики, наличие гигантских “естественных монополий” заставляет сохранить для них расчет, по крайней мере, опорных цен, согласованных и взаимно, и с интересами других отраслей экономики.

Математические модели получили отражение в некоторых курсах политической экономии. В работах Л.В. Канторовича исследовался ряд основных проблем экономической теории и практики хозяйствования. Указывая на недостатки действовавшей экономической системы, Л.В. Канторович подчеркивал, что система экономических показателей должна быть единой, построена по единому принципу. В связи с этим значительную часть своих работ в этой области Леонид Витальевич посвятил разработке и анализу конкретных экономических показателей.

В работах самого Л.В. Канторовича особое внимание было уделено оценке земельных ресурсов и воды, учету этих показателей в (заготовительных) ценах на сельскохозяйственную продукцию. Предложены оригинальные подходы к их расчету (сочетание метода наименьших квадратов и линейного программирования). На этой основе были даны рекомендации по улучшению системы экономических показателей и расчетов в сельском хозяйстве. Значение предложенных им принципов расчета в складывающейся экономической системе только возрастает.

В работах Л.В. Канторовича вскрывается сущность понятия показателя эффективности капиталовложений, показывается его роль в экономических расчетах принятия решений, предлагается методика определения величины этого нормативного показателя. Таким образом, Л.В. Канторович дал убедительное научное обоснование необходимости применения норматива эффективности и на основе оптимизационного подхода дал объективный путь его расчета.

В работе “Амортизационные платежи при оптимальном использовании оборудования” (1965) Л.В. Канторовичем была вскрыта сущность понятия амортизации. Он показал, как можно повысить эффективность использования оборудования, разделив амортизационные платежи на два типа, и с помощью остроумной математической модели указал, как определить численную величину коэффициента амортизационных отчислений. Это изменение позволило сделать ряд принципиальных выводов о необходимости корректировки принятой методики расчета амортизации.

Специальный интерес проявлял Леонид Витальевич к проблемам транспорта. Еще в его первых экономических работах были даны общий анализ транспортной задачи и метод потенциалов для ее решения. Этот метод широко использовался на транспорте (железнодорожном, автомобильном, морском, воздушном) и в органах централизованного снабжения для рационального прикрепления и рациональной организации перевозок. Он, безусловно, сохраняет свое значение и сейчас наряду с широко используемыми методами диспетчерского управления и расчетами маршрутов.

В работах “Об использовании математических моделей в ценообразовании на новую технику” (1968) и “Математико-экономический анализ плановых решений и экономические условия их реализации ” (1971) Л.В. Канторович исследовал проблему эффективной работы транспорта с экономической точки зрения, показал, каковы должны быть транспортные тарифы в зависимости от вида транспорта, груза, расстояний и т. д. В ряде работ им рассматривались и вопросы комплексной транспортной системы - взаимосвязь транспорта с другими отраслями народного хозяйства и распределение перевозок между видами транспорта с учетом экономичности и в особенности энергозатрат. Эти работы сохраняют свое значение и сейчас.

Помимо проблем народнохозяйственного планирования, Л.В. Канторович рассмотрел вопросы, относящиеся к отраслевому планированию. Наиболее простой и часто используемой является предложенная им модель, базирующаяся на транспортной задаче. На ряд более сложных моделей, в частности производственно-транспортной, динамической, декомпозиционной, им указано в работах, посвященных текущему и перспективному отраслевому планированию (“Возможности применения математических методов в вопросах производственного планирования”, 1958) и др. Эти вопросы нашли отражение в исследованиях по отраслевым АСУ.

Большое внимание Леонид Витальевич уделял вопросам рационального использования труда. Им было предложено введение платежей предприятий за использование труда дифференцированных по профессиям, половозрастным признакам и территории. Он указывал также на возможности научного, количественного подхода к социальным проблемам, вопросам совершенствования сферы услуг и др. Вопросы экономического стимулирования рационального использования трудовых ресурсов остаются актуальными и сейчас.

В течение ряда лет и особенно в последние годы Л.В. Канторовича интересовали проблемы эффективности технического прогресса, в частности вопросы внедрения в производство новой техники.

Особый интерес представляет обоснование предложения об установлении двух уровней цен на принципиально новую продукцию в первые годы ее выпуска. Важное значение имел также вывод о необходимости более высоко оценивать вклад в национальный доход технического прогресса и науки, чем это получалось по принятым тогда методам расчета (“Ценообразование и технический прогресс”, 1979).

Л.В. Канторович уделял большое внимание внедрению разработанных им методов в экономическую практику. В первую очередь в этой связи следует отметить цикл работ, посвященных методам рационального раскроя материалов, начатый Леонидом Витальевичем еще в 1939 - 1942 гг. В 1948 - 1950 гг. эти методы были внедрены на Ленинградском вагоностроительном заводе имени Егорова, на Кировском заводе и распространены впоследствии на некоторых других предприятиях. Более широкому распространению методов рационального раскроя способствовал ряд проведенных по инициативе Л.В. Канторовича совещаний.

С 1964 г. по предложению Леонида Витальевича проводилась большая работа по внедрению системных методов расчета оптимальной загрузки прокатных станов в масштабах всей страны.

Являясь членом Государственного комитета по науке и технике, Л.В. Канторович вел большую организационную работу, направленную на совершенствование методов планирования и управления народным хозяйством. Он возглавлял Научный совет ГКНТ по использованию оптимизационных расчетов, состоял членом многих ведомственных советов и комиссий (по ценообразованию, транспорту и др.). Вклад Леонида Витальевича в исследование проблемы эффективности производства и, в частности, проблемы эффективности капитальных вложений исключительно велик.

РЕФЕРАТ

Тема: «Применение методов линейного программирования в

военном деле. Симплекс-метод»

курсанта 2-го курса I взв. 8-й роты

Дальневосточного военного института

им. К.К. Рокоссовского

Верещак Дмитрия Владимировича

ПЛАН

I. Что такое линейное программирование

II. Основные направления использования линейного программирования в военном деле

1.Задачи о перевозках (транспортная) задача

2.Задачи оптимального распределения средств

поражения

III. Симплекс-метод

IV. Заключение

I. ЧТО ТАКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами.

Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника; Ганнибалу, чтобы разбить римлян при Каннах, командуя вдвое меньшей армией, нужно было действовать очень обдуманно.

Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся «на глазок» (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать «по науке». Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово «программирование» здесь и в аналогичных терминах («линейное программирование, динамическое программирование» и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово «планирование». С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу.

Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за «вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике».

Эти премии получили свое название в честь их учредителя – известного химика и изобретателя Альфреда Нобеля, они должны были присуждаться за научные открытия в области физики, химии, физиологии или медицины, за литературные произведения, «отражающие человеческие идеалы», а так же тем, кто «внесет весомый вклад в сплочение народов, уничтожение рабства, снижение численности существующих армий и содействие мирной договоренности». Математикам премия не предназначалась. Однако в 1969 году Шведский банк по случаю 300-летия со дня своего образования учредил премию памяти А.Нобеля – по экономическим наукам. Она то и была присуждена в 1975 году Л.В.Канторовичу и Т.Купмансу за создание новой математической науки (получившей название линейного программирования) и применение этой теории в экономике.

