Pribadi lembaga pendidikan pendidikan profesional yang lebih tinggi
"Institut Manajemen, Ekonomi dan Bisnis Kursk"
Pendidikan pasca sarjana
Program kerja disiplin ilmu
Riset Operasi di bidang Ekonomi
Keahlian: 08.00.05 “Ekonomi dan pengelolaan perekonomian nasional”
(menurut industri dan bidang kegiatan)"
K.Fisika. matematika..sci.,
Profesor Madya, Profesor MEBIK
Kursk – 2011
CATATAN PENJELASAN
Ke program kerja kursus "Riset Operasi di bidang Ekonomi"
Program disiplin ilmu “Riset Operasi Ekonomi” termasuk dalam blok disiplin ilmu pilihan program pendidikan profesi utama pascasarjana pendidikan kejuruan spesialisasi 08.00.05 – Ekonomi dan manajemen perekonomian nasional.
Riset operasi di bidang ekonomi adalah disiplin kompleks yang berhubungan dengan konstruksi, pengembangan, dan penerapan model matematika untuk membuat keputusan yang optimal. Saat ini, riset operasi adalah salah satu cabang matematika terapan yang berkembang paling pesat, dengan banyak penerapan. Perkembangan riset operasi erat kaitannya dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi dan komplikasi teknologi, dengan peningkatan signifikan dalam skala kegiatan yang dilakukan di berbagai bidang aktivitas manusia, dengan peningkatan biaya sumber daya material dan waktu yang tidak proporsional untuk pelaksanaannya; dengan meluasnya pengenalan teknologi komputer dan metode matematika di bidang manajemen.
Saat ini, metode riset operasi banyak digunakan dalam memecahkan berbagai macam masalah praktis, mulai dari perencanaan pengembangan ilmu pengetahuan jangka panjang hingga peramalan sektor jasa.
Tujuan kursus“Riset Operasi di bidang Ekonomi”: untuk memfasilitasi penguasaan metode riset operasi oleh mahasiswa pascasarjana, untuk membekali dia dengan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang memungkinkan dia untuk membangun hubungan antara penelitian matematika yang ketat, di satu sisi, dan masalah pengambilan keputusan praktis , di sisi lain.
Tujuan Kursus"Riset Operasi di bidang Ekonomi":
mempromosikan pemahaman tentang ide dasar, konsep dan metode riset operasi;
mengajarkan pembuatan, analisis, dan penggunaan model matematika masalah riset operasi untuk memprediksi dan mengoptimalkan proses yang terkait dengan berbagai bidang aktivitas manusia;
mendemonstrasikan aplikasi praktis riset operasi dalam sains, manufaktur, manajemen, industri jasa, konstruksi, dll.
Agar berhasil mempelajari mata kuliah “Riset Operasi di bidang Ekonomi”, diperlukan pengetahuan tentang dasar-dasar aljabar yang lebih tinggi, geometri analitik, dan analisis matematis.
Sebagai hasil dari mempelajari disiplin “Riset Operasi di bidang Ekonomi”
mahasiswa pascasarjana harus tahu:
dasar-dasar pemrograman linier;
metode untuk memecahkan masalah pemrograman bilangan bulat;
metode untuk memecahkan masalah transportasi”;
dasar-dasar teori pemrograman nonlinier;
dasar-dasar pemrograman dinamis;
unsur teori pemrograman stokastik;
elemen teori permainan;
dasar-dasar teori antrian;
seorang mahasiswa pascasarjana harus mampu:
membangun model matematika masalah pemrograman linier, bilangan bulat, nonlinier, dinamis;
memecahkan masalah pemrograman linier;
memecahkan masalah pemrograman bilangan bulat;
menyelesaikan masalah transportasi;
memecahkan masalah pemrograman nonlinier;
memecahkan masalah optimasi multi-langkah menggunakan pemrograman dinamis;
menemukan solusi untuk permainan matriks.
PERENCANAAN KURSUS TEMATIK
"Riset Operasi di bidang Ekonomi"
Pendidikan penuh waktu
Nama bagian, topik | Total jam dalam persalinan menyelesaikan- tulang | Termasuk ruang kelas | Diri sendiri- kedudukan- pekerjaan jangka panjang |
||||
Total | kuliah | seminar, praktik kelas catur | laboratorium- pelajaran tenaga kerja |
||||
Pengantar Riset Operasi. Dasar-dasar teori optimasi klasik | |||||||
Total | |||||||
Bentuk kendali akhir | ujian |
RINGKASAN
kursus "Riset Operasi di bidang Ekonomi"
Topik 1. Pengantar riset operasi. Dasar-dasar teori optimasi klasik
Konsep operasi. Maksud dan tujuan riset operasi. Contoh masalah riset operasi. Kedudukan disiplin riset operasi di antara disiplin ilmu terkait. Pengantar teori optimasi klasik. Konsep dasar dan definisi: masalah optimasi, jenis kriteria dan sifat-sifatnya, solusi optimal. Pernyataan masalah optimasi. Jenis solusi optimal. Solusi grafis. Konsep gradien dan interpretasi geometrisnya. Banyak solusi yang layak. Tahapan Riset Operasi. Klasifikasi metode riset operasi. Rumusan masalah yang khas, interpretasi geometrisnya, dan metode penyelesaiannya.
Topik 2. Optimasi satu dimensi tanpa syarat
Analisis fungsi secara analitis dan grafis. Kondisi perlu dan cukup untuk kondisi ekstrem. Proses menemukan solusi optimal secara numerik. Perkiraan awal. Kontrol akurasi. Klasifikasi metode numerik. Metode pencarian estimasi titik: metode langkah variabel terbalik, pendekatan kuadrat, metode Powell. Metode pengurangan segmen ketidakpastian secara berurutan: pencarian seragam, metode lokalisasi optimal, setengah pembagian, bagian emas, Fibonacci. Analisis perbandingan metode satu dimensi untuk mempersempit interval.
Topik 3. Optimasi multidimensi tanpa syarat
Analisis fungsi secara analitis dan grafis. Gagasan umum tentang metode numerik. Metode untuk menilai keakuratan suatu solusi. Klasifikasi metode numerik. Metode pencarian jenis pencarian: pemindaian dengan langkah seragam dan variabel. Metode berdasarkan optimasi satu dimensi langkah demi langkah: perubahan variabel secara bergantian, Gauss - Seidel, Hook-Jeeves. Algoritma simpleks: metode simpleks biasa, metode Nelder-Mead. Metode pencarian acak: pencarian acak tidak terarah, metode arah acak. Metode optimasi multidimensi menggunakan turunan: gradien, penurunan paling curam (curam ascent). Analisis komparatif metode optimasi multidimensi.
Topik 4. Model dan metode pemrograman linier
Rumusan dan ciri-ciri masalah optimasi bersyarat. Klasifikasi dan karakteristik metode solusi. Pemrograman linier. Contoh pembuatan model optimasi linier: campuran optimal, optimasi rencana produksi, alokasi sumber daya, pemuatan peralatan, dll. Interpretasi geometris dan metode solusi grafis. Analisis grafis stabilitas solusi masalah pemrograman linier. Bentuk masalah kanonik. Metode untuk memecahkan masalah program linier. Landasan teori metode simpleks dan algoritma implementasinya. Pernyataan dan solusi dari masalah pemrograman linier ganda. Metode simpleks ganda.
Topik 5. Masalah pemrograman linier khusus
Masalah pemrograman linier bilangan bulat. Metode kliping. Metode Gomori. Konsep metode cabang dan terikat. Pernyataan dan metode pemecahan masalah transportasi. Tertutup dan model terbuka tugas transportasi. Masalah penugasan dan pemilihan jalur terpendek. Masalah penjual keliling. Elemen teori permainan. Konsep dasar, klasifikasi dan deskripsi permainan. Permainan matriks dan konsep titik pelana. Strategi campuran. Menyelesaikan permainan matriks menggunakan program linier dan metode grafis.
Topik 6. Optimasi bersyarat. Pemrograman nonlinier
Rumusan masalah dan analisisnya. Himpunan cembung. Fungsi cembung dan cekung. Masalah optimasi cembung. Klasifikasi masalah dan metode pemrograman nonlinier. Pernyataan dan interpretasi geometris dari masalah. Metode solusi grafis untuk fungsi dua variabel. Metode klasik untuk menyelesaikan kendala tipe kesetaraan: metode eliminasi, metode pengali Lagrange. Metode non-klasik untuk menyelesaikan kendala seperti ketidaksetaraan. Kondisi Kuhn-Tucker yang diperlukan dan memadai untuk ekstrem bersyarat. Masalah optimasi kuadrat cembung. Pernyataan dan metode penyelesaian masalah pemrograman kuadrat. Metode pencarian untuk memecahkan masalah pemrograman nonlinier: pendekatan linier, toleransi “geser”, kemungkinan arah, fungsi penalti dan penghalang.
Topik 7. Pemrograman dinamis
Skema umum metode pemrograman dinamis. Contoh soal pemrograman dinamis. Prinsip optimalitas dan persamaan Bellman. Masalah distribusi dana antar perusahaan. Skema umum penerapan metode pemrograman dinamis. Masalah penggantian peralatan.
Topik 8. Model khusus riset operasi
Model perencanaan dan manajemen jaringan. Elemen dasar model jaringan. Prosedur dan aturan untuk membuat diagram jaringan. Merampingkan dan mengoptimalkan diagram jaringan. Model manajemen inventaris. Model deterministik statis. Manajemen inventaris dengan penawaran dan permintaan acak.
CONTOH DAFTAR PERTANYAAN UNTUK PENGUJIAN
dalam mata kuliah "Riset Operasi di bidang Ekonomi"
Pengantar riset operasi.
Dasar-dasar teori optimasi klasik
1. Contoh pernyataan masalah riset operasi dalam manajemen ekonomi
2. Klasifikasi umum metode numerik optimasi klasik tanpa kendala.
3. Pernyataan masalah optimasi tanpa syarat dan bersyarat.
4. Tahapan utama riset operasi.
5. Konsep masalah pemrograman cembung. Kondisi perlu dan cukup untuk kondisi ekstrem.
Optimasi satu dimensi tanpa syarat
6. Kondisi perlu dan cukup untuk ekstrem suatu fungsi suatu variabel.
7. Klasifikasi dan ide dasar metode numerik optimasi satu dimensi.
8. Analisis perbandingan metode numerik untuk optimasi satu dimensi.
Optimalisasi multidimensi tanpa syarat
9. Klasifikasi metode numerik optimasi multidimensi. Metode pemindaian dan pelokalan yang optimal.
10. Metode pencarian titik ekstrem suatu fungsi beberapa variabel secara koordinatif.
11. Metode simpleks untuk mencari ekstrem suatu fungsi beberapa variabel.
12. Metode optimasi gradien.
13. Metode pencarian acak untuk ekstrem.
14. Metode arah acak
15. Analisis komparatif metode numerik optimasi multidimensi.
Optimasi bersyarat. Pemrograman nonlinier
16. Rumusan masalah dan klasifikasi metode optimasi bersyarat statis.
17. Pernyataan masalah pemrograman nonlinier. Metode klasik untuk menyelesaikannya untuk sistem kendala berupa persamaan.
18. Pencarian metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier. Metode fungsi penalti dan penghalang.
19. Pernyataan dan metode penyelesaian masalah pemrograman kuadrat.
Model dan metode pemrograman linier
20. Pernyataan dan metode penyelesaian masalah program linier. Interpretasi geometris dan ekonominya.
21. Bentuk kanonik dari masalah program linier. Metode simpleks untuk menyelesaikannya.
22. Konsep masalah pemrograman linier ganda. Pernyataan dan interpretasi ekonomi.
Masalah pemrograman linier khusus
23. Masalah pemrograman linier bilangan bulat dan cara penyelesaiannya.
24. Masalah pemrograman linier transportasi. Metode pernyataan dan solusi.
25. Teori permainan. Konsep dasar, klasifikasi dan deskripsi permainan.
Pemrograman dinamis
26. Pernyataan dan metode penyelesaian masalah pemrograman dinamis.
27. Interpretasi geometris dan ekonomi dari masalah.
Model Riset Operasi Khusus
28. Model jaringan perencanaan dan pengelolaan.
29. Memecahkan masalah jaringan menurut berbagai kriteria
30. Model manajemen inventaris dalam lingkungan deterministik.
31. Model manajemen persediaan dalam formulasi stokastik.
LITERATUR
dalam mata kuliah "Riset Operasi di bidang Ekonomi"
Sastra utama
1. , Metode dan model kotak untuk manajemen. – Sankt Peterburg: Lan, 2007
2. Riset Operasi bidang Ekonomi: Buku Ajar untuk Perguruan Tinggi / Ed. . - M.: UNITY, 20 hal. - Pernyataan Kementerian Pertahanan Federasi Rusia
3. Operasi yang kuat. Kursus kuliah. –M: Intuisi, 2006
literatur tambahan
1. Operasi Wentzel. - M.: Sekolah Tinggi, 2001.
2. , Operasi Zagoruiko: Buku Teks. untuk universitas / Ed. , Rumah Penerbitan MSTU im. , 200an.