В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26-летнему профессору-математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории планерного треста, которым нужно было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между станками. Эта задача сводилась к нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало миллиарда… Поэтому простой перебор вершин не годился. Леонид Витальевич писал: «оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число разнообразных по содержанию задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение транспортных грузопотоков… Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения». И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л.В.Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», в которой закладывались основания того, что ныне называется математической экономикой.

Но вернемся в 1939 год. Говорят, что истина рождается ересью и увы, так случилось и с идеями Л.В.Канторовича в области экономики. Они не встретили понимания в момент их зарождения, были объявлены ересью, и его работа была прервана.

Концепции Леонида Витальевича вскоре после войны были переоткрыты на западе. Американский экономист Т.Купманс в течении многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Примерно в это время Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто похожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным тиражом, обращенная даже не а экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательств теорем – словом, стоит ли принимать такую книжку во внимание… Но Купманс настаивает на переводе и издании на западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского ученого!

А самому Леониду Витальевичу – как естественно было бы ему, испытав первые грозные удары ретроградов, остеречься от «грехов» молодости, забыть про всю эту экономику и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный симплекс-методом. Как только в 50-е годы образуется маленький просвет и кое что из запретного становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методам оптимального планирования. А начиная с 1960 года Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с нею математической проблемами. Его вклад в этой области был отмечен Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.

II .ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ВОЕННОМ ДЕЛЕ.

Наиболее распространенными направлениями использования линейного программирования в военном деле являются:

Задача о перевозках (транспортная задача)

Задача на распределение сил и средств (распределение сил и средств поражения по целям, распределение сил и средств разведки и др.)

1. ЗАДАЧИ О ПЕРЕВОЗКАХ (ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА).

Эти задачи являются исторически одними из первых, для решения которых использовалось линейное программирование. В зависимости от выбранного критерия эффективности различают транспортные задачи по пробегу, по стоимости, по времени, совместно по критериям пробега и стоимости, с ограничениями по пропускной способности дорог и транспорта, задачи в сетевой постановке и др.

Сформулируем в общем виде транспортную задачу линейного программирования по критерию стоимости. Эта задача имеет значение тогда, когда время не является определяющим фактором при организации перевозок.

Пусть имеется m складов, в которых сосредоточен некоторый однородный продукт (ГСМ, боеприпасы и т.д.) в количествах соответственно а i (i=1,2,…,m) единиц. Имеется n потребителей этого продукта в количествах соответственно b j (j=1,2,…,n) единиц. На основании опытов и расчетов известно, что на доставку одной единицы продукта с i-того склада j-тому потребителю затрачивается с ij денежных единиц.

Все значения c ij являются постоянными величинами. Перечисленные исходные данные помещены в таблице 1.

Обозначим через x ij ³0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…n) количество продукта, планируемого для доставки с i-того склада j-тому потребителю. Естественно, что если x ij =0, то доставка продукта с i-того склада j-тому потребителю не планируется. План обеспечения всех потребителей определяется таблицей (матрицей):

Таблица 1.

Склады	Потребители				Запасы на складах
1
…
Потребность

Очевидно, можно предложить большое число планов (1) обеспечения потребителей, но при выборе любого из них должны быть учтены условия:

(2)

(3)

Выражения (2) определяют, что с любого склада можно взять продукта не более имеющихся там запасов. Выражения (3) означают, что каждый потребитель обеспечивается полностью его заявке. По смыслу задачи должно выполняться условие:

Последнее выражение означает, что запасов на складах достаточно для снабжения всех потребителей.

Суммарная стоимость перевозок для любого выбранного плана (1) определяется выражением:

(4)

Транспортная задача линейного программирования по критерию стоимости формулируется следующим образом.

Найти такие значения x ij (т.е. найти такой план перевозок (1)), удовлетворяющий условиям (2), (3), при которых суммарная стоимость перевозок (4) будет минимальной.

При больших m и n эта задача решается на ЭВМ. Для этого нужно ввести в машину исходные данные, помещенные в таблице 1 и воспользоваться разработанной программой. При небольших m и n задача может быть решена вручную с использованием общих методов решения. Для значений m и n до 5-6 задачу часто удается решить путем прикидочных расчетов, перебором вариантов и логических размышлений.

Задача. Для обеспечения ГСМ четырех танковых соединений имеется три склада. Известны запасы ГСМ и потребности в нем соединений. Определение стоимости доставки одной тонны ГСМ из каждого склада в любое соединение. Все исходные данные записаны в таблице 2.

Сформулировать задачу линейного программирования для данных условий и определить такой план снабжения ГСМ соединений, при котором суммарный расход на его провозку будет минимальным.

Решение: Обозначим через x ij (i=1,2,3; j=1,2,3,4) количество ГСМ, планируемых для доставки с i-того склада (i=1,2,3) j-тому соединению (j=1,2,3,4).

Таблица 2.

Склады	Соединения				Запасы ГСМ на складах
1
2
Потребность в ГСМ

Выбор планов зависит от запасов ГСМ на складах и потребностей в нем соединений, что математически определяется выражениями:

(2 1)

(3 1)

Суммарные расходы на перевозку ГСМ определяются линейными выражениями:

Требуется определить такие значения x ij (выбрать такой план) удовлетворяющий выражениям (2 1) и (3 1), которые критерий эффективности обращают в минимум. Так формулируется задача линейного программирования для данных условий.

Эта задача решается элементарными подсчетами и рассуждениями.

Отметим в столбцах звездочками минимальные значения стоимости перевозки одной тонны ГСМ. В каждое соединение нужно планировать доставку из того склада, для которого эта стоимость будет наименьшей или близкой к ней, но с учетом расходов на доставку ГСМ и в другие соединения. Очевидно, в 1-е и 4-е соединение целесообразно завозить ГСМ полностью из 1-го склада, поэтому целесообразно выбрать x 11 =350, x 14 =500. Во второе соединение выгодно доставить горючее целиком с 3-го склада. Но тогда будут большие расходы при доставке ГСМ в 3-е соединение из 2-го склада. Поэтому целесообразно выбрать x 13 =50, x 33 =350, т.е. завести горючее в 3-е соединение с 1-го и 3-го складов, а 200 т. для 2-го соединения завести из склада, x 22 =200, x 32 =250. Результаты расчетов занесены в таблице 2, по которой удобно проверить выполнение условий (2 1), (3 1), найдя суммы x ij по строкам и столбцам.

При таком плане расходы будут минимальными:

Для сравнения, какую можно иметь экономию в средствах, выбрав оптимальный план, рассмотрим один из возможных планов:

x 11 =350, x 12 =450, x 13 =x 14 =0, x 21 =x 22 =x 23 =0,

x 24 =300, x 31 =x 32 =0, x 33 =400, x 34 =200

При этом плане стоимость перевозок будет равна:

Она больше на 1950 единиц K min , что составляет более чем 30%.

Полученное оптимальное решение является основой для применения объективного решения на снабжение ГСМ соединений с учетом конкретной обстановки.

2.ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ ПОРАЖЕНИЯ.

Задачи оптимального распределения средств поражения в общем виде формулируются так: имеется некоторое количество средств поражения и целей. Требуется так распределить средства поражения по целям, чтобы общий эффект применения был в определенном смысле оптимален.

Поражение противника является одним из важных элементов боевых действий. Поэтому решение задач на поражение является важным этапом при планировании и управлении боевыми действиями.