3. Penelitian operasi di bidang ekonomi /, ; Ed. prof..- M.: KESATUAN, 200c.
4. Metode Konyukhovsky dalam meneliti operasi di bidang ekonomi - St. Petersburg: Peter, 2000.-208 hal.
5. , Kostevich untuk memecahkan masalah dalam pemrograman matematika. - Mn.: Vysh. sekolah, 2001.
6. Optimasi Letova dalam contoh dan soal: Proc. tunjangan.- M.: Lebih tinggi. sekolah, 200an.
7. Pemrograman Volotsenko. –M: Sekolah Tinggi, 1990
8. Taha H. Pengantar riset operasi. –M: Mir, 1985
9. penelitian operasi dalam tugas, algoritma, program. –M: Radio dan komunikasi, 1984
10. , Shakhdinarov dan model manajemen perusahaan. – Sankt Peterburg: Peter, 2001
PERENCANAAN KALENDER DAN TEMATIK
PELAJARAN PRAKTIS
dalam disiplin "Riset Operasi di bidang Ekonomi"
Topik pelajaran praktis | ||
Rumusan umum masalah optimasi, interpretasi geometriknya, dan metode penyelesaiannya. Jenis solusi optimal. Solusi grafis. Konsep gradien dan interpretasi geometrisnya. Banyak solusi yang layak. Tahapan riset operasi. Klasifikasi metode riset operasi. | ||
Klasifikasi metode numerik. Metode pencarian estimasi titik: metode langkah variabel terbalik, pendekatan kuadrat, metode Powell. Metode pengurangan segmen ketidakpastian secara berurutan: pencarian seragam, metode lokalisasi optimal, setengah pembagian, bagian emas, Fibonacci. | ||
Klasifikasi metode numerik. Metode pencarian jenis pencarian: pemindaian dengan langkah seragam dan variabel. Metode berdasarkan optimasi satu dimensi langkah demi langkah: perubahan variabel secara bergantian, Gauss - Seidel, Hook-Jeeves. Algoritma simpleks: metode simpleks biasa, metode Nelder-Mead. Metode pencarian acak: pencarian acak tidak terarah, metode arah acak. Metode optimasi multidimensi menggunakan turunan: gradien, penurunan paling curam (curam ascent). | ||
Contoh pembuatan model optimasi linier: campuran optimal, optimasi rencana produksi, alokasi sumber daya, pemuatan peralatan, dll. Interpretasi geometris dan metode solusi grafis. Analisis grafis stabilitas solusi masalah pemrograman linier. | ||
Pernyataan dan metode pemecahan masalah transportasi. Model masalah transportasi tertutup dan terbuka. Masalah penugasan dan pemilihan jalur terpendek. Masalah penjual keliling. | ||
Konsep dasar, klasifikasi dan deskripsi permainan. Permainan matriks dan konsep titik pelana. Strategi campuran. Menyelesaikan permainan matriks menggunakan program linier dan metode grafis. | ||
Pernyataan dan interpretasi geometris dari masalah pemrograman nonlinier. Metode solusi grafis untuk fungsi dua variabel. Metode klasik untuk menyelesaikan kendala tipe kesetaraan: metode eliminasi, metode pengali Lagrange. Metode non-klasik untuk menyelesaikan kendala seperti ketidaksetaraan. Kondisi Kuhn-Tucker yang diperlukan dan memadai untuk ekstrem bersyarat. | ||
Contoh soal pemrograman dinamis. Prinsip optimalitas dan persamaan Bellman. Masalah distribusi dana antar perusahaan. Skema umum penerapan metode pemrograman dinamis. Masalah penggantian peralatan. | ||
Prosedur dan aturan untuk membuat diagram jaringan. Merampingkan dan mengoptimalkan diagram jaringan. Model manajemen inventaris. Model deterministik statis. Manajemen inventaris dengan penawaran dan permintaan acak. |
Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini
Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.
Diposting pada http://www.allbest.ru/
1. Konsep umum dan definisi diDaninvestigasi operasi
Anda harus memahami konsep dasar dan definisi riset operasi.
Operasi adalah setiap peristiwa terkendali yang bertujuan untuk mencapai suatu tujuan. Hasil operasi tergantung pada metode pelaksanaannya, organisasi, jika tidak - pada pilihan parameter tertentu. Pilihan parameter tertentu disebut solusi. Solusi optimal adalah solusi yang, karena satu dan lain hal, lebih disukai daripada solusi lain. Oleh karena itu, tugas utama riset operasi adalah pembenaran kuantitatif awal atas solusi optimal.
Catatan 1
Perlu diperhatikan rumusan masalah: pengambilan keputusan itu sendiri melampaui lingkup riset operasi dan berada dalam kompetensi orang atau sekelompok orang yang bertanggung jawab, yang mungkin mempertimbangkan pertimbangan lain selain pertimbangan tersebut. dibenarkan secara matematis.
Catatan 2
Jika dalam beberapa masalah riset operasi solusi optimalnya adalah solusi di mana kriteria efisiensi yang dipilih mengambil nilai maksimum atau minimum, maka dalam masalah lain hal ini sama sekali tidak diperlukan. Jadi, dalam suatu soal, kuantitas optimal dapat dipertimbangkan, misalnya, toko eceran dan staf di dalamnya, yang rata-rata waktu melayani pelanggan tidak akan melebihi, misalnya 5 menit, dan panjang antrian rata-rata setiap saat tidak lebih dari 3 orang (1, hlm. 10-11 ).
Efisiensi produksi aktivitas komersial sangat ditentukan oleh kualitas keputusan yang dibuat sehari-hari oleh para manajer di berbagai tingkatan. Karena ini sangat penting memperoleh masalah dalam meningkatkan proses pengambilan keputusan, yang dapat diselesaikan dengan riset operasi. Istilah “riset operasi” pertama kali mulai digunakan pada tahun 1939-1940. di bidang militer. Pada saat ini, peralatan militer dan pengelolaannya menjadi lebih kompleks sebagai akibat dari revolusi ilmu pengetahuan dan teknologi. Oleh karena itu, pada awal Perang Dunia Kedua, ada kebutuhan mendesak untuk melaksanakannya penelitian ilmiah di daerah penggunaan yang efektif peralatan militer baru, penilaian kuantitatif dan optimalisasi keputusan yang dibuat oleh komando. Pada periode pascaperang, keberhasilan disiplin ilmu baru sangat dibutuhkan di bidang-bidang yang damai: dalam kegiatan industri, kewirausahaan dan komersial, institusi pemerintah, di lembaga pendidikan.
Riset operasi adalah metodologi untuk menerapkan metode kuantitatif matematis untuk membenarkan solusi terhadap masalah di semua bidang aktivitas manusia yang memiliki tujuan. Metode dan model riset operasi memberikan solusi yang paling sesuai dengan tujuan organisasi.
Riset operasi adalah ilmu yang berhubungan dengan pengembangan dan penerapan praktis metode untuk pengelolaan sistem organisasi yang paling efektif (atau optimal).
Postulat utama riset operasi adalah sebagai berikut: solusi optimal (kontrol) adalah sekumpulan nilai variabel yang mencapai nilai optimal (maksimum atau minimum) dari kriteria efisiensi (fungsi tujuan) operasi dan memenuhi batasan yang ditentukan .
Subjek penelitian operasi adalah masalah pengambilan keputusan yang optimal dalam sistem yang terkendali berdasarkan penilaian efisiensi fungsinya. Ciri-ciri konsep riset operasi adalah: model, variabel variabel, batasan, fungsi tujuan.
Subjek penelitian operasi pada kenyataannya adalah sistem manajemen organisasi (organisasi), yang terdiri dari sejumlah besar unit yang saling berinteraksi, dan kepentingan unit-unit tersebut tidak selalu sejalan satu sama lain dan mungkin berlawanan.
Tujuan dari riset operasi adalah untuk secara kuantitatif mendukung keputusan yang dibuat untuk mengelola organisasi.
Solusi yang paling bermanfaat bagi seluruh organisasi disebut optimal, sedangkan solusi yang paling bermanfaat bagi satu atau lebih departemen disebut suboptimal.
Sebagai contoh masalah manajemen organisasi yang khas di mana konflik kepentingan antar departemen bertabrakan, pertimbangkan masalah manajemen inventaris perusahaan.
Departemen produksi berusaha untuk menghasilkan produk sebanyak mungkin dengan biaya serendah mungkin. Oleh karena itu, ia tertarik pada produksi yang paling lama dan berkesinambungan, yaitu produksi produk dalam jumlah besar, karena produksi tersebut mengurangi biaya penyesuaian ulang peralatan, dan oleh karena itu keseluruhan biaya produksi. Namun, produksi produk dalam jumlah besar memerlukan penciptaan stok bahan, komponen, dll dalam jumlah besar.
Departemen penjualan juga tertarik saham besar produk jadi untuk memenuhi permintaan konsumen kapan saja. Saat menyelesaikan setiap kontrak, departemen penjualan, yang berusaha menjual produk sebanyak mungkin, harus menawarkan produk seluas mungkin kepada konsumen. Akibatnya, konflik sering muncul antara departemen produksi dan departemen penjualan mengenai rentang produk. Pada saat yang sama, departemen penjualan bersikeras untuk memasukkan ke dalam rencana banyak produk yang diproduksi dalam jumlah kecil meskipun tidak menghasilkan banyak keuntungan, dan departemen produksi mengharuskan produk tersebut dikeluarkan dari rangkaian produk.
Departemen keuangan, dalam upaya meminimalkan jumlah modal yang diperlukan untuk operasional perusahaan, mencoba mengurangi jumlah “terkait” modal kerja. Oleh karena itu, dia tertarik untuk mengurangi persediaan seminimal mungkin. Seperti yang Anda lihat, persyaratan ukuran inventaris berbeda untuk berbagai departemen dalam organisasi. Timbul pertanyaan mengenai strategi inventaris mana yang paling bermanfaat bagi seluruh organisasi. Ini adalah tugas khas manajemen organisasi. Hal ini terkait dengan masalah optimalisasi fungsi sistem secara keseluruhan dan mempengaruhi konflik kepentingan divisi-divisinya.
Fitur Utama Riset Operasi:
1. Pendekatan sistematis terhadap analisis masalah yang diajukan. Pendekatan sistem, atau analisis sistem, merupakan prinsip metodologi utama riset operasi, yang terdiri dari berikut ini. Tugas apa pun, betapapun khusus kelihatannya pada pandangan pertama, dipertimbangkan dari sudut pandang pengaruhnya terhadap kriteria berfungsinya keseluruhan sistem. Di atas, pendekatan sistem diilustrasikan dengan menggunakan contoh masalah manajemen inventaris.
2. Biasanya dalam riset operasi, ketika memecahkan setiap masalah, semakin banyak masalah baru yang muncul. Oleh karena itu, jika tujuan yang sempit dan terbatas ditetapkan terlebih dahulu, maka penerapan metode operasional tidak akan efektif. Efek terbesar hanya dapat dicapai melalui penelitian berkelanjutan yang memastikan kesinambungan transisi dari satu tugas ke tugas lainnya.
3. Salah satu ciri penting dari riset operasi adalah keinginan untuk menemukan solusi optimal terhadap suatu masalah. Namun, solusi tersebut seringkali tidak dapat dicapai karena keterbatasan sumber daya yang tersedia ( uang tunai, waktu mesin) atau level ilmu pengetahuan modern. Misalnya, untuk banyak permasalahan kombinatorial, khususnya permasalahan penjadwalan dengan jumlah mesin n > 4, solusi optimalnya adalah perkembangan modern Matematika ternyata hanya dapat ditemukan dengan pencarian pilihan yang sederhana. Kemudian Anda harus membatasi diri untuk mencari solusi yang “cukup baik” atau kurang optimal. Oleh karena itu, salah satu penciptanya, T. Saaty, mendefinisikan riset operasi sebagai “...seni memberikan jawaban buruk terhadap pertanyaan-pertanyaan praktis yang bahkan dapat dijawab lebih buruk lagi dengan metode lain.”
4. Kekhasan riset operasional adalah dilakukan secara komprehensif di banyak bidang. Sebuah kelompok operasional sedang dibentuk untuk melakukan penelitian semacam itu. Terdiri dari spesialis dari berbagai bidang ilmu: insinyur, matematikawan, ekonom, sosiolog, psikolog. Tugas pembentukan kelompok operasional tersebut adalah kajian komprehensif terhadap seluruh rangkaian faktor yang mempengaruhi pemecahan masalah, dan penggunaan ide dan metode berbagai ilmu pengetahuan.
Setiap kajian operasional melalui tahapan-tahapan utama secara berurutan sebagai berikut:
1) gambaran masalah perencanaan,
2) konstruksi model matematika,
3) menemukan solusi,
4) memeriksa dan menyesuaikan model,
5) implementasi solusi yang ditemukan dalam praktik.
Deskripsi tugas perencanaan:
· Tugas perencanaan dan manajemen jaringan
pertimbangkan hubungan antara tanggal penyelesaian suatu kompleks operasi (pekerjaan) yang besar dan waktu mulai semua operasi kompleks tersebut. Tugas-tugas ini terdiri dari menemukan durasi minimum serangkaian operasi, rasio optimal nilai biaya dan tenggat waktu pelaksanaannya.
· Masalah antrian dikhususkan untuk mempelajari dan menganalisis sistem layanan dengan antrian permintaan atau persyaratan dan terdiri dari penentuan indikator kinerja sistem, karakteristik optimalnya, misalnya penentuan jumlah saluran layanan, waktu layanan, dll.
· Tugas manajemen inventaris terdiri dari menemukan nilai optimal untuk tingkat inventaris (titik pesanan) dan ukuran pesanan. Keunikan dari tugas-tugas tersebut adalah bahwa dengan peningkatan tingkat persediaan, di satu sisi, biaya penyimpanannya meningkat, namun, di sisi lain, kerugian akibat kemungkinan kekurangan produk yang disimpan berkurang.
· Masalah alokasi sumber daya muncul untuk serangkaian operasi (pekerjaan) tertentu yang harus dilakukan dengan sumber daya yang tersedia terbatas, dan perlu dicari distribusi sumber daya yang optimal antar operasi atau komposisi operasi.
· Tugas perbaikan dan penggantian peralatan relevan karena keausan peralatan dan kebutuhan untuk menggantinya seiring waktu. Tugasnya adalah menentukan waktu optimal, jumlah perbaikan dan inspeksi preventif, serta kapan harus mengganti peralatan dengan peralatan modern.
· Tugas penjadwalan (scheduling) adalah menentukan urutan operasi yang optimal (misalnya pemrosesan bagian) pada berbagai jenis peralatan.
· Tugas perencanaan dan penempatan adalah menentukan jumlah dan letak benda-benda baru, dengan memperhatikan interaksinya dengan benda-benda yang sudah ada dan satu sama lain.
· Masalah pemilihan rute, atau masalah jaringan, paling sering ditemui dalam studi berbagai masalah dalam sistem transportasi dan komunikasi dan terdiri dari penentuan rute yang paling ekonomis (1, hal. 15).
2. Bentuk mode matematikaapakah
Pemodelan adalah suatu proses mempelajari suatu sistem nyata, termasuk membangun suatu model, mempelajari sifat-sifatnya dan mentransfer informasi yang diperoleh ke dalam sistem yang disimulasikan.
Model adalah suatu objek material atau abstrak tertentu yang mempunyai kesesuaian objektif tertentu dengan objek yang diteliti, membawa informasi tertentu tentangnya dan mampu menggantikannya pada tahap-tahap kognisi tertentu.
Pemodelan matematika adalah proses menetapkan korespondensi objek nyata dengan sekumpulan simbol dan ekspresi tertentu, misalnya matematika. Model matematika paling cocok untuk penelitian dan analisis kuantitatif; model ini memungkinkan tidak hanya memperoleh solusi untuk kasus tertentu, tetapi juga untuk menentukan pengaruh parameter sistem terhadap hasil solusi.
Dalam penciptaan peralatan matematika modern dan pengembangan banyak bidang riset operasi kontribusi yang sangat besar disumbangkan oleh ilmuwan Rusia L.V. Kantorovich, N.P. Buslenko, E.S. Ventzel, N.N. Vorobyov, N.N. Yang paling patut diperhatikan adalah peran Akademisi L.V. Kantorovich, yang pada tahun 1939, setelah mulai merencanakan pengoperasian unit pabrik kayu lapis, memecahkan beberapa masalah: pemuatan peralatan terbaik, pemotongan bahan dengan kerugian paling sedikit, distribusi kargo di antara beberapa jenis transportasi , dll. L V. Kantorovich dirumuskan kelas baru masalah ekstrem bersyarat dan mengusulkan metode universal untuk menyelesaikannya, meletakkan dasar bagi arah baru dalam matematika terapan - pemrograman linier.
Kontribusi signifikan terhadap pembentukan dan pengembangan riset operasi dibuat oleh ilmuwan asing R. Akof, R. Bellman, G. Danzig, G. Kuhn, J. Neumann, T. Saaty, R. Churchman, A. Kofman, dll. 1, hal.17)
Tahapan membangun model matematika:
Inti dari membangun model matematika adalah bahwa sistem nyata disederhanakan, dibuat skema, dan dijelaskan menggunakan satu atau beberapa peralatan matematika. Tahapan utama konstruksi model berikut ini dibedakan.
Objek pemodelan, tujuan fungsinya, lingkungan tempat ia beroperasi dijelaskan secara verbal, elemen individu diidentifikasi, negara bagian yang memungkinkan, ciri-ciri suatu benda dan unsur-unsurnya, hubungan antar unsur, keadaan, dan ciri-cirinya ditentukan. Representasi awal dan perkiraan dari objek penelitian disebut model konseptual. Tahapan ini menjadi dasar untuk deskripsi formal objek selanjutnya.
2. Formalisasi operasi
Berdasarkan uraian yang bermakna, kumpulan karakteristik awal suatu objek ditentukan dan dianalisis, dan yang paling signifikan diidentifikasi. Kemudian parameter yang dapat dikontrol dan tidak dapat dikontrol diidentifikasi dan notasi simbolik diperkenalkan. Sistem pembatasan ditentukan, dan fungsi target model dibangun. Dengan demikian, uraian yang bermakna digantikan oleh uraian yang formal (simbolis, teratur).
3. Memeriksa kecukupan model
Versi awal model perlu diperiksa dalam aspek berikut:
1) apakah semua parameter penting disertakan dalam model?
2) apakah ada parameter yang tidak signifikan dalam model?
3) apakah hubungan antar parameter tercermin dengan benar?
4) apakah batasan nilai parameter ditentukan dengan benar?
Cara utama untuk memverifikasi kecukupan model terhadap objek yang diteliti adalah dengan praktik. Setelah verifikasi awal, mereka mulai menerapkan model dan melakukan penelitian. Hasil pemodelan yang diperoleh dianalisis kesesuaiannya dengan sifat-sifat yang diketahui dari objek yang diteliti. Berdasarkan hasil pemeriksaan kecukupan model, diambil keputusan tentang kemungkinan penggunaan praktisnya atau dilakukan penyesuaian.
4. Penyesuaian model
Pada tahap ini, informasi yang tersedia tentang objek dan semua parameter model yang dibangun diklarifikasi. Perubahan dilakukan pada model, dan penilaian kecukupan dilakukan kembali.
5. Optimasi model
Inti dari optimalisasi (peningkatan) model adalah menyederhanakannya pada tingkat kecukupan tertentu. Optimasi didasarkan pada kemampuan untuk mengubah model dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Indikator utama dimana model dapat dioptimalkan adalah waktu dan biaya penelitian dan pengambilan keputusan menggunakan model tersebut.
Jenis model:
Di bagian paling atas kasus umum model matematika permasalahannya berbentuk:
maks Z=F(x, y) (1.1)
di bawah pembatasan
dimana Z=F(x, y) adalah fungsi target (indikator kualitas atau efisiensi) sistem; x -- vektor variabel yang dikontrol; y adalah vektor dari variabel yang tidak terkontrol; Gi(x, y) adalah fungsi konsumsi sumber daya ke-i; bi -- nilai sumber daya ke-i (misalnya, jumlah waktu mesin yang direncanakan untuk sekelompok mesin bubut otomatis dalam jam mesin).
Definisi 1. Solusi apa pun terhadap sistem kendala suatu masalah disebut solusi yang dapat diterima.
Definisi 2. Solusi yang dapat diterima dimana fungsi tujuan mencapai maksimum atau minimum disebut solusi optimal dari masalah tersebut.
Untuk mencari solusi optimal suatu masalah, tergantung pada jenis dan struktur fungsi tujuan dan batasannya, digunakan satu atau beberapa metode teori solusi optimal (metode pemrograman matematika).
1. Pemrograman linier, jika F(x, y) linier terhadap variabel x.
2. Pemrograman nonlinier jika F(x, y) atau -- nonlinier terhadap variabel x.
3. Pemrograman dinamis, jika fungsi target F(x, y) mempunyai struktur khusus, yaitu fungsi penjumlahan atau perkalian dari variabel x.
F(x)=F(x1, x2, …, xn) merupakan fungsi penjumlahan jika F(x1, x2, …, xn)=, dan fungsi F(x1, x2, …, xn) merupakan fungsi perkalian, jika F(x1, x2, …, xn)=.
4. Pemrograman geometris, jika fungsi tujuan F(x) dan batasannya merupakan fungsi berbentuk
Model matematika permasalahan dalam hal ini ditulis dalam bentuk
dalam kondisi
dimana saya=(m0, m0+1, …, n0); Saya[k]= (mk, mk+1, …, nk); mk+1=nk+1; m0=1; n0=n.
5. Pemrograman stokastik, ketika vektor variabel yang tidak dapat dikontrol bersifat acak.
Dalam hal ini, model matematika dari masalah (1.1--1.2) akan memiliki
maxMyE=Saya(f(x, y))
di bawah pembatasan
atau pembatasan probabilistik
dimana My adalah ekspektasi matematis untuk y; Р(gi (х)Ј b) adalah peluang terpenuhinya kondisi gi (х)Ј b.
6. Pemrograman diskrit, jika kondisi diskrit (misalnya bilangan bulat) dikenakan pada variabel xj: xj bilangan bulat, j=1,2,…,n1Јп.
7. Pemrograman heuristik digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah di mana tidak mungkin menemukan titik optimal yang tepat secara algoritmik karena banyaknya pilihan. Dalam hal ini, mereka mengabaikan pencarian solusi optimal dan mencari solusi yang cukup baik (atau memuaskan dari sudut pandang praktis). Pada saat yang sama, mereka menggunakan teknik khusus—heuristik—yang memungkinkan mereka mengurangi jumlah opsi yang dilihat secara signifikan. Metode heuristik juga digunakan ketika solusi optimal, pada prinsipnya, dapat ditemukan (yaitu masalah dapat diselesaikan secara algoritmik), namun hal ini memerlukan volume sumber daya yang jauh melebihi sumber daya yang tersedia.
Dari metode pemrograman matematika di atas, yang paling berkembang dan lengkap adalah pemrograman linier. Ini mencakup berbagai tugas riset operasi.
3. Pemrograman linier
Terlepas dari persyaratan linearitas fungsi tujuan dan batasannya, masalah alokasi sumber daya, manajemen inventaris, perencanaan jaringan dan penjadwalan, masalah transportasi, masalah teori penjadwalan, dll. sesuai dengan kerangka pemrograman linier.
Teorema dasar pemrograman linier
Metode penyelesaian masalah program linier didasarkan pada teorema berikut.
Teorema dasar pemrograman linier, yang menetapkan lokasi solusi optimal.
Teorema 2.1. Jika fungsi tujuan mengambil nilai maksimum di beberapa titik dari himpunan yang dapat diterima R, maka nilai ini diambil pada titik ekstrim R (puncak polihedron cembung). Jika fungsi tujuan mempunyai nilai maksimum di lebih dari satu titik ekstrim, maka fungsi tujuan tersebut mempunyai nilai yang sama pada setiap kombinasi cembungnya.
Dari Teorema 2.1 dapat disimpulkan bahwa ketika mencari solusi optimal, cukup dengan melihat titik ekstrim saja dari himpunan solusi yang dapat diterima R.
Teorema 2.2. Setiap solusi basis layak mempunyai titik ekstrem R.
Teorema berikut, kebalikan dari Teorema 2.2, juga benar. Teorema 2.3. Jika adalah titik ekstrim dari himpunan solusi yang diijinkan R, maka solusi yang bersangkutan x0 adalah solusi dasar yang dapat diterima untuk sistem kendala masalah program linier.
Dengan menggunakan hasil Teorema 2.1 dan 2.2, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk mencari solusi optimal suatu masalah program linier, cukup dengan menyebutkan solusi dasar yang layak saja. Kesimpulan ini mendasari banyak metode untuk menyelesaikan masalah program linier.
Penentuan pilihan yang optimal. Terdapat p jenis sumber daya dalam jumlah jenis produk a1, a2, ..., ai, ..., ap dan q. Matriks A=||aik|| diberikan, di mana aik mencirikan tingkat konsumsi sumber daya ke-i per unit produk ke-k (k = 1, 2, ..., q).
Efisiensi produksi satu unit produk ke-k ditandai dengan indikator ci yang memenuhi kondisi linearitas.
Tentukan rencana pelepasan produk (beraneka ragam optimal), di mana indikator keseluruhan efisiensi menjadi hal yang paling penting.