Различают два основных типа задач целераспределения:

Для средств поражения, находящихся в обороне;

Для средств поражения нападения;

Распределение средств поражения обороны осуществляется в ходе боевых действий, выявляемые цели и возникающие условия заранее неизвестны и во многом определяются противником. Расчеты нужно производить очень быстро, что возможно при наличии современных вычислительных средств.

Распределение средств нападения по выявленным целям может быть спланировано заранее на основе расчетов. Однако резкой границы между этими вариантами нет потому, что в обоих случаях выявляются новые цели, изменяются условия и потребуется производить перерасчеты.

Задача распределения средств поражения при ведении боевых действий в полной мере очень сложна и требует учета большого числа факторов. Некоторые же частные задачи успешно решаются с помощью линейного программирования.

Рассмотрим первую из таких задач. Имеется m различных средств поражения и n целей. Принимаются следующие допущения:

Число средств поражения не превосходит числа целей m£n;

Цели имеют разную важность, определяемую коэффициентом важности k j (j=1,2,…,n);

За каждой целью не может быть закреплено более одного средства поражения, то есть должно быть обстреляно максимальное число целей;

Известны вероятности p ij поражения i-ым средством j-ой цели, которые составляют таблицу вероятностей поражения :

(5)

Таблица вероятности поражения вычисляется по соответствующим формулам теории стрельбы.

Закрепление или не закрепление i-того средства поражения за j-той целью выражается величиной x ij , принимающей значение 1, когда имеется закрепление, и 0, когда его нет.

План распределения средств по целям будет определяться таблицей (таблицей 1). За критерий эффективности в общем случае выберем взвешенное математическое описание числа уничтоженных целей, которое определяется выражением

(6)

где k j (j=1,2,…,m) – коэффициенты, определяющие важность целей. Если цели имеют одинаковую важность, то k 1 =k 2 =…=k m =1. При этих значениях выражение (6) является математическим ожиданием числа уничтоженных целей. Требование, чтобы каждое средство было закреплено за какой либо целью, определяется выражениями

(i=1,2,…,m) (7)

Условия, что за каждой целью закрепляется не более одного средства поражения, определяются выражением

(j=1,2,…,n) (8)

В случае знака равенства во всех выражениях (8) имеет место m=n, в противном случае m

Найти такие целые значения x ij ³0 (найти такой план), удовлетворяющие условиям (7) и (8), которые обращают критерий эффективности (6) в максимум.

Как видно, эта задача линейного программирования, причем транспортного типа. В отличие от задачи на перевозку здесь ищутся значения x ij , принимающие только два возможных значения: 0 и 1.

При малых m и n задачи целераспределения могут решаться путем элементарных расчетов и рассуждений.

Задача. Разведкой обнаружены три равноценные цели противника. Для их уничтожения выделяется командованием три средства поражения. Известны вероятности поражения каждой цели любым средством (таблица 3).

Таблица 3.

Средства поражения				Количество поражения
1
2
Количество целей

Требуется сформулировать задачу линейного программирования по критерию математического ожидания для данных условий и определить оптимальный план целераспределения.

Решение. Критерий эффективности в этой задаче согласно формуле (6) определяем выражением:

Здесь положено k 1 =k 2 =k 3 =1, т.к. все цели равноценны. Выражения (7) и (8) для условия задачи будут иметь вид:

(10)

(11)

Найти такие целые положительные корни x ij уравнений (10) и (11), при которых критерий эффективности (9) примет максимальное значение.

Для определения оптимального плана найдем в столбцах таблицы 3 максимальные значения вероятностей и отметим их звездочками. Очевидно, что за второй целью нужно закрепить 3-е средство (x 32 =1). Первое средство одинаково целесообразно закрепить за 1-ой или 3-ей целью. Но так как ближайшее значение к максимальной вероятности для 3-ей цели больше, чем для 1-ой, то целесообразно 1-ое средство закрепить за 1-ой целью (x 11 =1), a 2-oe средство за 3-ей целью (x 23 =1).

Максимальное значение математического ожидания числа пораженных целей будет равно:

При оптимальном плане будет поражено в среднем две цели. Для сравнения рассмотрим следующий план: x 13 =1, x 22 =1 и x 31 =1. При этом плане средние потери будут равны

Таким образом, только за счет оптимального целераспределения эффективность средств поражения может быть значительно повышена (в данном примере почти в два раза). Этот факт имеет не только экономическое значение, но и повышает оперативность выполнения задачи на поражение цели.

III. СИМПЛЕКС-МЕТОД.

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Пусть дана система n линейных уравнений с m переменными (n

(3.22)

Предположим, что среди детерминантов n-го порядка, которые можно составить из коэффициентов n первых столбцов, отличен от нуля.

Тогда систему (3.22) можно разрешить относительно переменных x 1 , x 2 , …,x n которые, как и раньше, будем называть базисными переменными. В результате решения системы (3.22) базисные переменные будут выражены через остальные переменные x n+1 , x n+2 , …, x m , называемые свободными. Число свободных переменных k=m-n. Мы имеем решение системы (3.22) в виде:

(3.23)

Свободные переменные остаются произвольными. Давая им различные значения, получим все решения системы (3.22). Одно из решений найдем, если все свободные переменные приравняем к нулю. Тогда получим:

x 1 =b 1 , x 2 =b 2 , …, x n =b n ; x n+1 =x n+2 =…=x m =0

Если все числа b 1 , b 1 , …,b n неотрицательны, то мы будем иметь неотрицательное решение системы (3.22), соответствующее угловой точке (вершине) многогранника неотрицательных решений, это так называемое опорное решение.

Решить систему относительно базисных переменных x 1 , x 2 , …,x n , используя свойства определителей n-го порядка, очень удобно. Мы будем решать эту систему путем последовательного исключения неизвестных.

Запишем в виде таблицы коэффициенты уравнений (3.24) и элемент a 11 заключим в рамку

(3.27)

коэффициенты от неизвестных свободных членов отделим чертой, а элемент a 11 , заключенный в рамочку, будем называть разрешающим элементом.

Выпишем соответствующую таблицу для коэффициентов уравнений (3.26)

(3.28)

Коэффициент a’ 21 равен нулю

Из уравнения (3.25) следует, что

На таблице (3.27) соединим элемент a 2j c разрешающим элементом прямой линией. Рассмотрим прямоугольник, диагональю которого является проведенная линия. Эту диагональ будем называть первой диагональю. Второй диагональю является прямая, соединяющая элементы a 21 и a 1j , обведенные кружком. Как следует из формулы (3.29), чтобы получить элемент a 2j , нужно из произведения элементов первой диагонали вычесть произведение второй диагонали. Остальные элементы второй строки вычисляются по этому же правилу. Это правило напоминает правило вычисления детерминантов второго порядка, поэтому будем коротко называть его D-правилом.

Переход от таблицы коэффициентов (3.27) к таблице (3.28), совершаемый с помощью D-правила, будем называть симплекс преобразованием или S-преобразованием одной таблицы в другую.

Очевидно, для выполнения S-преобразования с помощью первого уравнения необходимо, чтобы коэффициент a 11 ¹0 в противном случае переменная x 1 в первом уравнении будет отсутствовать.

Если теперь возьмем первое уравнение системы (3.22) и третье и проделаем такие же вычисления, то исключим x 1 из третьего уравнения. Продолжая такие же вычисления, исключим x 1 из всех уравнений, кроме первого. Вычисления будем производить в следующем порядке. Сначала запишем таблицу коэффициентов системы (3.22)

(3.30)

Если a 11 ¹0, и мы хотим исключить x 1 с помощью первого уравнения, то принимаем элемент a 11 за разрешающий и в таблице (3.30) обводим его рамкой. Строка и столбец, в которых находится разрешающий элемент, называются соответственно разрешающей строкой и разрешающим столбцом. В таблице (3.30) это первая строка и первый столбец.

Применяя симплекс преобразование, перейдем к новой таблице. В новой таблице элементы разрешающей строки переписываются без изменений. Все элементы разрешающего столбца, кроме самого разрешающего элемента заменяются нулями.

Остальные элементы новой таблицы вычисляются по D-правилу. Например, для вычисления элемента a’ ij соединяем элемент a ij на таблице (3.30) с элементом a 11 прямой. В результате имеем первую диагональ. Вторая диагональ получается от соединения элементов a i1 и a 1j , обведенных на таблице кружками. По D-правилу имеем

При выполнении симплекс преобразования диагонали, изображенные на таблице (3.30), на самом деле проводить не нужно: они легко выделяются в уме.

Выполнив S-преобразование над таблицей (3.30), мы получим новую таблицу

(3.31)

Этой таблице соответствует система уравнений:

(3.32)

Система (3.32) эквивалентна первоначальной системе (3.22), но в системе (3.32) переменная x 1 исключена из всех уравнений, кроме первого. Если в таблице (3.31) элемент a’ 22 ¹0, то, приняв его за разрешающий элемент и проделав над таблицей (3.31) S-преобразование, получим новую таблицу. И в системе уравнений, соответствующей этой таблице, переменная x 2 будет исключена из всех уравнений, кроме второго.

Если в таблице (3.31) a’ 22 =0, то во втором столбце найдем элемент, не равный нулю, и примем его за разрешающий. Пусть это будет a’ 12 . Тогда выполняя симплекс преобразование над таблицей (3.31), мы исключим x 2 из всех уравнений, кроме i-того. Продолжая так дальше, мы после n преобразований придем к таблице, имеющей, например, следующий вид.

(3.33)

Таблице (3.33) соответствует система уравнений, эквивалентная первоначальной системе. Эта система уравнений имеет вид:

(3.34)

Можно считать, что система (3.34) решена относительно базисных переменных x 1 , x 2 , …, x n . Переносить члены, соответствующие свободным переменным, в правую часть для фактического решения системы (3.34) относительно базисных переменных не будем, так как в дальнейшем нас будет интересовать решение, где все свободные переменные равны 0.

Полагая x n+1 =x n+2 =…=x m =0, получим:

Если окажется, что x 1 ³0, x 2 ³0, …, x m ³0, то совокупность чисел (x 1 , x 2 , …, x n , 0, 0, …, 0) дает неотрицательное решение системы.

Рассмотрим пример. Дана система уравнений

Нужно данную систему разрешить относительно переменных x 1 , x 2 , x 3 . Следовательно свободными переменными будут x 4 , x 5 , x 6 . Напишем таблицу, соответствующую данной системе уравнений.

Решим систему относительно x 1 с помощью первого уравнения. За разрешающий элемент принимаем первый элемент первой строки, и подвергнем таблицу S-преобразованию. Получим новую таблицу, где первая строка переписывается, в первом столбце записываются нули, а остальные элементы вычисляются по D-правилу.

Этой таблице соответствует система уравнений, разрешенная относительно x 1 (x 1 входит только в первое уравнение). Исключить x 2 удобнее с помощью третьего уравнения, так как коэффициент при x 2 в третьем уравнении равен единице. Принимаем его за разрешающий элемент. Пишем новую таблицу

Система уравнений, соответствующая этой таблице, разрешена относительно x 1 и x 2 (x 1 входит только в первое уравнение, а x 2 только в третье).

Для разрешения системы относительно x 3 за разрешающий элемент берем коэффициент при x 3 во втором уравнении. Новая таблица имеет вид

Последняя таблица соответствует системе, решенной относительно базисных переменных x 1 , x 2 , x 3 . Полагая свободные переменные x 4 , x 5 , x 6 равными нулю, получим уравнения:

3x 1 =-18, откуда x 1 =6

3x 2 =-6, откуда x 2 =2

3x 3 =3, откуда x 3 =-1

Совокупность чисел x 1 =6, x 2 =2, x 3 =-1, x 4 =0, x 5 =0, x 6 =0 есть одно из решений данной системы. Оно не принадлежит к области допустимых решений, так как одна из координат x 3 отрицательна.

Для решения задачи линейного программирования важно уметь находить неотрицательные (опорные) решения данной системы уравнений.

Правило выбора разрешающего элемента при отыскании неотрицательного решения системы уравнений.

Пусть дана система уравнений

(3.36)

Если при выполнении симплекс преобразований при переходе от одной системы к другой будем следить за тем, чтобы разрешающие элементы были положительными, то на последнем этапе разрешения системы относительно базисных переменных получим систему вида (3.34) и по формулам (3.35) найдем неотрицательные значения базисных переменных. Составляем отношения свободных членов b k к положительным элементам a kj разрешающего столбца и среди чисел выбираем наименьшее значение. Если наименьшее значение достигается при k=i, то i-номер разрешающей строки, а разрешающим элементом будет a ij .

Рассмотрим пример отыскания неотрицательных решений системы уравнений.

Пример. Найти неотрицательное решение системы уравнений

Пишем таблицу, соответствующую данной системе

Пробуем разрешить эту систему относительно x 1 , т.е. переменную x 1 будем считать базисной переменной. Первый столбец будет базисным столбцом. Составляем отношения свободных членов к положительным элементам первого столбца 10/2=5; 4/7. Наименьшее из этих чисел 4/7. Числа 4 и 7 находятся во второй строке. Следовательно разрешающей строкой будет вторая строка и разрешающим элементом число 7. Выполняя симплекс преобразование, получим новую таблицу

Этой таблице соответствует система уравнений, разрешенная относительно базисной переменной x 1 . Так как обе части любого уравнения системы можно умножать и делить на любое постоянное число (система при этом будет эквивалентна прежней), то если строки таблицы имеют общий множитель, на него можно сократить. Последняя строка предыдущей таблицы имеет общий множитель 7; сокращая на него, получим таблицу

Введем в базис переменную x 3 , т.е. примем за разрешающий столбец третий столбец.

Из двух отношений 62/13 и 10/3 меньшим является второе. Следовательно, разрешающим элементом будет 3. Выполняя симплекс преобразование получим таблицу

Первую строку сокращаем на 28, вторую на 21

Введем в базис переменную x 2 . Разрешающим элементом будет 5. Снова выполняя симплекс преобразования, получим таблицу

Последнюю строку сокращаем на 3

Эта таблица соответствует системе уравнений, разрешенной относительно базисных переменных x 1 , x 2 , x 3 . Свободными переменными здесь являются x 4 и x 5 . Полагая свободные переменные равными нулю, получим:

5x 1 =12, x 1 =12/5; 5x 2 =2, x 2 =2/5; 5x 3 =18, x 3 =18/5;

Совокупность чисел x 1 =12/5; x 2 =2/5; x 3 =18/5; x 4 =0; x 5 =0

Дает неотрицательный ответ данной системы уравнений. Эти числа можно рассматривать как координаты угловой точки (вершины) множества (многогранника) допустимых решений.

ЛИТЕРАТУРА

Малявко К.Ф. «Применение математических методов в военном

Журко М.Д. «Математические методы и основы их применения

в управлении войсками».