4. Pemrograman nonlinier
Bab ini menjelaskan masalah optimasi pemrograman nonlinier (NLP), yang model matematikanya mengandung ketergantungan nonlinier pada variabel. Sumber nonlinier terutama terbagi dalam salah satu dari dua kategori berikut:
1) hubungan nonlinier yang sebenarnya ada dan diamati secara empiris, misalnya: ketergantungan yang tidak proporsional antara volume produksi dan biaya; antara jumlah komponen yang digunakan dalam produksi dan beberapa indikator kualitas produk jadi; antara biaya bahan baku dan parameter fisik (tekanan, suhu, dll.) dari proses produksi terkait; antara pendapatan dan volume penjualan, dll.;
2) aturan perilaku yang ditetapkan (dipostulatkan) oleh manajemen atau ketergantungan tertentu, misalnya: formula atau aturan penyelesaian dengan konsumen energi atau jenis jasa lainnya; aturan heuristik untuk menentukan tingkat asuransi persediaan produk; hipotesis tentang sifat distribusi probabilitas variabel acak yang dipertimbangkan dalam model; berbagai jenis ketentuan kontrak interaksi antara mitra bisnis, dll.
Menyelesaikan masalah linier jauh lebih mudah daripada masalah nonlinier, dan jika model linier memberikan kecukupan situasi nyata, maka itu harus digunakan. Dalam praktek ekonomi Manajemen Model pemrograman linier telah berhasil diterapkan bahkan dalam kondisi nonlinier. Dalam beberapa kasus, nonliniernya tidak signifikan dan dapat diabaikan; dalam kasus lain, hubungan nonlinier dilinearisasi atau teknik khusus digunakan, misalnya, apa yang disebut model pendekatan linier dibangun, sehingga mencapai kecukupan yang diperlukan. Namun, terdapat sejumlah besar situasi di mana ketidaklinieran merupakan hal yang signifikan dan harus diperhitungkan secara eksplisit.
Konsep dasar NLP:
* fungsi objektif;
* pembatasan;
* rencana yang valid;
* serangkaian rencana yang dapat diterima;
* model pemrograman nonlinier;
* rencana optimal.
Anda harus mampu:
* menentukan apakah suatu fungsi cembung;
* membangun fungsi Lagrange dari tugas NLP;
* memeriksa optimalitas solusi yang diperoleh.
Model NLP
Secara umum, tugas NLP dijelaskan menggunakan model berikutnya pemrograman nonlinier:
pemodelan operasi penelitian matematika
dimana x = (x1, x2, ..., xn) adalah vektor dari variabel masalah.
Masalah (1)--(3) disebut masalah pemrograman nonlinier dalam bentuk standar maksimum.
Masalah minimum NLP juga dapat dirumuskan.
Vektor x = (x1, x2, ..., xn), yang komponen xjnya memenuhi batasan (2) dan (3), disebut solusi yang dapat diterima atau rencana yang dapat diterima dari masalah NLP.
Himpunan semua rencana yang dapat diterima disebut himpunan rencana yang dapat diterima.
Solusi yang dapat diterima untuk masalah NLP, dimana fungsi tujuan (1) mencapai nilai maksimumnya, disebut solusi optimal untuk masalah NLP.
Kemungkinan lokasi nilai maksimum fungsi F(x) dengan adanya batasan (2) dan (3) ditentukan sebagai berikut prinsip umum. Nilai maksimum F(x), jika ada, dapat dicapai pada satu atau lebih titik, yang termasuk dalam himpunan berikut:
Titik interior dari himpunan rencana yang dapat diterima yang memuat semua turunan parsial pertama
Titik batas himpunan rencana yang diperbolehkan);
Titik dalam himpunan rencana yang dapat diterima dimana fungsinya F(x) tidak dapat dibedakan).
Berbeda dengan permasalahan program linier yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, tidak ada satu atau lebih algoritma yang efektif untuk menyelesaikan seluruh permasalahan nonlinier. Suatu algoritma mungkin sangat efektif untuk memecahkan satu jenis masalah, namun tidak berhasil untuk jenis masalah lainnya.
Efektivitas suatu algoritma bahkan mungkin sangat bergantung pada rumusan masalah, misalnya pada perubahan skala pengukuran variabel tertentu. Oleh karena itu, algoritma dikembangkan untuk setiap kelas (tipe) permasalahan. Program yang ditujukan untuk menyelesaikan kelas masalah tertentu, sebagai suatu peraturan, tidak menjamin kebenaran penyelesaian masalah apa pun di kelas ini, dan disarankan untuk memeriksa optimalitas solusi dalam setiap kasus tertentu.
Kelas masalah NLP berikut ini dipertimbangkan dalam aplikasi ekonomi.
Gambar tersebut menunjukkan klasifikasi masalah dan metode pemrograman nonlinier.
Menggambar. Klasifikasi masalah dan metode pemrograman nonlinier
Kebanyakan metode yang ada dalam pemrograman nonlinier dapat dibagi menjadi dua kelas besar:
1. Metode langsung - metode untuk menyelesaikan masalah awal secara langsung. Metode langsung menghasilkan urutan titik - solusi yang memenuhi batasan yang memastikan penurunan fungsi tujuan secara monoton.
2. Kerugian: Sulit memperoleh sifat konvergensi global.
3. Permasalahan kendala berupa persamaan.
4. Metode penggantian variabel (SV)
5. Metode ganda – metode yang menggunakan konsep dualitas. Dalam hal ini, konvergensi global mudah dicapai.
6. Kerugian: mereka tidak memberikan solusi terhadap masalah awal selama penyelesaian - ini hanya dapat diimplementasikan pada akhir proses berulang.
o Metode Pengganda Lagrange (LML)
o Metode penalti
o Metode pengganda
o Metode linearisasi untuk masalah optimasi yang dibatasi
o Algoritma Frank-Wolfe
o Metode Zeutendijk tentang petunjuk yang dapat diterima
o Metode gradien bersyarat
o Metode proyeksi gradien
o Pemrograman yang dapat dipisahkan.
o Pemrograman kuadrat
1. Optimalisasi fungsi nonlinier dengan pembatasan nilai variabel non-negatif:
dimana x = (x1, x2,..., xn) adalah vektor dari variabel masalah.
Misalkan F(x) merupakan fungsi terdiferensiasi.
Kondisi yang diperlukan agar fungsi maksimum F(x) dapat dicapai di titik x0:
Artinya:
Jika F(x) merupakan fungsi cekung (untuk soal minimisasi berbentuk cembung), maka kondisi tersebut juga cukup.
Suatu fungsi F(x) dengan nilai numerik, didefinisikan pada himpunan titik K yang cembung, disebut cekung jika untuk sembarang pasangan titik x1, x2 dan untuk semua bilangan l, 0 Ј l Ј 1, pertidaksamaannya
maka fungsi F(x) disebut cembung. Jika terjadi pertidaksamaan tegas, maka fungsi tersebut dikatakan cekung tegas atau cembung tegas.
Definisi kecekungan (convexity) ini cocok untuk semua jenis fungsi. Namun dalam praktiknya, hal ini sulit diterapkan.
Untuk fungsi terdiferensiasi dua kali F(x), kriteria berikut berlaku. Fungsi terdiferensiasi F(x) cekung ketat di suatu lingkungan titik jika kondisi berikut terpenuhi:
itu. jika tanda-tanda determinan ini bergantian sesuai dengan cara yang ditunjukkan.
Berikut turunan parsial orde dua yang dihitung di titik x0.
Matriks berukuran n ϑ n yang terdiri dari unsur-unsur disebut matriks Hesse. Berdasarkan nilai-nilai minor utamanya, seseorang dapat menilai konveksitas atau kecekungan fungsinya. Suatu fungsi F(x) benar-benar cembung di lingkungan kecil titik x0 jika semua minor utama matriks Hesse-nya benar-benar positif. Jika pertidaksamaan lepas (i) berlaku, maka fungsi di sekitar titik x0 adalah cembung. Jika minor utama matriks Hesse tidak bergantung pada x, maka fungsinya (secara ketat) cembung di semua tempat.
Model pemrograman kuadrat jenis ini sangat umum, dimana fungsi tujuan F(x) merupakan fungsi kuadrat dari variabel x1, x2, ..., xn. Ada sejumlah besar algoritma untuk memecahkan masalah jenis ini di mana fungsinya F(x) adalah cekung (untuk masalah minimalisasi adalah cembung).
2. Model pemrograman cembung. Model semacam ini mencakup soal NLP (1)--(3), di mana F(x) adalah fungsi cekung (cembung), dan gi(x) adalah fungsi cembung. Dalam kondisi ini, maksimum (minimum) lokal juga bersifat global.
Misalkan F(x) dan gi(x), i= 1,..., m, merupakan fungsi terdiferensiasi.
Kondisi perlu dan cukup untuk optimalitas suatu solusi adalah terpenuhinya kondisi Kuhn-Tucker.
Pertimbangkan masalah NLP (1)--(3) dan fungsi Lagrange
Kondisi Kuhn-Tucker untuk optimalitas solusi x0 untuk masalah maksimalisasi F(x) memiliki bentuk
dimana merupakan turunan parsial fungsi Lagrange terhadap variabel xj untuk x = x0 dan l = l0. Misalkan nilai maksimum F(x) sama dengan F(x0) = F0. Angka-angka tersebut berhubungan dengan F0 melalui hubungan berikut:
Dari hubungan tersebut terlihat jelas bahwa bilangan-bilangan tersebut mencirikan reaksi nilai F0 terhadap perubahan nilai bi yang bersangkutan. Misalnya jika< 0, то при уменьшении bi (в пределах устойчивости) значение F0 увеличится, а = 0 указывает на несущественность соответствующего ограничения gi(х) Ј bi, которое может быть без ущерба для оптимального решения из системы ограничений исключено.
3. Pemrograman yang dapat dipisahkan. Kasus khusus pemrograman cembung dengan syarat F(x) dan semua gi(x) merupakan fungsi yang dapat dipisahkan, yaitu
Permasalahan jenis ini direduksi menjadi permasalahan program linier.
4. Pemrograman nonlinier pecahan. Memaksimalkan (meminimalkan) fungsi
F(x) = F1(x)/F2(x).
Dalam kasus khusus, jika pembilang dan penyebutnya adalah fungsi linier (yang disebut masalah pemrograman linier pecahan), maka masalahnya direduksi menjadi linier.
5. Pemrograman non-cembung. Fungsi F(x) dan (atau) sembarang gi(x) tidak cembung. Belum ada metode yang dapat diandalkan untuk memecahkan masalah jenis ini (3, hlm. 74-77)
Sebagai contoh, pertimbangkan model alokasi sumber daya optimal nonlinier:
Deskripsi masalah alokasi sumber daya
Masalah alokasi sumber daya dipertimbangkan untuk n perusahaan. Pusat mengelola ini perusahaan industri memproduksi produk serupa. Mari kita nyatakan dengan Pi volume produk yang dihasilkan oleh perusahaan i, i=1,. ..,N. Hasil berfungsinya pusat ditentukan oleh hasil berfungsinya masing-masing produsen, karena Pusat itu sendiri tidak menghasilkan produk.
Kami percaya bahwa jumlah produk yang dihasilkan perusahaan ke-i, ditentukan oleh volume dana Fi dan jumlahnya angkatan kerja Li, persetujuan fungsi produksi Cobb-Douglas:
Dimana i=1,..,n (4)
Pada persamaan (4) di dan ki merupakan ciri-ciri perusahaan i (i=1,...,n), yang memenuhi syarat: di > 0, i=1,...,n.
Biarkan wi menjadi tarifnya upah di perusahaan i. Maka bagian penghasilan perusahaan i terhadap seluruh laba persekutuan ditentukan sebagai berikut:
Gi =ci*Pi-wi*Li, i=1,. . .,N.
Jika nilai dana perusahaan tetap, maka volume produksi Pi ditentukan secara unik oleh jumlah tenaga kerja.
Pusat mempengaruhi pekerjaan perusahaan dengan mendistribusikan sumber daya tambahan yang sepenuhnya tersedia untuknya. Jika perusahaan i menerima tambahan sumber daya sebesar Vi, maka perusahaan tersebut akan mampu menghasilkan produk sebesar tersebut
Tugas pusat adalah mendistribusikan sumber daya B yang dimilikinya, yaitu menentukan nilai optimal dari besaran Vi, i =1,...,n, memastikan total keuntungan maksimum asosiasi secara keseluruhan.
Bentuk matematika dari model
Dalam permasalahan ini, kami berasumsi bahwa skema perencanaan terpusat digunakan, di mana pusat melakukan perhitungan distribusi optimal sumber daya, jumlah tenaga kerja optimal untuk parameter model tertentu. Secara khusus, pusat mengubah Vi dan Li, i = 1,...,n, dari kondisi:
z = maks (G1 + G2 +,..., + Gn) (6)
Vi, Vimin, Li 0,i=1,...,n (7)
Analisis sensitivitas model sebagai metode pemulihan keseimbangan keuangan.
Dasar untuk menjaga dan memulihkan keseimbangan keuangan perusahaan dan mengurangi tingkat risiko adalah analisis sensitivitas model yang diusulkan. Analisis sensitivitas terdiri dari langkah-langkah berikut:
1. Memilih indikator kunci, mis. parameter yang menentukan sensitivitas proyek (paling sering ini adalah nilai sekarang bersih dan tingkat pengembalian internal).