Журнал Квант №6 за 1989г.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Выходные сведения статьи: Наследие нобелевских лауреатов по экономике: Шестакова А.А., Забродова О.С. Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов // Наследие нобелевских лауреатов по экономике: сб. ст. III Всерос. науч.-практ. конф. молод. учен. - Самара, Наследие Леонида Канторовича, Тьяллинга Купманса: теория оптимального распределения ресурсов 2016 Шестакова Александра Александровна студент Забродова Олеся Сергеевна студент 2016 Уфимцева Людмила Ивановна доцент 2016 Безгласная Елена Алексеевна доцент Самарский государственный экономический университет Описание модели Канторовича и модели "анализа деятельности фирмы" Купманса, практическое применение линейного программирования, рассмотрен метод оптимизации распределения ресурсов Канторовича на примере аналогичной задачи, с помощью графического, математического способов и симплекс-метода. Ключевые слова: Л.В. Канторович, Т. Ч. Купманс, нобелевская премия, оптимизация распределения ресурсов, линейное программирование. Heritage Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: theory of optimal allocation of resources 2016 Shestakova Aleksandra Aleksandrovna student Zabrodova Olesya Sergeevna student 2016 Ufimtseva Lyudmila Ivanovna 2016 Bezglasnaya Elena Alekseevna Samara State University of Economics Description of the Kantorovich model and the Kupmans model of firm activity analysis, practical use of linear programming, a method of optimizing the resources allocation by Kantorovich is considered on an example of a similar problem, using graphical, mathematical method and simplex algorithm.

2 Keywords: L.V. Kantorovich, Tjalling Koopmans, Nobel prize, optimization of distribution a resources, linear programming. Вплоть до ХХ в. ученые-экономисты не уделяли должного внимания математическим методам как способам решения поставленных задач на макро и микро уровнях хозяйственной деятельности. Тем не менее, между этими науками наблюдается тесная связь, которую удалось продемонстрировать выдающимся ученым. Одними из них выступают Л.В. Канторович и Т.Ч. Купманс, советский и американский экономисты-математики, которые по результатам своей деятельности получили Нобелевскую премию в 1975 г. "за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов". Модель Л.В. Канторовича, СССР. Л.В. Канторович стал одним из основателей важнейшего и наиболее часто применяемого метода оптимизации - линейного программирования. В 1937 г. перед Л. Канторовичем была поставлена задача выбора наилучшей производственной программы загрузки лущильных станков для фанерного треста. При этом известно количество станков, которые можно использовать для производства определенных изделий, а также количество деталей, из которых состоит изделие. Технические коэффициенты показывают, какое количество штук каждой детали станок может произвести в день. Другими словами, Канторовичу нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией максимизировать выпуск готовой продукции. Таким образом, ученый столкнулся с типичным представителем целого нового класса задач, к которым приводят вопросы нахождения наилучшего производственного плана. Свою идею, что впоследствии стало основой теории оптимального распределения ресурсов и ознаменовало открытие линейного программирования, Канторович изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней профессор впервые продемонстрировал, что разнообразные производственные проблемы можно сформулировать как задачи оптимизации определенного вида и предложил общий подход к их решению, методом итерации. Для решения задачи Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве, и количеством произведенной продукции на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (в дальнейшем объективно обусловленные оценки). С их помощью решается поставленная задача. Объективно обусловленные оценки являются ключевым моментом в методе Канторовича. Их связывают с интерпретацией, аналогичной множителям Лагранжа в классических задачах определения экстремума, и экономическая сущность заключается в том, что они являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Также эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Таким образом, было совершено открытие, которое позволяет оптимизировать производство, появляется возможность децентрализованным образом руководить деятельностью производственных секторов, технологическая структура которых может быть описана посредством линейных зависимостей (уравнений и неравенств). "Анализ деятельности" Т.Ч. Купманса, США. Несколько позже Канторовича, Купманс в своей работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942) рассмотрел проблему разработки плана торгово-

3 Наследие нобелевских лауреатов по экономике: го мореплавания с минимальной возможностью торпедирования суден подводными лодками. Он пришел к умозаключению, что задачу следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения, в свою очередь, ученый представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом общая величина затрат не может превышать сумму стоимости доставленных в каждый порт грузов. Купманс сделал вывод, что суть принципа линейного программирования заключается в совпадении по идеальным оценкам ресурсов издержек и результатов производства в оптимальном случае. Метод Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования. Модели этого типа отличаются от линейных тем, что в них производство может быть связано с выпуском нескольких товаров. Также возможен выбор между разными технологиями изготовления каждого вида продукции. Важным является тот факт, что применение модели возможно как в экономической теории, так и в практике управления. Это связано с определением коэффициента, равного цене затрат в условиях идеального рынка, с помощью полученных уравнений. Модель Купманса представляет большую ценность не только для центральных планирующих органов, но и для любых децентрализованных процессов производства, где наблюдается необходимость действовать в условиях наличия ограничений по ресурсам. Центральные органы могут задавать условия цен на затраты, в свою очередь оставляя выбор оптимальных путей местным руководителям. Внутри фирмы метод "анализа деятельности" позволяет наиболее эффективно организовать работы. Действенность метода линейного программирования Чтобы оценить валидность метода, мы рассмотрели экономическую задачу, аналогичную поставленной перед Канторовичем. Предположим, некоторое предприятие выпускает пиломатериалы и фанеру. Для их изготовления используются еловые и пихтовые лесоматериалы на единицу продукции. Таблица 1 - Доход от реализации и запасы сырья лесоматериалы расход лесоматериалов на единицу продукции Запасы сырья пиломатериалы фанера еловые пихтовые количество продукции доход от единицы продукции Составим план выпуска пиломатериалов и фанеры, который приносит наибольшую прибыль: Пусть план выпуска - пиломатериалов, - фанеры. Тогда прибыль составит: Z(x)= max. Ограничения составим по запасам сырья: ;

4 Рассмотрим задачу графически: D-область решений системы ограничений; ; линии уровня Z(x)=c проходят перпендикулярно вектору с и на этих прямых значение прибыли равное. При перемещении линии уровня по направлению вектора с значение прибыли увеличивается и наибольшее значение будет в точке М. Точка М - пересечение прямых Итак, прибыль максимальна при производстве 20м пиломатериала и 1200м фанеры. При рассмотрении двух продуктов метод прост и легко может быть представлен в виде графика. Но он применим и для решения задач более высоких порядков, подразумевающих рассмотрение трех или более продуктов. В этих случаях мы не можем использовать графическое решение, но Канторович разработал алгоритмическое, при помощи которого решения могут быть получены путем последовательного приближения - симплекс-метод. Подобные задачи можно решить симплекс-методом с помощью компьютерных программ. Решение задачи с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Office Excel: Таким образом, у нас получилось найти оптимальное решение с помощью линейного программирования. Полученные значения данное предприятие вполне может установить в план для организации производственной деятельности по выпуску фанеры и пиломатериалов. Из всего вышесказанного следует, что благодаря деятельности Канторовича и Купманса, не только математика, но и экономика приобрела новый, достаточно универсальный, удобный и необходимый раздел - линейное программирование и, таким образом, была заложена основа методов оптимизации. Изобретение линейного программирования помогает в решении главной проблемы экономики - оптимального распределения ограниченных ресурсов. Приведенные модели с помощью линейного программирования обеспечивают выбор из нескольких решений такого варианта, который максимизирует выпуск продукции, причем не

5 Наследие нобелевских лауреатов по экономике: только на уровне предприятия, но и на макроэкономическом уровне. Ведь спектр применения метода широк и разнообразен - в задачах рационального использовании сырья и материалов; оптимальной организации перевозок; оптимизации размещения предприятий; эффективного планирования многих процессов производства и т.д. Также линейное программирование стало прочной основой для возникновения множества других методов, которые позволяют найти оптимум для производства любой сложности, любой системы ограничений. Список литературы 1. Нобелевские лауреаты ХХ века. Автор - Васина Л.Л., 2001 г. 2. Экономико-математические методы и модели. Задачник. Авторы: Р.И. Горбунова Р.И., Макаров С.И., Уфимцева Л.И., 2008 г. 3. Йохансен Л., "Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку", 1976 г. 4. Канторович Л.В., "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов", 1959 г. 5. Довбенко М. В., Осик Ю. И., "Современные экономические теории в трудах нобелиантов", Москва, 2011 г.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Дегтярёва Нина Адамовна, к.э.н., доцент Коммерческая работа - это деятельность предприятия, направленная на решение особого комплекса задач. Изучение

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Князева А., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» Филиал в г. Самаре ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL Временем рождения линейного

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Борисова М.В., Недопёкина К.И. Компьютерная реализация процедур линейного программирования // Академия педагогических идей «Новация». Серия: Студенческий научный вестник. 2019. 3 (март). АРТ 195-эл. 0,2

SWorld - 2-12 October 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/oct-2012 SCIENTIFIC RESEARCHES AND THEIR PRACTICAL APPLICATIO N.

Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Задачи оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задачи линейного программирования Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений» Направление подготовки 080100.62 «Экономика» Профиль «Экономика и управление инвестициями»

Федеральное агентство по образованию НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ - «НИНХ» Рег. 24-0/02 Кафедра Высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СИМПЛЕКС-МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ХЛЕБОПЕКАРНОГО МАГАЗИНА «ШОКОЛАДНИЦА» Кирнозова И.Р. Ставропольский государственный аграрный университет, Ставрополь, Россия MATHEMATICAL

Методы оптимальных решений Контрольная работа Задача 1. Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего).

Математическое программирование Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему получения наибольшего эффекта, при затрате ограниченных средств. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ 50» Графический метод решения задач линейного программирования

MPRA Munich Personal RePEc Archive Use of tools of analytical geometry for search of an extremum of production function Natalia Aleksenko and Nadezhda Il ina and Victoriya Motrich Financial University

Экономические приложения теории экстремумов функций двух переменных Ляликова Е Р Ляликова Елена Реомировна / Ljalikova Elena Reomirovna - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка

Исследование операций в экономике УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией профессора Í. Ø. Êðåìåðà Рекомендовано Министерством образования РФ в качестве учебного пособия

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ «НИНХ» Рег. 754-16/02 Кафедра статистики МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра

Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ШКОЛЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Становление Применение математических методов в отечественных экономических исследованиях традиция, возникшая

Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ КАК ФУНКЦИИ EXCEL Команда Подбор параметра Задание 1. Рассмотрим задачу, составленную на основании задачи по использованию функции ЧПС. Вас просят

Токарев К.С. Графическая интерпретация взаимосвязей решений исходной и двойственной задач линейного программирования // Академия педагогических идей «Новация». Серия: Студенческий научный вестник. 2018.

Динамическая задача определения оптимальной производственной программы Мищенко А.В., Джамай Е.В. В современной динамично меняющейся экономике прогрессивные изменения в народнохозяйственном комплексе страны

Практическая работа 8 Решение задач линейного программирования графическим методом. Цель работы: Научиться решать задачи линейного программирования графическим методом. Содержание работы: Основные понятия.

1 УДК: 004.032:633/635 ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕВОЗОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ВИЗУАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ Замотайлова Дарья Александровна студентка Бурда Алексей Григорьевич

Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 2 План темы 3 «Транспортная задача»: 3.. Постановка задачи, основные определения 3.2. Закрытая и открытая транспортная задача 3.3. Метод северо-западного угла 3.4. Метод потенциалов

Сальникова Н. И. к.э.н., доцент, доцент кафедры экономической теории Институт экономики и управления КФУ им. В. И. Вернадского Росиия, г. Симферополь ЭФФЕКТИВНОСТЬ И ЕЕ ТРАКТОВКА В ОТЕЧЕСТВЕННОЙ И ЗАПАДНОЙ

Решение задачи по предмету «Теория принятия решений» Фирма «Х» производит три типа химикатов. На предстоящий месяц эта фирма заключила контракт на поставку следующих количеств трех типов химикатов; Тип

АНАЛИЗ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА НА ПРИМЕРЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Логунова Ю.А. Самарский государственный экономический университет Самара, Россия THE ANALYSIS OF CONSUMER CHOICE BY THE EXAMPLE

Задание: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Вариант 2. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более, чем на 5000 студентов. Университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

УДК 330.46 Прикладные возможности WolframAlpha для решения задач линейного программирования Соколов Арсентий Борисович Российский экономический университет им. Г.В.Плеханова Магистрант Научный руководитель:

Аналитическое задание фигур на плоскости. Задачи оптимизации Окружность с центром в точке A 0 (x 0,y 0) и радиусом R задается уравнением (x-x 0) 2 + (y-y 0) 2 = R 2. Круг, ограниченный этой окружностью,

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Кафедра математики Н. П. Анисимова, Е. А. Ванина ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие

УДК 519.852:330.4 Курышева А.С. студентка специальности «Экономическая безопасность», Институт экономики, НИУ «БелГУ», Россия, г. Белгород Зуева Е.О. студентка специальности «Экономическая безопасность»,

0 (75) 0 Экономико-математическое моделирование УДК 59.853.3 РЕШЕНИЕ РЯДА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АЛГОРИТМАМИ МЕТОДА ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕПОЛНОЙ МИНИМИЗАЦИЕЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ А. Г. ИСАВНИН, доктор физико-математических

Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК ПРЕДПРИЯТИЯ Абрамкина Т.Н. Самарский государственный экономический университет Самара, Россия OPTIMIZATION METHODS OF FIRM LOGISTICAL COSTS Abramkina T. Samara

Двойственные задачи Содержание Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства 5 Теоремы двойственности

Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

УДК 00.57: 004.94 М.Б. Котляревский доктор физико-математических наук, профессор П.В. Захарченко кандидат техничних технических наук, доцент Академия управления и информационных технологий «АРИУ», г.бердянск

УДК 5: 378 ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ «ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В Г Гетманов докт техн наук, профессор профессор каф информатики и прикладной математики e-ml:

Глава Экстремумы функций нескольких переменных Локальные экстремумы функций двух переменных Условные экстремумы Функция z f) имеет максимум минимум) в точке M если можно найти такую окрестность точки

1. 2 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: ознакомить студентов с различными математическими моделями в экономике, такими, как модель межотраслевого баланса, модель экономического

Классическая транспортная задача, решенная методом потенциалов Лозгачёв И. А., Корепанов М. Ю., студенты. ФГБОУ ВПО «Уральский государственный горный университет» Екатеринбург, Россия The classical transport

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Методы оптимальных решений» Направление 08000 Экономика для подготовки студентов бакалавров

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Excel и Mathcad ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе

Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений

XLI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: общественные и экономические науки» MS EXCEL КАК СРЕДСТВО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Кафедра «Технология деревообработки» МОДЕЛИРОВАНИЕ

Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Грук Любовь Владимировна Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 603 Фрунзенского района Санкт-Петербурга ФУНКЦИИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Функциональная

Леонид Витальевич Канторович (Kantorovich) (19.01.1912 г. 7.04.1986 г.) Нобелевская премия по экономике 1975 г. (совместно с Тьяллингом Купмансом) Российский экономист-математик Леонид Витальевич Канторович

Лекция 2. Основная задача линейного программирования. Все задачи линейного программирования могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть максимизирована, а все ограничения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Контрольная работа Задача 5 На предприятии имеется сырье видов 1, 2, 3 Из него можно изготавливать изделия типов А и В Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют b 1, b 2, b 3 ед соответственно,

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА

Линейное программирование в задачах управления производством Многие задачи управления, экономики и организации производства решаются с использованием метода линейного программирования. Модель линейного

«NAUKA- RASTUDENT.RU» Электронный научно-практический журнал График выхода: ежемесячно Языки: русский, английский, немецкий, французский ISSN: 2311-8814 ЭЛ ФС 77-57839 от 25 апреля 2014 года Территория

Банк заданий для промежуточного контроля Тест. Тема «Линейное программирование» Состоит из - 3 теоретических вопроса по теме и 4 6 практических заданий, предусматривающих умения и навыки: составлять математические

До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Петербурге, учился в Ленинградском университете. В 1930 г. Л. Канторович был участником Всесоюзного математического съезда. В этом же году закончил университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. В 1930-1939 гг. работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, потом (до 1948) - заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища.
В 1935 г. стал доктором физико-математических наук; до 1960 г. он - профессор Ленинградского университета. Ему принадлежат первоклассные результаты по функциональному анализу, теории функций, вычислительной математике. Широкое признание приобрели его работы по дескриптивной теории функции и теории множества, по конструктивной теории функций, приблизительным методам анализа; он заложил основы нового направления функционального анализа - теории полуупорядоченных векторных пространств, которые названы «К-пространствами». Феномен Л. Канторовича в том, что он одновременно был талантливым математиком и экономистом, который внес коррективы в понимание экономических явлений, расширил экономическое мышление, стал основоположником оригинальной экономической школы.
В 1958 г. вместе с В. Немчиновым Л. Канторович создал Лабораторию по внедрению статистических и математических методов в экономике.
Л. Канторович принимал участие в создании Сибирского отделения Академии наук СССР. Осенью 1960 г. в Ленинграде возглавил группу математиков и экономистов, которая переехала в Новосибирск и вошла в состав Института математики Сибирского отделения АН СССР как математико-экономический отдел. Одновременно работал профессором Новосибирского университета. В 1971 г., переехав в Москву, ученый возглавлял Проблемную лабораторию в Институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике.
Является автором работ: «Методы приблизительного решения дифференциальных уравнений в частных производных» (в соавторстве с В. Крыловым) (1963), «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (в соавторстве с Б. Вулихом и А. Пинскером) (1949), «Функциональный анализ и прикладная математика» (1948), «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), «Функциональный анализ в нормированных пространствах» (в соавторстве с Г. Акиловым), «Динамическая модель оптимального планирования» (1967), «Ценообразование и технический прогресс» (1979) и др.
Л. Канторович - почетный член Международного Эконометрического общества, почетный доктор Гренобльского, Хельсинского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Халле, Статистического института в Калькутте. Награжден двумя орденами Ленина.
Важнейшим вкладом Л. Канторовича явилась теория оптимального распределения ресурсов.
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования.
Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Его началом стал поиск решения практической задачи. В 1937 г. к профессору Ленинградского университета Л. Канторовичу обратились инженеры местного фанерного треста с просьбой найти эффективный способ для обеспечения наивысшей производительности труда. Для обработки 5 видов материала выделили 8 станков с определенной производительностью каждого из них по каждому виду материала.
Другими словами, нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией («функционалом») - максимизировать выпуск готовой продукции. Известными на тот момент методами это сделать было трудно, поскольку было необходимо решить почти миллиард алгебраических уравнений. Л. Канторович предложил метод линейного программирования, который стал новым разделом в математике и получил признание в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники.
Ученый понимал важность создания математической основы для решений типовой хозяйственной задачи. Условия задачи на оптимальность и цель могут выражаться с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, которые можно изобразить на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача имеет несколько вариантов решения, а найти необходимо один.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве (деревом, клеем, электроэнергией, рабочим временем), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (мультипликаторами). С их помощью решается поставленная задача. Если значения решающих множителей известны, то необходимые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно сравнительно легко найти.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Внедренный Л. Канторовичем термин «решающие множители» в более поздних трудах получил несколько другую интерпретацию и другую формулировку - «объективно обусловленные оценки». Эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Значения этих оценок подходят только для конкретной задачи и, в отличие от цен, задаются не извне, а определяются самим предприятием для внутреннего пользования. Ученый предлагал рассчитать их в разработке планов; на эти показатели могут опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедренные
в практику планирования и управления такие расчеты должны оптимизировать использование ресурсов.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
На оригинальный подход Л. Канторовича до 50-х годов почти не реагировали. Обобщив свои исследования, он расширил сферу анализа.
В работе «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» и в следующих работах он внедрил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в том числе и на национальном уровне.
Несколько позднее, но независимо от Л. Канторовича подобную методологию предложил Т.-Ч. Купманс.
Купманс (Koopmans) Тъяллинг-Чарльз (1910-1985) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Гравеланде (Нидерланды). Получил образование в Утрехтском университете. Увлекался сначала математикой и физикой, работал физиком, а под впечатлением от Великой депрессии начал заниматься экономикой.
С 1934 г. в Амстердамском университете изучал проблему общего равновесия. Докторскую диссертацию на тему «Линейный регрессивный анализ экономических временных рядов» защитил в 1936 г. в Лейденском университете. Преподавал экономику и занимался научно-исследовательской деятельностью в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме.
В 1938-1940 гг. работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного оборота. Эмигрировал в США. Преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах. С 1955 г. - профессор экономики Йельского университета. В 1950 г. был избран президентом Международного эконометрического общества, а в 1978 г. - президентом Американской экономической ассоциации.
Т.-Ч. Купманс был редактором и соавтором одного из первых фундаментальных трудов по линейному программированию «Анализ деятельности производства и распределения» (1951).
Ученому принадлежат важные достижения в разработке теории капитала, операционного анализа. Отдельные свои труды он посвятил оптимальному распределению производственных ресурсов, статистической оценке параметров в экономико-математических моделях.
Его детище - работы по статистике и математической экономике. Наибольшее признание получили работа «Анализ деятельности производства и распределения», подготовленная группой авторов под его руководством, а также работы «Статистическое заключение в динамических моделях экономики» (1950), «Три эссе о состоянии экономической науки» (1957) и др.
Т.-Ч. Купманс - заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского университета, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Северо-Западного и Пенсильванского университетов, Католического университета Лувена.
В 1944-1945 гг. по поручению англо-американского объединенного совета по регулированию мореплавания Т.-Ч. Купманс разработал план торгового мореплавания, который минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых суден фашистскими подводными лодками. Целью была минимизация холостого пробега суден.
Эту тему он затронул в работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942). Ученый показал, что проблему следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом величина любых затрат не может превышать явную сумму стоимости грузов, доставленных в каждый порт. Ученый пришел к выводу, что суть принципа линейного программирования заключается в том, что в оптимальном случае и по идеальным оценкам всех ресурсов издержки и результаты будут равными.
Работая в британской торговой миссии в Вашингтоне, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями. По этому методу можно было, например, рассчитать издержки на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозятся тысячами суден морскими путями в сотни портов. Метод Т.-Ч. Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования.
В 1947 г. ученый озвучил свои выводы на международной конференции по статистике. В то время он активно разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. При его содействии в 1949 г. в Чикаго была проведена первая специальная конференция по линейному программированию.
В 1950 г. Т.-Ч. Купманс вместе со своими сторонниками завершили формулирование метода анализа деятельности фирмы. Модели этого типа так же, как и межотраслевые, линейные, однако у них каждый вид производственной деятельности может быть связан с выпуском нескольких товаров. К тому же существует возможность выбора между разными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему появляются естественные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Севастопольский национальный технический университет