2. Pemilihan faktor-faktor yang mempengaruhi indikator-indikator tersebut.
3. Perhitungan nilai indikator kunci pada berbagai tahap pelaksanaan proyek (pencarian, desain, konstruksi, operasi).
Semakin tinggi sensitivitas indikator terhadap faktor lingkungan, semakin berisiko proyek tersebut. Untuk setiap indikator, sensitivitas setiap titik waktu atau periode waktu ditentukan. Efektivitas proyek ditentukan.
Seringkali selama analisis sensitivitas, titik impas proyek ditentukan, yaitu. Volume output di mana perusahaan meninggalkan zona kerugian ditentukan.
Analisis sensitivitas proyek memungkinkan para profesional untuk mempertimbangkan risiko dan ketidakpastian. Misalnya, jika harga suatu produk ternyata sangat penting, maka program pemasaran dapat diperkuat atau biaya proyek dapat dikurangi. Jika volume output menjadi kritis, maka perlu dilakukan peningkatan kualifikasi pekerja, memperhatikan pelatihan personel, manajer dan faktor lain untuk meningkatkan produktivitas.
Kekurangan metode analisis sensitivitas:
1. Metode ini tidak dirancang untuk semua keadaan yang acak dan mungkin terjadi.
2. Metode ini tidak menentukan kemungkinan pelaksanaan proyek alternatif.
Analisis sensitivitas solusi optimal
Analisis sensitivitas dilakukan setelah memperoleh solusi optimal dari permasalahan linear programming (LP). Tujuannya adalah untuk menentukan apakah perubahan koefisien dari permasalahan awal akan mengubah solusi optimal saat ini, dan jika demikian, bagaimana cara menemukan solusi optimal baru secara efisien (jika ada).
Secara umum, mengubah koefisien dari soal awal dapat menyebabkan salah satu dari empat situasi berikut.
1. Solusi dasar saat ini tetap tidak berubah.
2. Solusi saat ini menjadi tidak valid.
3. Solusi saat ini menjadi kurang optimal.
4. Solusi yang ada saat ini menjadi kurang optimal dan tidak dapat diterima.
Dalam situasi kedua, Anda dapat menggunakan metode dual simplex untuk mengembalikan diterimanya solusi. Pada situasi ketiga, kami menggunakan metode simpleks langsung untuk mendapatkan solusi optimal baru. Keempat, untuk mendapatkan solusi baru yang optimal dan layak, kita harus menggunakan metode direct dan dual simplex.
Bibliografi
1. Buku teks “Riset Operasi Ekonomi” untuk universitas, edisi ke-3, direvisi dan diperluas, ed. N.Sh.Kremera, M.: Yurayt, 2013.
2. TV Alesinskaya “Dasar-dasar logistik. Masalah umum Manajemen logistik". Buku Ajar. Taganrog: Rumah Penerbitan TRTU, 2005.
3. Afanasyev M.Yu., Suvorov B.P. Riset operasi di bidang ekonomi: model, masalah, solusi. Buku Ajar, M, Infra-M, 2003.
4. Phillips D., Garcia-Diaz A. Metode analisis jaringan. -M.: Mir, 1984.
5. Greshilov A.A. Bagaimana membuat keputusan terbaik dalam kondisi dunia nyata. - M.: Radio dan Komunikasi, 1991.
6. Popov Yu.D. Pemrograman linier dan nonlinier. tutorial. - Kyiv, 1988.
7. Zaichenko Yu.P. Operasi pencarian. Buku teks untuk mahasiswa. - Kyiv: Sekolah Vishcha. Kepala penerbit, 1979
8. Taha H.. Pengantar riset operasi: dalam 2 buku. - M.: Mir, 1985.
9. Akof R., Sasieni M. Dasar-dasar riset operasi. - M.: Mir, 1997.
10. Akulich I.L. Pemrograman matematika dalam contoh dan masalah. - M.: Sekolah Tinggi, 1986.
11. Danko. Matematika yang lebih tinggi dalam contoh dan masalah.
12. Alekseev V. M., Goleev V. M., Tikhomirov V. M. Kumpulan masalah optimasi: Teori, contoh, masalah. M., Nauka, 1984.
13. Berman G. N. Kumpulan soal untuk mata kuliah analisis matematis. M., Nauka, 1985.
14. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Aljabar linier. M., Nauka, 1983.
15. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Dasar-dasar analisis matematika. M., Nauka, Bagian 1,2, 1980.
16. Kletenik D..V. Kumpulan soal geometri analitik. M., Nauka, 1984.
17. Kudryavtsev L.D. Kursus analisis matematika. M., Lebih Tinggi sekolah, T.1-3, 1988.
18. Kudryavtsev L.D. Kursus singkat dalam analisis matematika. M., Nauka, 1989.
19. Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Kumpulan soal analisis matematis. Membatasi. Kontinuitas. Diferensiasi. M., Nauka, 1984.
20. Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. F. Matematika tinggi untuk ekonom. M., Bank dan bursa, UNITY, 1998.
21.Gmurman V.E. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. Buku teks untuk universitas. M., Lebih Tinggi sekolah, 1999.
22. Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Dasar-dasar statistik dengan unsur teori probabilitas bagi ekonom. Panduan untuk memecahkan masalah. Rostov n/d., Phoenix., 1999.
23. Danko P.E. Matematika yang lebih tinggi dalam latihan dan masalah. Bagian 2. M., Lebih Tinggi sekolah, 1997.
24. Chistyakov V.P. Mata kuliah teori probabilitas. M., Nauka., 1987.
25. Sevastyanov B. A. Kursus teori probabilitas dan statistik matematika. M., Nauka., 1982.
26. Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P., Zubkov A.M. Kumpulan masalah pada teori probabilitas. M., Nauka., 1980.
27. Ventzel E.S. Penelitian operasi. Tugas. Prinsip. Metodologi, 1980.
28. Gorelik V.A., Ushakov I.A. Operasi pencarian. - M.: Teknik Mesin, 1986.
29. Riset Operasi / Diedit oleh M.A. Voitenko dan N.Sh. Kremera.-M.: Pendidikan Ekonomi, 1992.
30. Karasev A.I., Aksyutin Z.M., Savelyeva T.I. Metode dan model matematika dalam perencanaan M.: Ekonomi, 1987.
31. Penelitian Operasi / N. N. Pisaruk. Minsk: BSU, 2013.272 hal.
Diposting di Allbest.ru
...Dokumen serupa
Solusi grafis dari masalah pemrograman linier. Menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan metode simpleks. Kemungkinan penggunaan praktis pemrograman matematika dan metode ekonomi-matematis dalam penyelesaian tugas ekonomi.
tugas kursus, ditambahkan 02/10/2014
Konsep dan jenis model. Tahapan membangun model matematika. Dasar-dasar pemodelan matematika hubungan variabel ekonomi. Menentukan parameter persamaan regresi linier satu faktor. Metode optimasi matematika di bidang ekonomi.
abstrak, ditambahkan 02/11/2011
Studi penerapan ekonomi disiplin matematika untuk memecahkan masalah ekonomi: penggunaan model matematika di bidang ekonomi dan manajemen. Contoh model pemrograman linier dan dinamis sebagai alat pemodelan ekonomi.
tugas kursus, ditambahkan 21/12/2010
Konsep dasar aljabar linier dan analisis cembung digunakan dalam teori pemrograman matematika. Karakteristik metode grafis untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier, esensi interpretasi geometrisnya dan tahapan utamanya.
tugas kursus, ditambahkan 17/02/2010
Formalisasi matematis dari masalah optimasi. Interpretasi geometris dari masalah program linier standar, perencanaan turnover. Esensi dan algoritma metode simpleks. Pernyataan masalah transportasi, urutan penyelesaiannya.
tutorial, ditambahkan 10/07/2014
Landasan teori metode ekonomi dan matematika. Tahapan pengambilan keputusan. Klasifikasi masalah optimasi. Masalah pemrograman linier, nonlinier, cembung, kuadrat, bilangan bulat, parametrik, dinamis dan stokastik.
tugas kursus, ditambahkan 05/07/2013
Rumusan umum masalah program linier (LP). Mengurangi masalah LP ke bentuk standar. Teorema dualitas dan penggunaannya dalam masalah LP. Masalah transportasi dan penyelesaiannya dengan metode potensial. Interpolasi fungsi tabel.
tugas kursus, ditambahkan 31/03/2014
Tujuan pekerjaan: mempelajari dan belajar menerapkan dalam praktek metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier langsung dan ganda. Rumusan matematis masalah program linier. Bentuk umum masalah pemrograman linier.
abstrak, ditambahkan 28/12/2008
Model pemrograman dinamis. Prinsip optimalitas dan persamaan Bellman. Deskripsi proses pemodelan dan konstruksi skema pemrograman dinamis komputasi. Masalah meminimalkan biaya konstruksi dan pengoperasian perusahaan.
tesis, ditambahkan 08/06/2013
Pendekatan dasar pemodelan matematika sistem, penggunaan model simulasi atau heuristik sistem ekonomi. Menggunakan metode grafis untuk memecahkan masalah pemrograman linier untuk mengoptimalkan program produksi.
Tugas No.1
Selesaikan masalah transportasi sesuai data pada Tabel 1.
Tabel 1 - Data awal
Tabel 1 memperkenalkan notasi berikut:
AI-stok produk untuk poin ke-i keberangkatan (PO);
Aplikasi Bj untuk produk dari tujuan Bj (PN);
Cij adalah biaya pengangkutan satu unit produk dari PO ke-i ke PO ke-j.
Total seluruh pesanan harus sama dengan total seluruh inventaris. Total biaya transportasi akan dilambangkan dengan Z.
Untuk tugas yang dihasilkan, jalankan tabel transport dan terapkan metode transfer siklik ke dalamnya.
Solusi untuk masalah 1
Berdasarkan data pada Tabel 1, tabel angkutan asli mempunyai bentuk yang disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Tabel transportasi awal
|
Asal/Tujuan |
permintaan produk |
||||||
|
inventaris produk |
|||||||
Langkah 1: Saat mengisi tabel, kondisi tertutupnya masalah transportasi diperhitungkan, yaitu. jumlah seluruh pesanan sama dengan jumlah seluruh stok: jumlah permintaan = 87, jumlah stok = 87. Soal seimbang (tertutup).
Langkah 2: Solusi referensi awal ditemukan dengan menggunakan metode biaya minimum.
Untuk itu, stok di titik keberangkatan Ai didistribusikan sesuai dengan permintaan Bj titik tujuan dan terisi sel dengan biaya transportasi minimal. Dalam hal ini, semua stok harus didistribusikan sesuai dengan permohonan. Xij adalah jumlah muatan yang diangkut.
Rencana referensi diperoleh dengan menggunakan metode biaya minimum
Mari kita hitung biaya untuk solusi referensi ini:
Zmulai = C13? X13+C14? X14+C15? X15+C25? X25+C33? X33+C41? X41+C42? X42+C44 ? X44 = 1 ? 2+6? 5 + 4? 4 + 27 ? 2+19? 1+14? 2+9? 13+7? 4 = 204.
Langkah 3: Mari kita periksa rencana dukungan yang dihasilkan untuk mengetahui non-degenerasi. Jumlah sel yang terisi N harus memenuhi kondisi N=n+m-1. Dalam kasus kita, N=8, n+m=5+4=9, yang memenuhi kondisi non-degenerasi rencana.
Langkah 4: Kami akan melakukan perbaikan selangkah demi selangkah dari solusi awal menggunakan metode potensial. Untuk menentukan faktor larutan acuan, perlu dicari potensial sel yang terisi. Jumlah potensi sama dengan biaya transportasi
Misalkan a4 = 0. Maka: a1 = 1; a2 = -1; a3 = 0; a4 = 0; b1 = 2; b2 = 3; b3 = 1; b4 = 4; b5 = 3.
Nilai potensialnya kita tuliskan pada tabel di sebelah Ai dan Bj. Kami memeriksa solusi dukungan untuk optimalitas untuk semua sel kosong pada tabel
a1 + b3 - c13 = 1 + 1 - 2 = 0 ? 0 a1 + b4 - c14 = 1 + 4 - 5 = 0 ? 0
a1 + b5 - c15 = 1 + 1 - 4 = -2< 0 a2 + b5 - c25 = -1 + 3 - 2 = -4 < 0
a3 + b3 - c33 = 0 + 1 - 1 = 0 ? 0 a4 + b1 - c41 = 0 + 2 - 2 = 0 ? 0
a4 + b2 - c42 = 0 + 3 - 3 = 0 ? 0 a4 + b4 - c44 = 0 + 4 - 4 = 0 ? 0
Solusi referensi awal adalah optimal karena tidak ada peringkat positif. Nilai fungsi tujuan: Zopt=204.
2. Tugas No.2
Buatlah lintasan pesawat yang menghubungkan titik A dan titik B. Biaya penerbangan harus minimal. Biaya penerbangan pada setiap segmen diberikan di dalam segmen tersebut. Tentukan kontrol optimal bersyarat dan tidak bersyarat.