Факультет Экономики и менеджмента

На тему: Л.В. Канторович: разработка теории линейного программирования

по дисциплине «История экономики и экономической мысли»

Выполнила: ст. гр. МО-21

Ковалева С.Н.

Проверил: преподаватель

Керезь Е.С.

Севастополь 2009

1. Леонид Витальевич Канторович

1 Биография Л.В. Канторовича

2 Вклад в науку

3 Научные работы

Зарождение линейного программирования

Заключение

Введение

1. Леонид Витальевич Канторович

1Биография Л.В. Канторовича

Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) родился в Санкт-Петербурге в семье врача. Его выдающиеся способности проявились рано - в 14 лет он поступил в Ленинградский государственный университет. Закончив ЛГУ за 4 года, он поступил в аспирантуру. В 1932 г. он становится доцентом, а в 1935 г. - профессором ЛГУ. В 1935 г. ему присвоено звание доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1958 г. он избран членом-корреспондентом АН СССР по экономике, а в 1964 г. - академиком. За разработку метода линейного программирования и экономических моделей удостоен в 1965 году <#"justify">1.2Вклад в науку

Научное наследие Л. В. Канторовича огромно. Его исследования в области функционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач, дескриптивной теории функций оказали фундаментальное влияние на становление и развитие названных дисциплин. Л. В. Канторович по праву входит в число основоположников современного экономико-математического направления.

Л. В. Канторович - автор более трехсот научных работ, которые при подготовке аннотированной библиографии его сочинений он сам предложил распределить по следующим девяти разделам: дескриптивная теория функций и теория множеств, конструктивная теория функций, приближенные методы анализа, функциональный анализ, функциональный анализ и прикладная математика, линейное программирование, вычислительная техника и программирование, оптимальное планирование и оптимальные цены, экономические проблемы плановой экономики.

Столь впечатляющее многообразие направлений исследований объединяется не только личностью Л. В. Канторовича, но и его методическими установками. Он всегда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения самых разнообразных теоретических и прикладных проблем математики и экономики. Еще одной характерной чертой его творчества является тесная взаимосвязь с наиболее трудными проблемами и самыми перспективными идеями математики и экономики того времени.

Осветить творчество Леонида Витальевича в кратко невозможно. Сам он выделял из сделанного в науке две вещи: линейное программирование и K-пространства.

3Научные работы Л.В. Канторовича

Научные работы:

Первые научные результаты получены в дескриптивной теории функций и множеств и, в частности, по проективным множествам <#"justify">канторович математика вычислительный дескриптивный

2. Зарождение линейного программирования

Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование - это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств.

Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912-1986) метода линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов. Линейное программирование изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование - это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств.

Сам термин «линейное программирование» был предложен в 1951 году американским экономистом Т. Купмансом. За разработку метода линейного программирования или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за «вклад в теорию оптимального распределения ресурсов Л.В.Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом, который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.

Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках и восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией («функционалом») максимизировать выпуск готовой продукции.

Заслуга Канторовича состоит в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел математики, получивший широкое распространение в экономической практике, способствовавший развитию и использованию электронно-вычислительной техники.

С оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Леонид Витальевич выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина. Взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен - такова краткая суть экономического открытия Л. В. Канторовича.

В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков.

Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть сравнительно легко найдены.

Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют собой не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка.

Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевести 180т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого - 60 т, у третьего - 80 т.

Также неравнозначен спрос потребителей: он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния - плечи перевозки грузов - от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному количеству тонно-километров).

В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут «пройти» от плана перевозок, скажем, в 750 т/км к плану в 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же - трудно установить, какой из предлагаемых вариантов является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км.

Но остается неизвестным, нет ли еще одного или нескольких более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат.

Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к составлению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных показателей расчеты и сопоставления вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население Украины.

Метод линейного программирования позволяет найти оптимальное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изображены на графике прямыми линиями.

Несколько иной целевой критерий в задаче о диете (кормовом рационе). Задача сводится к поиску оптимального рациона для кормления скотины или птицы. При постоянном изменении рыночных цен на корма фермеры подбирают оптимальный рацион при минимуме затрат, производя соответствующие расчеты на компьютере.

Впервые работа, в которой излагалось существо предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием «Математические методы организации планирования производства». Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов.

В период Великой Отечественной войны, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокадном Ленинграде, Канторович, опираясь на метод линейного программирования, обосновывает оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. В 1942 г. он подготовил книгу «Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов», которая в тот период, к сожалению, не была опубликована.

Позже издается одна из наиболее крупных его работ «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959). В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного программирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели. Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования. Нельзя одно временно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны. Если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.

Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная - в максимизации.

Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной мере поиск оптимума - это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой-общественные потребности, полезности продукта для потребителей.

При непосредственном участии Канторовича и его ближайших коллег - В.В. Новожилова (автора идеи продуктово-трудового баланса) и В.С. Немчинова (обосновавшего глобальный критерий функционирования экономики) формировалась отечественная экономико-математическая школа.

Заключение

На первый взгляд, теории Л. В. Канторовича были, как он сам говорил приспособлены к плановой экономике, и т.д. Но это лишь внешняя сторона дела. Главное - учет скрытых параметров (рента), единый подход к ограничениям (труд - всего лишь одно из них) и все, что отсюда вытекает - делают его экономические приложения универсальными и необходимыми сейчас. Вообще, главный итог великого эксперимента Канторовича в том, что он подошел к экономическим проблемам вооруженный самыми современными для тех лет математическими средствами, и творчески применял их. Это не значит, что его выводы будут полностью работать и сегодня, но это, безусловно, значит, и в этом отношении Л.В. Канторович был, возможно, первым, что талант математика может в корне переустроить и преобразовать экономическую мысль.

Список использованных источников

1. История экономических учений: Учебное пособие / Под ред. А.Г. Худокормова. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - Ч. II, гл. 30.

Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

Капустин В.Ф., Шабалин Г.В. Л.В. Канторович и экономико-математические исследования: итоги, проблемы, перспективы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 5. Экономика. 1996. Вып. 2.

Пезенти А. Очерки политической экономии капитализма. В 2 т. - М.: Прогресс, 1976. Т. II , гл. 14.

Шухов Н.С. Ценность и стоимость. - М.: Изд-во стандартов, 1994. - Ч. 2, вып. 1, гл. 8.