Solusi untuk masalah 2
Pemrograman dinamis secara khusus disesuaikan dengan apa yang disebut operasi multi-langkah.
Proses pemrograman dinamis berlangsung dari akhir (t.B) hingga awal (t.A) - optimasi bersyarat (kontrol optimal bersyarat dan biaya minimum bersyarat). Kemudian dilakukan optimasi dari awal (t.A) hingga akhir (t.B) – optimasi tanpa syarat (pengendalian optimal tanpa syarat dan biaya optimal tanpa syarat).
Untuk melakukan optimasi bersyarat, jarak A ke B dibagi ke arah timur menjadi 5 bagian, dan ke arah utara menjadi 4 bagian. Maka setiap lintasan dari A ke B terdiri dari m = 4 + 5 = 9 ruas yang mengarah ke timur atau utara. Kami akan memperluas prosedur optimasi bersyarat ke arah yang berlawanan - dari akhir ke awal. Pertama-tama, mari kita lakukan optimasi bersyarat pada langkah terakhir ke-9. Mari kita lihat secara terpisah di sudut kanan atas kotak persegi panjang kita. Setelah langkah ke 8 kita bisa sampai pada titik dengan biaya 7 (B1) atau 8 (B2). Kita pindah ke titik B1, dari sana Anda bisa bergerak ke bawah (6 unit) atau ke kiri (5 unit). Operasi serupa dilakukan di semua titik, dan dipindahkan ke sisi yang biayanya lebih rendah. Secara konvensional, biaya minimum adalah 47, yang disajikan pada Tabel 1.
Tabel 3 Prosedur optimasi bersyarat
Kemudian dilakukan optimasi tanpa syarat dengan pergerakan dari titik A ke titik B, memilih arah biaya minimum, yang disajikan pada Tabel 2, lintasan dari A dan B dengan cara termurah ditandai dengan warna merah.
Tabel 4 Pengendalian optimal tanpa syarat
3. Tugas No.3
Tentukan indikator komprehensif keandalan komunikasi yang tidak berlebihan. Data awal diberikan dalam tabel. 3.
Untuk menyelesaikan tugas 3 yang Anda butuhkan:
- - menentukan kondisi produk;
- - menulis sistem persamaan aljabar linier;
- - menetapkan hubungan antara probabilitas akhir dan menentukan nilai kuantitatifnya.
Tabel 5
Solusi untuk Masalah 3
Struktur yang paling sederhana adalah sistem non-redundan yang terdiri dari n elemen, dimana kegagalan salah satu elemen menyebabkan kegagalan seluruh sistem. Dalam hal ini, sistem S memiliki koneksi elemen yang berurutan secara logis (Gambar 1).
Skema koneksi logis elemen-elemen sistem non-redundan
Sistem yang dapat dipulihkan secara non-redundan pada suatu titik waktu yang sewenang-wenang berada dalam salah satu dari dua keadaan: G0 operasional atau G1 tidak beroperasi. Proses fungsinya dapat dicerminkan oleh grafik keadaan (Gambar 2):
Nyatakan grafik sistem non-redundan
Sistem berpindah dari keadaan S0 ke keadaan S1 akibat kegagalan dengan intensitas l, dan dari S1 ke S0 akibat pemulihan dengan intensitas µ. Berikut ini, kita asumsikan bahwa aliran kegagalan dan pemulihan adalah yang paling sederhana: l = const, µ = const. Artinya produktivitas kerja seorang tukang reparasi adalah konstan dan tidak bergantung pada waktu. Oleh karena itu, waktu pemulihan mempunyai hukum distribusi eksponensial
Salah satu indikator utama keandalan sistem adalah pemeliharaan - ini adalah tingkat kemampuan beradaptasi sistem untuk mencegah, mendeteksi, dan menghilangkan kegagalan. Pemeliharaan sistem dapat dinilai, misalnya, dengan waktu rata-rata untuk menghilangkan kesalahan, dengan kata lain, waktu rata-rata untuk memulihkan fungsionalitas setelah kegagalan TB.
Pada soal TB = 1,5, maka µ = 1 / 1,5? 0,667.
Indikator utama keandalan sistem pemulihan non-redundan adalah koefisien ketersediaan Kg.
Untuk menentukannya, perhatikan pengoperasian sistem selama selang waktu (t,t+?t). Mari kita nyatakan dengan P0(t), P0(t+?t) dan P1(t),P1(t+?t) probabilitas bahwa pada waktu t dan t+?t sistem berada dalam keadaan S0 dan S1. Kemudian
P0(t)+P1(t)=1 dan Kg=P0(t).
Mari kita nyatakan juga dengan P01(?t) dan P10(?t) probabilitas bersyarat bahwa pada waktu t sistem berada dalam keadaan S0 atau dalam keadaan S1, dan pada waktu t+?t dalam keadaan S1 atau dalam keadaan S0 , yaitu selama selang waktu tersebut tidak terjadi kegagalan (pemulihan) sistem.
Kita asumsikan bahwa dalam jangka waktu tertentu tidak hanya satu kegagalan atau hanya satu pemulihan yang dapat terjadi. Kemudian empat kejadian yang tidak kompatibel dapat terjadi pada interval?t: A1(S0, S0) - pada waktu t sistem berada dalam keadaan S0, pada waktu t+?t sistem tetap dalam keadaan yang sama, yaitu. tidak ada kegagalan yang terjadi; A2(S0, S1) - terjadi kegagalan; A4(S1, S1) - restorasi tidak terjadi.
Mari kita jelaskan. Kemudian kita memperoleh sistem persamaan diferensial
yang dilengkapi dengan kondisi P0(t)+P1(t).
Solusi sistem di kondisi awal P0(t)=1 dan P1(t)=0, yaitu pada saat awal sistem beroperasi dan berbentuk
Jika pada saat awal sistem tidak beroperasi, maka P0(0)=0, P1(0)=1 dan penyelesaian sistem berbentuk
Ketika, terlepas dari keadaan awal sistem (S0 atau S1), probabilitas Po(t) = Kg, P1(t) cenderung bernilai konstan
Ini berarti bahwa berdasarkan hukum eksponensial distribusi waktu antara kegagalan dan waktu pemulihan, proses acak pengoperasian sistem yang dipulihkan menjadi stabil, dan kemungkinan sistem berfungsi pada titik waktu tertentu tetap konstan. Mengingat proses ini bersifat Markovian, maka dalam sistem persamaan diferensial dapat kita atur
dan dapatkan sistem persamaan aljabar linier, yang darinya P0=Kg dan P1 langsung ditemukan:
Untuk kasus kita, apakah kita mengetahui nilai µ? 0,667.
Bagaimana cara menentukan nilai l (menggunakan rumus
Mengetahui nilai l dan µ dari sistem terbaru persamaan tersebut, kita dapat menentukan probabilitas akhir P0 dan P1, yang masing-masing sebesar 0,9995 dan 0,0005.
4. Tugas No.4
Menentukan indikator keandalan fasilitas komunikasi redundan. Data awal diberikan dalam tabel. 4.
Untuk menyelesaikan masalah 4 Anda perlu:
- - menentukan keadaan sistem redundan;
- - buat grafik keadaan berlabel;
- - tulis sistem persamaan aljabar linier Kolmogorov;
- - menetapkan hubungan antara probabilitas akhir dan menentukan nilai kuantitatifnya;
- - menentukan indikator keandalan (waktu rata-rata antara kegagalan dan faktor ketersediaan sistem redundan).
biaya transportasi aljabar tanpa cadangan
Tabel 6
Solusi untuk masalah 4
Dalam sistem redundant, kegagalan suatu elemen tidak serta merta mengakibatkan kegagalan seluruh sistem. Kasus tipikal adalah koneksi elemen yang paralel secara logis (Gambar 1), di mana sistem gagal ketika semua elemennya gagal. Jenis redundansi ini disebut redundansi konstan atau berbeban (m-1) kali lipat. Dalam hal ini, semua elemen menjalankan fungsi yang sama, bekerja secara bersamaan dan sama-sama dapat diandalkan.
Skema koneksi logis elemen-elemen sistem redundan
Sistem redundan yang dapat dipulihkan dijelaskan oleh grafik keadaan (Gambar 2).
Grafik status sistem redundan
Berbeda dengan sistem non-redundan, sistem redundan memiliki 4 status: S0 - dapat diservis; S1 - babak pertama berfungsi, dan babak kedua rusak (sedang diperbaiki); S2 - babak kedua berfungsi, dan babak pertama rusak (sedang diperbaiki); S3 - tidak berfungsi (kedua set sedang diperbaiki).
Dengan memperhatikan kondisi permasalahan, persamaan aljabar linier Kolmogorov berbentuk:
- 2 l P0 = µп (P1 + P2) (1)
- (l+ µp) P1 = l P0 + µb P3 (2)
- (l+ µp) P2 = l P0 + µb P3 (3)
- 2 µв Р3 = aku (Р1 + Р2) (4) ,
dimana l dan µv adalah intensitas kegagalan dan pemulihan;
µп - intensitas peralihan.
Sistem dilengkapi dengan persamaan normalisasi
P0+P1+P2+P3=1. (5)
Dari persamaan (2) dan (3) terlihat jelas bahwa P1 = P2. Maka persamaan (1) akan ditulis sebagai:
Persamaan (4) terlihat seperti:
Persamaan (5) terlihat seperti:
Р0 = Т0 / (Т0 + 2Тп) = 3000 / (3000+2·45/3600) = 0,999991667.
Р1 = Р0 · Тп / Т0 = 0,999991667 · (45/3600) / 3000 = 0,00000417.
Р2 = Р0 · Тп / Т0 = 0,999991667 · (45/3600) / 3000 = 0,00000417.
Р3 = Р0 · ((Тп·Тв)/ Т0) = 0,999991667 · ((45/3600·1,5)/3000) = 0,00000625.
Mari kita tentukan waktu aktif rata-rata dari sistem redundan:
Т01 = (Р0 · Тв) / (1 - Р0) = (0,999991667 ·1,5) / (1 - 0,999991667) = 180.000 jam.
Dalam interpretasi probabilistik, faktor ketersediaan ditentukan dengan rumus:
dimana To adalah waktu rata-rata antara kegagalan (menurut rumusan masalah sama dengan 3000),
TB adalah waktu kesembuhan rata-rata (sesuai kondisi masalah sama dengan 1,5).
Jadi faktor ketersediaannya sama dengan Kg = 3000 / (3000 + 1,5) = 0,9995.
Daftar sumber yang digunakan
- 1. Ventzel E.S. Operasi pencarian. Tujuan, prinsip, metodologi / E.S. - M.: Nauka, 1986.
- 2. Kremer N.Sh. Riset Operasi di bidang Ekonomi. Buku teks untuk universitas / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. - M.: KESATUAN, 2002.
- 3. Demidov Yu.M.Penelitian operasi. Panduan untuk menyelesaikan tes. - M.: MSTU GA, 2010 - 20 halaman.
- 4. Volkov I.K., Zagoruiko E.A. Operasi pencarian. Buku teks untuk universitas / ed. SM Zarubina, A.P. Krischenko. - M.: Rumah Penerbitan Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai demikian. NE. Bauman, 2002.
- 5. Afanasyev M.Yu., Suvorov B.P. Riset operasi di bidang ekonomi: model, masalah, solusi. Buku Teks / M.Yu. Afanasyev, B.P. Suvorov. - M.: INFRA-M, 2003.
Diposting di Allbest.ru
UDC 330.115(075.8) BBK22.1ya73 A94
Afanasyev M.Yu., Suvorov B.P. Penelitian operasi di bidang ekonomi: model, masalah, solusi: A94 Proc. uang saku. - M.: INFRA-M, 2003. - 444 hal. - (Seri “Pendidikan Tinggi”). ISBN 5-16-001580-9
Buku teks telah disiapkan sesuai dengan persyaratan standar pendidikan negara dan berisi materi pendidikan dan metode untuk memecahkan berbagai masalah ekonomi. Metodologi ini menerapkan pendekatan baru dalam melakukan kelas praktis menggunakan teknologi pembelajaran komputer yang dikombinasikan dengan perangkat lunak pemecahan masalah.
Untuk mahasiswa universitas ekonomi dan guru. BBK 22.1ya73
ISBN5-16-001580-9 | ©M.Yu. Afanasyev, B.P. Suvorov, 2003 | |
Kata pengantar................................................. ....... ................................................... ............. .................................... ............... ................................... ..... | ||
Bab 1. Optimalisasi rencana produksi................................................ .......... ........................................ ................ ................................. ......... | ||
Bab 2. Pencampuran optimal................................................ ....... ................................................... ............. .................................... ................... ...... | ||
Bab 3. Pemotongan optimal............................................ ....... ................................................... ............. .................................... ................... ........ | ||
Bab 4. Perencanaan keuangan................................................ ....... ................................................... ............. .................................... ............... ..... | ||
Bab 5. Masalah transportasi................................................ ....... ................................................... ............. .................................... ............... .......... | ||
Bab 6. Soal Penugasan................................................ ........................................... ............. ................................... .................... ............ | ||
Bab 7. Analisis jaringan proyek. Metode SRM................................................. ... ............................................... ......... ........................ | ||
Bab 8. Analisis jaringan proyek. metode PERT................................................. ... ............................................... ......... ........................... | ||
Bab 9. Analisis biaya pelaksanaan proyek.................................. .......... ........................................ ................ ................................. . | ||
Bab 10. Permainan strategi.................................................. ....... ................................................... ............. .................................... ................... ....... | ||
Bab 11. Pemrograman nonlinier................................................. ....... ................................................... ............. .................................... .. | ||
Bab 12. Model manajemen inventaris................................................ ...................................................... ............................................................ ..... | ||
Bab 13. Model sistem antrian................................................ ......... ................................................ ............... ........................ | ||
Bab 14. Pemodelan simulasi................................................ ....... ................................................... ............. .................................... ... | ||
Bab 15. Soal Pemrograman Linier Integer................................................ ......... ................................................ ............... ... | ||
Bab 16. Dasar-dasar teori keputusan................................................ ......... ................................................ ............... ................................... . | ||
Daftar literatur dasar................................................ ........................................................... .................................................. .................. ....... | ||
Daftar literatur tambahan................................................ ........................................................... .................................................. .......... | ||
Kata pengantar
Murid universitas ekonomi Siapa pun yang telah mengambil kursus Riset Operasi harus mengetahui masalah dasar ekonomi yang memerlukan alat matematika untuk menyelesaikannya. Ia harus berpedoman pada rumusan masalah ekonomi dan menentukan dari bagian riset operasi mana ia harus mencari cara untuk menyelesaikannya; harus mampu memformalkan suatu masalah ekonomi, yaitu mendeskripsikannya dengan menggunakan model matematika yang terkenal, melakukan perhitungan dan memperoleh hasil kuantitatif. Namun yang terpenting adalah siswa harus mampu menganalisis hasil tersebut dan menarik kesimpulan yang sesuai dengan tugas ekonomi yang dihadapi.
DI DALAM Pada setiap bab materi disajikan dengan urutan sebagai berikut: tujuan, model, contoh, pertanyaan, tugas, situasi.
Sasaran. Tujuan mempelajari topik tersebut telah ditetapkan. Mencantumkan konsep dasar yang harus dipelajari dan keterampilan yang harus diperoleh setelah mempelajari materi yang ditawarkan dalam kerangka topik ini.
Model. Deskripsi model ekonomi dan matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas pada topik ini disediakan. Kondisi penerapan model ini telah dirumuskan. Materi pada bagian ini dapat dianggap sebagai ringkasan kuliah singkat tentang topik tersebut.
Contoh. Hal ini menunjukkan bagaimana model yang dijelaskan dapat digunakan untuk memecahkan masalah ekonomi. Pada saat yang sama diberikan rumusan masalah, uraian model yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah, hasil perhitungan menggunakan model dan analisis hasil tersebut.
Pertanyaan. Bentuk paling sederhana dari pengendalian pengetahuan. Serangkaian beberapa pertanyaan dan pilihan jawaban ditawarkan, salah satunya benar.
Tugas. Bentuk utama pemantauan hasil pembelajaran pada program pelatihan sarjana. Serangkaian tugas diusulkan untuk keputusan independen. Pemecahan masalah apa pun melibatkan pembangunan model yang sesuai, pelaksanaan perhitungan yang diperlukan, dan memperoleh jawaban atas pertanyaan yang diajukan dalam masalah.
Situasi. Bentuk utama pemantauan hasil pembelajaran pada program magister. Deskripsi spesifik situasi ekonomi yang perlu dianalisis. Tujuan dari analisis tersebut adalah untuk mengajarkan bagaimana menggunakan kompleks masalah-masalah ekonomi memperoleh keterampilan pemecahan masalah. Tidak ada dan tidak mungkin ada jawaban yang jelas atas semua pertanyaan yang terkandung dalam tugas untuk situasi yang disajikan. Inilah perbedaan mendasar antara situasi dan tugas normal. Biasanya, deskripsi situasi tertentu tidak memuat semuanya informasi yang perlu. Pembaca harus membuat asumsi dan membuat tambahan yang diperlukan. Oleh karena itu, ketika menganalisis situasi yang sama, dua siswa dapat memperoleh hasil yang berbeda. Dan kedua hasil tersebut akan benar. Tujuan menganalisis suatu situasi tidak terbatas pada memperoleh jawaban. Yang penting bukan hasilnya, tapi proses analisanya.
Beberapa tugas dan situasi dipinjam dari sumber lain dan disajikan dalam bentuk yang direvisi.
Jawaban atas pertanyaan dan solusi masalah disediakan di akhir setiap bab.
Buku teks ini dapat digunakan dalam bentuk kelas praktik tradisional, ketika siswa bekerja sama untuk memecahkan masalah yang diajukan oleh guru. Pendekatan yang lebih modern tampaknya didasarkan pada penggunaan teknologi pengajaran komputer yang dikombinasikan dengan perangkat lunak untuk memecahkan masalah. Inilah teknologi untuk mengadakan kelas praktik yang telah digunakan penulis selama lebih dari 15 tahun. Hal ini didasarkan pada buku teks komputer “Operations Research in Economics.” Ini berisi materi teoretis, yang sebagian besar disajikan di sini buku pelajaran tugas, serta sarana untuk memantau kebenaran solusinya dengan diagnosis kesalahan selektif.
Beberapa bidang riset operasi, seperti pemrograman dinamis, tidak disajikan dalam buku ini karena penulis tidak dapat memberikan kemudahan bagi pembaca perangkat lunak untuk mendapatkan perkiraan kuantitatif dari model yang sesuai.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada A.B. Aronovich atas kerja samanya dalam mempersiapkan bab 10 dan 11, serta N.V. Vasiliev, yang pengalaman pelatihan praktisnya dalam kursus “Riset Operasi” memungkinkan dia untuk membuat penyesuaian yang berguna pada materi buku teks.
Bab 1: Optimasi Rencana Produksi
DI DALAM Bab ini menunjukkan kemungkinan penggunaanmodel pemrograman linier(LP) untuk menentukan rencana produksi. Kemungkinan-kemungkinan ini digeneralisasikan pada kasus dimana pembelian produk jadi untuk penjualan selanjutnya mungkin lebih disukai oleh produsen daripada penggunaan fasilitasnya sendiri. Masalah perencanaan produksi juga dipertimbangkan dengan mempertimbangkan dinamika permintaan, produksi dan penyimpanan produk. Paling sering, jenis tugas ini muncul pada tingkat perencanaan agregat dan manajemen operasional
objek mikroekonomi.
Setelah Anda menyelesaikan tugas dalam bab ini, Anda akan dapat mengidentifikasi dan menggunakannya untuk analisis ekonomi:
fungsi sasaran;
pembatasan;
rencana yang valid;
serangkaian rencana yang dapat diterima;
model pemrograman linier;
rencana optimal;
penilaian ganda;
batas stabilitas.
Rumusan umum masalah perencanaan produksi: penting untuk menentukan rencana produksi untuk satu atau lebih jenis produk yang menjamin penggunaan bahan, keuangan, dan jenis sumber daya lainnya yang paling rasional. Harus ada rencana seperti itu optimal dari sudut pandang kriteria yang dipilih - keuntungan maksimum, biaya produksi minimum, dll.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
n adalah jumlah produk yang dihasilkan;
t - jumlah yang digunakan sumber daya produksi(misalnya kapasitas produksi, bahan baku, tenaga kerja);
dan ij adalah volume pengeluaran sumber daya ke-i untuk menghasilkan satu unit produk ke-j; cj - keuntungan dari pelepasan dan penjualan satu unit produk ke-j;
b i - jumlah sumber daya ke-i yang tersedia; x j - volume output produk ke-j.
Secara formal, masalah optimasi program produksi dapat dijelaskan dengan menggunakan hal berikut model pemrograman linier:
Di sini (1) adalah fungsi tujuan (keuntungan maksimum);
(2) - sistem pembatasan khusus(kendala) pada volume sumber daya yang sebenarnya tersedia;
(3) - sistem pembatasan umum (pada variabel non-negatif);
xj -variabel.
Soal (1)-(3) disebut masalah program linier dalam bentuk standar maksimum. Masalah program linier dalam bentuk standar minimal memiliki bentuk
Sebuah vektor x = (x 1 , x 2 , ..., x n ), yang komponen-komponennya j memenuhi batasan (2) dan (3) (atau (5) dan (6) dalam soal minimum), disebut solusi yang dapat diterima atau rencana yang valid masalah LP.
Himpunan semua rencana yang dapat diterima disebut serangkaian rencana yang dapat diterima.
Solusi yang dapat diterima untuk masalah LP, dimana fungsi tujuan (1) (atau (3) dalam masalah minimum) mencapai nilai maksimum (minimum), disebut solusi optimal masalah LP.
DENGAN Setiap tugas LP dikaitkan dengan tugas LP lainnya, yang ditulis menurut aturan tertentu dan disebuttugas ganda LP.
Masalah ganda ke LP (1)-(3) adalah masalahnya
Oleh karena itu, soal ganda pada LP (7)-(9) adalah soal (1)-(3). Setiap variabel (batasan khusus) dari masalah awal berhubungan dengan batasan khusus (variabel) dari masalah ganda. Jika masalah LP asli mempunyai solusi, maka masalah gandanya juga memiliki solusi, dan nilai fungsi tujuan untuk solusi optimal yang bersesuaian adalah sama.
Komponen y i * dari solusi optimal permasalahan ganda (7)-(9) disebut penilaian ganda
å n a ijx j≤ | ||
Batasan (Nilai Ganda) j = 1 | masalah LP asli. |
|
cjxj | ||
Misalkan ϕ = maks (j = 1 | ), dimana x j adalah komponen dari solusi yang dapat diterima untuk masalah (1)-(3). |
|
Kemudian, jika kondisi non-degenerasi dari solusi optimal terpenuhi, maka hubungan berikut akan berlaku:
Mari kita ubah nilai ruas kanan b i dari salah satu batasan utama (RHS) dari soal LP asli.
Misalkan b i ′ adalah nilai minimum dari sisi kanan batasan utama dimana solusi*
masalah ganda tidak akan berubah. Maka nilai b i′ disebut Batas Bawah stabilitas di sisi kanan batasan.
Misal b i ′′ adalah nilai maksimum ruas kanan batasan utama yang penyelesaiannya y*
masalah ganda tidak akan berubah. Maka nilai b i ′′ disebut Batas Atas stabilitas di sisi kanan batasan.
Mari kita ubah nilai satu koefisien cj dari fungsi tujuan dari soal LP awal.
Misalkan c ′ j adalah nilai minimum koefisien fungsi tujuan yang merupakan solusi optimal
x * dari tugas awal tidak akan berubah. Maka nilai c′j disebut batas bawah stabilitas ditinjau dari koefisien fungsi tujuan.
Misalkan c ′ j ′ adalah nilai maksimum dari koefisien fungsi tujuan yang optimal
solusi x * untuk masalah awal tidak akan berubah. Maka nilai c′ j′ disebut batas atas kestabilan ditinjau dari koefisien fungsi tujuan.
Contoh 1. Berapa banyak yang harus diproduksi?
Perusahaan memiliki bahan mentah dan sumber daya tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi dua jenis produk. Biaya sumber daya untuk produksi satu ton setiap produk, keuntungan yang diterima perusahaan dari penjualan satu ton produk, serta cadangan sumber daya ditunjukkan pada tabel berikut:
1. Berapa banyak Produk 1 yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan?
2. Berapa banyak produk 2 yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan?
3. Berapa keuntungan maksimalnya?
4. Berapa kenaikan laba maksimum jika persediaan bahan baku bertambah 1 ton?
5. Berapa keuntungan maksimum yang akan meningkat jika jumlah biaya tenaga kerja yang diperbolehkan meningkat dari 400
Larutan. Misal x 1 adalah volume keluaran produk 1 dalam ton, x 2 adalah volume keluaran produk 2 dalam ton. Maka permasalahan tersebut dapat digambarkan sebagai model program linier berikut:
Dengan menggunakan paket POM for WINDOWS (selanjutnya disebut POMWIN), informasi awal penyelesaian masalah tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut:
Memecahkan masalah ini, kami mendapatkan hasil sebagai berikut:
Intinya menunjukkan keluaran setiap produk yang memenuhi keterbatasan sumber daya dan memaksimalkan keuntungan. Nilai 988,24 merupakan nilai maksimum fungsi tujuan.
Untuk menjamin keuntungan yang maksimal, harus diproduksi produk 1 sebanyak 16,47 ton dan produk 2 sebanyak 14,12 ton.
Keuntungan maksimum adalah 988,24 ribu rubel.
DI DALAM Kolom kanan tabel menunjukkan perkiraan ganda untuk setiap batasan. Dengan demikian, nilai 3,82 menunjukkan bahwa dengan peningkatan stok bahan baku sebesar 1 ton (hingga 121), nilai maksimum fungsi tujuan untuk rencana optimal baru akan meningkat sebesar 3,82 ribu rubel dibandingkan dengan 988,24. Nilai ganda 1,32 untuk sumber daya kedua dapat diartikan serupa.
Tabel berikut berisi informasi tambahan yang disediakan oleh paket POMWIN:
Dua kolom kanan tabel merupakan batas kestabilan berdasarkan nilai koefisien fungsi tujuan (bagian atas tabel) dan batas kanan bagian (bagian bawah).
Jadi, jika keuntungan yang diperoleh dari penjualan 1 ton produk 1 berubah, tetapi tetap pada kisaran 21 menjadi 40,83, maka jumlah produk 1 pada rencana optimal tidak akan berubah.
DI DALAM Jika stok bahan mentah berubah, namun tetap dalam kisaran 85,71 hingga 166,66, penilaian ganda atas sumber daya ini tidak akan berubah.
Oleh karena itu, jika jumlah biaya tenaga kerja yang diperbolehkan berubah dari 288 menjadi 560 jam, penilaian ganda atas sumber daya ini tidak akan berubah.
Jika jumlah biaya tenaga kerja yang diperbolehkan meningkat dari 400 menjadi 500 jam, maka keuntungan maksimum akan meningkat sebesar 132 ribu rubel.
Contoh 2. Membuat atau membeli?
Perusahaan memproduksi dua jenis bahan kimia. Untuk bulan mendatang, perusahaan telah menandatangani kontrak untuk memasok bahan kimia berikut dalam jumlah berikut:
Produksi perseroan dibatasi oleh waktu pengoperasian dua reaktor kimia tersebut. Setiap jenis bahan kimia harus diproses terlebih dahulu di reaktor 1 dan kemudian di reaktor 2. Tabel di bawah ini menunjukkan waktu operasi yang tersedia untuk setiap reaktor pada bulan berikutnya, serta waktu untuk memproses satu ton setiap bahan kimia di setiap reaktor:
Karena terbatasnya kapasitas terkait dengan waktu yang ada untuk memproses bahan kimia di reaktor, perusahaan tidak memiliki kapasitas yang cukup untuk memenuhi kewajiban kontraknya. Solusinya adalah: perusahaan harus membeli sejumlah bahan kimia tersebut dari produsen lain agar pembelian tersebut dapat digunakan untuk memenuhi kontrak. Di bawah ini adalah tabel biaya produksi bahan kimia oleh perusahaan itu sendiri dan pembeliannya dari luar:
Tujuan perusahaan adalah menyelesaikan kontrak dengan biaya minimum. Hal ini akan memungkinkannya memaksimalkan keuntungan karena harga bahan kimia telah disepakati dalam kontrak. Dengan kata lain, perusahaan harus memutuskan berapa banyak setiap jenis bahan kimia yang akan diproduksi secara internal dan berapa banyak yang harus dibeli dari luar untuk memenuhi kontrak dengan biaya minimal.
1. Berapa banyak bahan kimia tipe 1 yang harus diproduksi perusahaan?
2. Berapa banyak bahan kimia tipe 2 yang harus diproduksi perusahaan?
3. Berapa banyak bahan kimia tipe 1 yang harus dibeli secara eksternal?
4. Berapa banyak bahan kimia tipe 2 yang harus dibeli secara eksternal?
5. Berapa biaya minimum untuk menyelesaikan kontrak?
6. Haruskah volume pembelian bahan kimia tipe 2 eksternal diubah jika harganya naik menjadi 75 ribu rubel? per ton?
7. Berapa kenaikan biaya minimum jika waktu pengoperasian reaktor 2 dikurangi dari 400 menjadi 300 jam?
Larutan. Mari kita perkenalkan notasi berikut:
x 1 - jumlah produk 1 yang diproduksi oleh perusahaan; z 1 - jumlah produk 1 yang dibeli oleh perusahaan;
Model program linier ditunjukkan pada tabel berikut:
Kondisi untuk variabel non-negatif: x 1 ³ 0 ;x 2 ³ 0 ;z 1 ³ 0 ;z 2 ³ 0 . Tabel informasi awal untuk perhitungan di POMWIN adalah sebagai berikut:
Hasil perhitungan:
Tabel perkiraan ganda dan batas stabilitas:
Dari tabel perkiraan ganda dan batas stabilitas terlihat bahwa dalam batas perubahan harga beli bahan kimia tipe 2 dari 61 menjadi 76 (nilai sebenarnya 66), rencana optimal tidak akan berubah.
Tabel tersebut juga menunjukkan bahwa mengubah sumber waktu operasi reaktor 2 dalam kisaran 225 menjadi 765 tidak akan menyebabkan perubahan dalam estimasi ganda dari batasan yang sesuai.
Jawaban: 1. 55,55 ton 2. 38,89 ton 3. 44,44 ton 4. 81,11 ton. 6. Tidak, sebaiknya jangan. 7. Ha 111 ribu rubel.
Pertanyaan Pertanyaan 1. Diberikan masalah program linier
Jika soal ini ada penyelesaiannya, lalu apa tanda-tanda variabel y 1 dan y 2 dari soal ganda tersebut? Jawaban yang memungkinkan:
Pertanyaan 2. Perusahaan memiliki dua bengkel. Perhitungan optimasi dilakukan untuk menentukan program pengembangan usaha dengan biaya minimal. Diperoleh rencana optimal dan perkiraan ganda mengenai pembatasan pemanfaatan kapasitas pada dua bengkel. Ternyata perkiraan ganda mengenai pembatasan kapasitas produksi bengkel pertama adalah nol, dan yang kedua benar-benar positif. Artinya:
1) tidak ada cukup informasi untuk dijawab;
2) kapasitas kedua bengkel tersebut kurang dimanfaatkan;
3) kapasitas kedua bengkel telah digunakan sepenuhnya;
4) kapasitas bengkel 1 terpakai penuh, dan bengkel 2 kurang dimanfaatkan;
5) kapasitas bengkel 1 kurang termanfaatkan, dan bengkel 1 terpakai penuh.
Pertanyaan 3. Kami mempertimbangkan masalah perencanaan produksi penyulingan minyak, yang dijelaskan dalam bentuk model program linier. Kriterianya adalah biaya minimum. Akibat keputusan tersebut, faktor pembatasnya adalah kapasitas Peralatan yang diukur dalam ton minyak olahan. Dalam satuan apa penilaian ganda terhadap kendala terkait diukur?
Jawaban yang memungkinkan:
1) t/gosok.; 2) gosok/jam; 3) jam/gosok.; 4) gosok./t; 5) t.
Pertanyaan 4. Masalah optimasi rencana produksi produk minyak bumi dipertimbangkan. Volume produksi diukur dalam ton. Masalahnya diselesaikan dengan biaya minimal. Batas waktu penggunaan peralatan diperhitungkan. Dalam satuan apa nilai koefisien matriks untuk batasan ini diukur?
Jawaban yang memungkinkan:
Pertanyaan 5. Masalah optimasi program produksi dipertimbangkan. Kriterianya adalah keuntungan maksimal. Nilai optimal kriteria adalah 100. Perkiraan ganda dari batasan biaya tenaga kerja adalah 0,5, dan volume produksi - 1,5. Berapakah keuntungan maksimum jika total biaya tenaga kerja dikurangi 10 unit?
Jawaban yang memungkinkan:
1) 85; 2) 90; 3) 95; 4) 100; 5) 110.
Pertanyaan 6. Untuk setiap polihedron terdapat masalah program linier yang merupakan himpunan yang dapat diterima?
Jawaban yang memungkinkan:
1) ya, untuk semua orang;
2) tidak, hanya untuk polihedron dengan lebih dari tiga simpul;
3) tidak, hanya untuk polihedron dengan koordinat titik positif;
4) tidak, hanya untuk polihedron cembung dengan koordinat titik non-negatif;
5) tidak, hanya untuk polihedron cembung.
Pertanyaan 7. Solusi yang layak untuk masalah program linier:
1) harus secara bersamaan memenuhi semua batasan masalah;
2) harus memenuhi sebagian, tidak harus seluruh, kendala permasalahan;
3) harus menjadi yang teratas dalam serangkaian solusi yang layak;
4) harus memberikan nilai terbaik dari fungsi tujuan;
5) tidak memenuhi ketentuan di atas.
Pertanyaan 8: Perhatikan masalah program linier berikut:
dalam kondisi
Nilai optimal fungsi tujuan pada soal ini adalah: 1) 1600; 2) 1520; 3) 1800; 4) 1440; 5) tidak sama dengan salah satu nilai yang ditentukan.
Pertanyaan 9. Perhatikan masalah program linier berikut: dalam kondisi
Manakah titik koordinat (X,Y) berikut yang tidak valid? Jawaban yang memungkinkan:
5) tidak satu pun di atas.
Pertanyaan 10: Perhatikan masalah program linier berikut:
dalam kondisi
Himpunan rencana layak mempunyai empat simpul berikut: (48, 84), (0, 120), (0, 0), (90, 0).
Berapa nilai optimal fungsi tujuan? |
||||
Jawaban yang memungkinkan: | ||||
tidak ada nilai yang ditentukan. |
||||
Masalah 1. Sebuah pabrik penyulingan minyak dapat beroperasi dalam dua cara berbagai mode. Saat beroperasi dalam mode pertama, satu ton minyak menghasilkan 300 kg produk minyak gelap dan 600 kg produk minyak ringan; saat beroperasi dalam mode kedua - 700 kg produk minyak bumi gelap dan 200 kg produk minyak bumi ringan. Setiap harinya, instalasi ini perlu memproduksi 110 ton produk minyak bumi gelap dan 70 ton produk minyak bumi ringan. Tugas yang direncanakan ini harus dilakukan setiap hari, dengan mengonsumsi minyak dalam jumlah minimum.
1. Berapa ton minyak yang harus diproses setiap hari pada mode pertama?
2. Berapa ton minyak yang harus diolah setiap hari pada mode kedua?
3. Berapa konsumsi minyak minimum harian?
4. Berapa ton peningkatan hariannya konsumsi minimal minyak, jika perlu untuk diproduksi
V hari 80 ton produk minyak bumi ringan?
Tugas 2. Perusahaan “Televisi” memproduksi dua jenis televisi: “Astro” dan “Cosmo”.
DI DALAM Workshop 1 memproduksi televisi tabung. Dibutuhkan 1,2 jam kerja untuk memproduksi satu tabung untuk Astro TV, dan 1,8 jam kerja untuk memproduksi satu tabung untuk Cosmo TV. Saat ini, di bengkel 1, tidak lebih dari 120 jam kerja per hari yang dapat dihabiskan untuk produksi tabung untuk kedua merek televisi tersebut.
DI DALAM Workshop 2 memproduksi chasis dengan rangkaian elektronik untuk TV. Dibutuhkan 1 jam kerja untuk memproduksi sasis TV merek apa pun. Produksi sasis kedua merek televisi di bengkel 2 bisa menghabiskan biaya tidak lebih dari 90 jam kerja per hari.
Penjualan setiap TV merek Astro memberikan keuntungan 1.500 rubel, dan merek Cosmo - 2.000 rubel.
Perusahaan tertarik untuk memaksimalkan keuntungan. Pertanyaan:
1. Berapa banyak Astro TV yang harus diproduksi setiap hari?
2. Berapa keuntungan maksimum harian bagi sebuah perusahaan televisi?
3. Berapa rubel per hari keuntungan akan meningkat jika sumber daya waktu di bengkel 2 bertambah 5 jam kerja?
4. Apakah rencana produksi harus diubah jika keuntungan Cosmo TV meningkat menjadi RUB 2.200?
Soal 3. Sebuah perusahaan kaus kaki memproduksi dan menjual dua jenis barang: kaus kaki pria dan stocking wanita. Perusahaan mendapat untung 10 rubel. dari produksi dan penjualan sepasang stoking dan dalam jumlah 4 rubel. dari produksi dan penjualan sepasang kaus kaki.
Produksi setiap produk dilakukan di tiga area. Biaya tenaga kerja (dalam jam) untuk memproduksi satu pasang ditunjukkan pada tabel berikut untuk setiap lokasi:
Manajemen telah menghitung bahwa bulan depan perusahaan akan memiliki sumber daya waktu kerja berikut di setiap lokasi setiap hari: 60 jam di lokasi 1; 70 jam di situs 2 dan 100 jam di situs 3.
1. Berapa pasang kaus kaki yang harus diproduksi setiap hari jika perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan?
Asuransi - klasifikasi, esensi dan fungsi Dasar hukum hubungan asuransi
Mengapa membuat perjanjian asuransi hipotek yang komprehensif (polis asuransi hipotek)?
Perhitungan pendapatan rata-rata
Anda tidak dapat membayar perumahan dan layanan komunal secara legal - bagaimana menghindari konsekuensi Apa yang akan terjadi jika tidak membayar
Ke mana harus mencari bantuan untuk seseorang tanpa tempat tinggal dan registrasi